Các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắcsâu, hoàn thiện các dạng toán đã học ở chơng trình số học và đại số.. Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức về phơng trình
Trang 1A- đặt vấn đề
I Lời mở đầu:
Phơng trình là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học ở tr-ờng THCS Đây là một nội dung kiến thức mang tính chất tổng hợp các kiến thức cơ bản trong chơng trình số học và đại số Thông qua việc nắm bắt các kiến thức về phơng trình, học sinh đợc củng cố, mở rộng, đào sâu một số kiến thức về tập hợp và lô gíc toán học Đợc phát triển về t duy, đợc rèn luyện tính linh hoạt
và khả năng sáng tạo trong quá trình học tập Đồng thời học sinh đợc rèn luyện tính quy cũ, tính kế hoạch, tính kỷ luật, đợc giáo dục tính cẩn thận, tính chính xác Đó là những phẩm chất không thể thiếu đợc của con ngời lao động mà học sinh có thể có đợc khi học về phơng trình
Trong các loại phơng trình ở cấp THCS thì phơng trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò lớn Các kiến thức về phơng trình bậc hai một ẩn mang tính hệ thống, bao quát các khái niệm, các phép toán về các tập hợp số, về các biểu thức
đại số Các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn mở rộng, khắcsâu, hoàn thiện các dạng toán đã học ở chơng trình số học và đại số Đồng thời phơng trình bậc hai một ẩn là đơn vị kiến thức sau cùng và hầu nh kết thúc chơng trình
đại số cấp THCS Vì vậy thông qua việc nắm bắt các kiến thức về phơng trình bậc hai một ẩn có thể đánh giá đợc khả năng và trình độ học bộ môn số học và
đại số của học sinh Chính vì thế mà phơng trình bậc hai một ẩn luôn đợc dùng
để kiểm tra đánh giá chất lợng học sinh cấp THCS thông qua các kỳ thi học sinh giỏi, và thi tuyển vào PTTH
Các kiến thức trong phơng trình bậc hai một ẩn không nhiều ngoài công thức nghiệm và định lý Vi-ét nhng các dạng bài tập thì lại rất phong phú và
đa dạng yêu cầu học sinh phải biết phân biệt các dạng bài tập, biết cách giải từng dạng bài tập cụ thể Song thực tế ở trờng THCS Định Long những năm trớc đây, các em học sinh lớp 9 rất lúng túng khi làm các dạng bài tập về phơng trình bậc hai một ẩn Hầu hết các em cha phân biệt đợc các dạng bài tập và cha tìm đợc cách giải cho từng dạng mà chỉ mới đơn thuần làm dạng toán giải phơng trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm Thậm chí các em còn rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm đối với những phơng trình chỉ cần áp dụng hệ quả của
định lý Vi-ét hoặc cả với những phơng trình bậc hai khuyết Chính vì thế kết quả học tập của các em về bộ môn toán không cao dẫn tới chất lợng thi học sinh giỏi, tỉ lệ tốt nghiệp THCS, tỷ lệ thi vào PTTH của nhà trờng còn thấp
Trớc tình hình trên, bản thân tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lợng giảng dạy và học tập trong nhà trờng nhất là chất lợng học sinh giỏi, tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS và tỷ lệ học sinh vào PTTH của nhà trờng Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thời gian tìm hiểu và nghiên
cứu vấn đề “ Hớng dẫn học sinh lớp 9 giải các dạng toán cơ bản về phơng
trình bậc hai một ẩn ” một phần nào đó góp phần nâng cao chất lợng học tập
của học sinh lớp 9 nói riêng, của học sinh trong toàn trờng nói chung đặc biệt là chất lợng học sinh giỏi và tỷ lệ học sinh thi vào PTTH của nhà trờng trong những năm tới
II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu :
1 Thực trạng:
Trong những năm công tác tại trờng THCS Định Long đặc biệt là những năm dạy lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng khi giải các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn Các em hầu nh cha biết phân loại các dạng toán cũng nh cha biết cách giải của từng dạng toán Hầu hết các em mới chỉ đơn thuần giải đợc dạng toán giải phơng trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm Nhiều em rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phơng trình không cần sử dụng công thức nghiệm nhng các em vẫn áp dụng công thức nghiệm Đa số các em cha giải đợc các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai thác định lý Vi- ét Đặc biệt các em cha biết dùng các dạng toán đã học vào giải các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn Do đó kết quả làm bài kiểm tra và
Trang 2bài thi của các em cha cao đặc biệt là kết quả các kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THCS, thi tuyển vào PTTH
Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em cha nắm vững công thức nghiệm và cha biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý Cha biết
sử dụng và cha biết cách khai thác định lý Vi- ét Các em không nhớ các kiến thức và các dạng toán đã học do đó không biết vận dụng các dạng toán đó vào giải các dạng toán ở phơng trình bậc hai một ẩn
2 Kết quả của thực trạng :
Tổng
số
bài
Kết quả này cho thấy chất lợng học sinh cha cao nhất là tỷ lệ học sinh, khá giỏi
Trang 3B Giải quyết vấn đề
I Các giải pháp thực hiện :
- Tìm ra, phân loại một số dạng toán cơ bản về phơng trình bậc hai một
ẩn phù hợp với yêu cầu của chơng trình và với năng lực, trình độ của học sinh lớp 9
- Xác định đợc các kiến thức có liên quan, cần phải sử dụng khi giải từng dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn
- Tìm đợc phơng pháp tốt nhất để giải mỗi dạng cụ thể
- Thông qua quá trình công tác và giảng dạy để nghiên cứu
- Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là qua việc ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào PTTH
- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo
- Thông qua học hỏi đồng nghiệp
- Bằng cách khảo sát chất lợng học sinh và nắm bắt, xử lý thông tin
II Các biện pháp tổ chức thực hiện :
Trớc tình hình trên, qua nghiên cứu bản thân tôi đã hớng dẫn học sinh tạm phân loại các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn một cách cơ bản phù hợp với yêu cầu và trình độ của học sinh lớp 9 theo các dạng nh sau :
1 Dạng1: Giải phơng trình :
Đây là dạng toán đơn giản của phơng trình bậc hai một ẩn Nhng nếu chúng ta chủ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm nh : sử dụng công thức nghiệm máy móc hoặc cha biết sử dụng công thức nghiệm nào cho phù hợp Do đó cần hớng dẫn học sinh phân biệt hai trờng hợp sau :
* Trờng hợp thứ nhất :
Đối với phơng trình bậc hai khuyết thì không cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đa phơng trình về các dạng đã gặp :
- Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phơng trình về dạng phơng trình tích đã học ở lớp 8
- Nếu khuyết hệ số b ta đa phơng trình về dạng phơng trình chứa căn bậc hai đã học đầu chơng trình lớp 9 Trong trờng hợp này nên lu ý học sinh nếu hệ số a và hệ số b cùng dấu thì phơng trình đã cho vô nghiệm ( lúc đó biểu thức dới dấu căn sẽ mang giá trị âm ), không cần giải nữa mà có thể kết luận luôn về nghiệm của phơng trình
Ví dụ : Giải các phơng trình :
a) x2 + 5x = 0 ; b) 2 x2 - 8 = 0 ; c) 5 x2 +7 = 0
Ta nhận thấy phơng trình a) khuyết c nên ta đa về dạng phơng trình tích,
ph-ơng trình b) khuyết b nên ta biến đổi đa về dạng trình chứa căn bậc hai và giải
nh sau:
a) x( x + 5 ) = 0 b) 2x2 = 8
x = 0 hoặc x + 5 = 0 x2 = 4
x1 = 0 hoặc x2 = -5 x1 = - 2 ; x2 = 2
Đối với phơng trình c) do hệ số a và b cùng dấu nên phơng trình vô nghiệm
* Trờng hợp phơng trình bậc hai đủ :
Phơng trình có dạng : a x2 + bx + c = 0 phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và định lý Vi- ét để giải Cần hớng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau
- Trớc hết xét các hệ số a, b, c trong phơng trình, nếu có dạng
a + b + c = 0 hoặc a- b+c = 0 thì áp dụng hệ quả của định lý Vi- ét, không nên dùng công thức nghiệm nào cả
- Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b: + Nếu hệ số b chẵn thì áp dụng công thức nghiệm thu gọn + Nếu hệ số b lẻ thì áp dụng công thức nghiệm tổng quát
Ví dụ : Giải các phơng trình sau :
a) 3 x2 + 8x + 5 = 0 ; b) 2x - 7x + 5 = 0 ;
Trang 4c) x2 + 4x - 12 = 0 ; d) x2- 3x - 5 = 0
*Phơng trình a): Vì a - b + c = 3 - 8 + 5 = 0 nên áp dụng hệ quả của định
lý Vi-ét ta có : x1 = -1 ; x2 = −5
3
*Phơng trình b): Vì a + b + c = 2 + ( -7 ) + 5 = 0 nên áp dụng hệ quả của
định lý Vi-ét ta có : x1 = 1 ; x2 = 5
2
*Phơng trình c) : Vì hệ số b chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn
và giải nh sau :
Δ’ = 22 - 1 (-12) = 4 + 12 = 16
Δ’ > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = -2 + √16 = -2 + 4 = 2
x2 = -2 - √16 = -2 - 4 = - 6
*Phơng trình d) : Vì hệ số b lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát và giải nh sau :
Δ = (-3)2 - 4.1.(-5) = 9 + 20 = 29
Δ > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = 3+√29
2 ; x2 =
2
Đối với phơng trình bậc hai đủ thì lu ý học sinh : Nếu hệ số a và hệ số c trái dấu thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại : Đối với dạng toán giải phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh
phải xem xét đề bài để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng công thức nhiệm
2 Dạng 2: Giải và biện luận phơng trình :
Dạng toán này bao gồm : Tìm giá trị của tham số để :
- Phơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm
- Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu, cùng dơng, cùng âm
- Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu
Cách giải của từng dạng cụ thể nh sau :
a) Dạng tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm kép, có
2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm thì áp dụng công thức nghiệm :
Phơng trình : ax2 + bx + c = 0, có Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ = 0 thì phơng trình có nghiệm kép : x1= x2 =-b
a
+ Nếu Δ > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = −b+√Δ
2 a ; x2 =
−b −√Δ
+ Nếu Δ < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Ví dụ 1 : Cho phơng trình : 3x2 + 7x + m = 0 Tìm giá trị của m để
ph-ơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm
Giải : Ta có:Δ = 72 - 4.3.m = 49 - 12m
- Phơng trình có nghiệm kép ⇔ 49 - 12m = 0⇔ m = 49
12
- Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 49 - 12m > 0 ⇔m <49
12
- Phơng trình vô nghiệm ⇔ 49 - 12m < 0⇔ m >49
12
Chú ý :
* Trờng hợp hệ số b chẵn ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn và giải tơng tự nh ví dụ 1.
Ví dụ 2 : Cho phơng trình : x2 + 2.(m+2)x + m2 = 0 Tìm giá trị của m
để phơng trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm
Giải : Ta có: Δ’ = (m+2)2 - 1 m2 = m2 + 4m + 4 - m2 = 4m + 4
Trang 5- Phơng trình có nghiệm kép ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔m = -1
- Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 4m + 4 > 0 ⇔ m > -1
- Phơng trình vô nghiệm ⇔ 4m + 4 < 0 ⇔ m < -1
* Trờng hợp biểu thức của Δ( hoặc Δ’) có chứa luỹ thừa bậc hai thì phải lập bảng xét dấu để biện luận phơng trình.
Ví dụ 3 : Cho phơng trình x2 + (m + 1)x + 3 = 0 Tìm giá trị của m
để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm
Giải :
Ta có : Δ = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + 1 - 12 = m2 + 2m - 11 (1)
Δ’m= 12 -1.(-11) = 1 + 11 = 12
Δ’m> 0 nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
m1 = - 1+√12 ; m2 = - 1-√12
Ta có bảng xét dấu :
M -1-√12 -1+√12
Δ + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta có :
- Phơng trình đã cho có nghiệm kép ⇔ m = - 1+√12 hoặc m = - 1- √12
- Phơng trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > -1+√12 hoặc m < - 1-√12
- Phơng trình vô nghiệm ⇔ -1-√12<m<-1+√12
* Nh vậy muốn biện luận phơng trình bậc hai ta phải dùng công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn Đồng thời dùng công thức
Ví dụ :
a, Chứng minh phơng trình 2x2- 3x - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt
b, Chứng minh phơng trình x2 + 5x + 12 = 0 vô nghiệm
c, Chứng minh phơng trình 2x2 - 4x + 2 = 0 có nghiệm kép
Giải :
a, Δ = (-3)2 - 4.2.(-5) = 9 + 40 = 49 > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b, Δ = 52 - 4.1.12 = 25 - 48 = - 23 < 0 nên phơng trình vô nghiệm
c, Δ’ = (-2)2 - 2.2 = 4 - 4 = 0 nên phơng trình có nghịêm kép
b) Dạng toán tìm giá trị của tham số để phơng trình có hai nghiệm
cùng dấu, khác dấu, hai nghiệm cùng dơng, hai nghiệm cùng cùng âm :
Theo định lý Vi-et : Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có Δ > 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn :
+ Tổng hai nghiệm : S = x1 + x2 = −b
a
+ Tích hai nghiệm : P = x1 x2 = c
a
Từ đó ta suy ra :
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi : Δ > 0 và P > 0
- Phơng trình có hai nghiệm khác dấu khi : Δ > 0 và P < 0
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi : Δ > 0, P > 0 và S > 0
- Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi : Δ > 0 , P > 0 và S < 0
( Nếu hệ số b chẵn thì xét Δ’ thay cho Δ)
Ví dụ : Cho phơng trình : x2 + 2( m+1)x + 2m - 5 = 0 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dơng, cùng âm
Giải :
Trang 6Ta có: Δ = (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + 1 - 2m + 5 = m2 + 6 > 0 với ∀m
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lý Vi- ét :
S = 2(m+1); P = 2m-5
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi : 2m - 5 > 0 ⇒ m > 2,5.
- Phơng trình có hai nghiệm khác dấu khi : 2m - 5 < 0 ⇒ m < 2,5.
- Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi : m > 2,5 và 2(m+1) > 0
⇒ m > 2,5 và m >-1 ⇒ m > 2,5
- Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi : m > 2,5 và 2(m+1) < 0
⇒ m >2 và m < -1 ⇒ không có giá trị nào của m để phơng trình có hai
nghiệm cùng âm
* Bằng cách tơng tự ta còn có thể làm đợc dạng toán : Chứng minh
ph-ơng trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm khác dấu, hai nghiệm cùng
d-ơng, hai nghiệm cùng âm với mọi giá trị của tham số.
Ví dụ : Cho phơng trình ẩn x : 2x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.Chứng minh
ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m
Giải : Ta có : {2 x 12= m−3
m+1 Δ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + 2 = 3m2
+ 2 > 0 với ∀m
Hơn nữa : P = < 0 với ∀m Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m
3 Dạng3: Dạng toán tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thoã mãn điều kiện nào đó :
Để làm toán dạng này cần áp dụng định lý Vi- et, các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số
Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 - 2x + m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 + x2 = 5
Giải : Để phơng trình có hai nghiệm thì :
Δ’ = 1 - 1 ( m - 1 ) = 2 – m 0
⇒ m 2
Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2; x1 x2 = m - 1
Mặt khác : ( x1 + x2 )2 = ( x1 + x2 ) + 2x1x2
Do đó : 22 = 5 + 2.( m - 1 ) ⇒ m = 1
2
Vì m = 1
2 < 2 nên với m =
1
2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thoả mãn :
x1 + x22 = 5
Ví dụ 2 : Cho phơng trình ẩn x : ( m + 1 ) x2 - 2.(m - 1 ) x + m - 3 = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Giải : Ta có Δ’ = 5 > 0 với ∀m -1 nên phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀m -1
Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi : m−3
m+1 > 0 và m -1
⇒ m > 3 hoặc m < -1
Do nghiệm này gấp đôi nghiệm kia nên theo định lý Vi- et ta có :
2x1 = m−3
m+1 và 3x1 =
2(m− 1)
m+1
⇔ m2 - 2m - 35 = 0 (1)
Giải phơng trình (1) ta có : m1 = 14, m2 = 8
Vì m1 = 7 > 3, m2 = - 5 <- 1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m = 7 hoặc m = - 5
Trang 7
Ví dụ 3 : Cho phơng trình : ( m - 1 ) x2 - 2mx + m + 1 = 0
Tìm m để : x1
x2 +
x2
x1 +
5
2 = 0 (1)
Giải : Từ (1) ta có : 2( x1 + x2 ) = - 5 x1x2
8
Mà : x1 + x2 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
Nên : 2 [ ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] = - 5x1x2
⇔ 2( x1 + x2 )2= - x1x2
8 ⇔ 2( 2 m
m−1)2 = -
m+1 m−1
⇔ 8m2( m - 1 ) = - ( m2 - 1 )
⇔ 8m3 - 8m2 = - m2 + 1
⇔ 8m3 - 7m2 - 1 = 0
⇔ ( m - 1 ) ( 8m2 + m + 1 ) = 0
Vì : Phơng trình : m - 1 = 0 có một nghiệm là x = 1
Phơng trình : 8m2 + m + 1 = 0 vô nghiệm
Nên m = 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 4 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm nghiệm của phơng trình :
mx2 - 2( m + 3 )x + m + 2 = 0
Tìm m để : F = 1
x1 +
1
x2 có giá trị nguyên
Giải : Theo định lý Vi-et ta có : x1 + x2 = m+3
m ; x1x2 = m+2
m
Do đó : F = 1
x1 +
1
x2 =
x1+x2
x1x2 =
m+3
m
m m+2 =
m+3 m+ 2 = 1 +
1
m+2 có giá trị nguyên
khi 1
m+2 có giá trị nguyên
⇒ m + 2 là ớc của 1
⇒ m + 2 = 1;
m + 2 = - 1
⇒ m = -1
m = - 3
Vậy F có giá trị nguyên khi m = - 1 hoặc m = - 3
* Nh vậy đối với dạng toán Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm “
Vi-et, các hằng đẳng thức đáng nhớ và phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt
4 Dạng4: Dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số
Dạng toán này chúng ta thờng gặp, cách giải không phức tạp nhng nó là dạng toán tổng hợp nhiều kiến thức cơ bản trong chơng trình đại số lớp 9 Để giải dạng toán này ta làm theo các bớc sau :
1 Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2 áp dụng định lý Vi-et lập hệ phơng trình ( tổng và tích hai nghiệm ) có hai
ẩn là x1 và x2
3 áp dụng cách giải hệ phơng trình biến đổi để khử tham số
Ví dụ : Cho phơng trình ẩn x :
x2 - 2.( m + 1 )x + 2m + 10 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
Giải : Ta có Δ’ = m2 - 9
Do đó phơng ttrình có hai nghiệm phân biệt khi m < - 3, m > 3
Theo hệ thức Vi-et : x1 x2 = 2m + 10
x1 + x2 = 2( m + 1 ) = 2m + 2
Trang 8⇒ x1x2 - ( x1 + x2 ) = 8
Đây là biểu thức cần lập
5 Dạng 5: Dạng toán tìm giá trị của tham số để biểu thức chứa x 1 ,
x 2 có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức chứậ x 1 , x 2
Dạng toán này cũng là dạng toán học sinh đã đợc làm quen từ lớp 7, chỉ khác là các em phải biết áp dụng định lý Vi-et để lập ra biểu thức chứa x1, x2 Vì vậy để giải dạng toán này , trớc hết phải tính tổng và tích các nghiệm dựa vào
định lý Vi-et sau đó mới tìm điều kiện của tham số để biểu thức vừa lập đợc có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức
đó theo yêu cầu của bài toán
Ví dụ : Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x2 - 2( m - 1 )x + n + 1 = 0
Khi m - n = 4, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của p = x1 + x2
Giải : Từ m - n = 4 ta suy ra ; n = m - 4
Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2 ( m - 1 ) ; x1x2 = n + 1
Do đó : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
= [ 2( m - 1 ) ]2 - 2( n + 1 )
= [ 4( m2 - 2m + 1 ) ] - 2 ( m - 3 )
= 4m2 - 8m + 2 - 2m + 6
= 4m2 - 10m + 8
= ( 2m - 2,5 )2 + 1,75 1,75
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,75 khi m = 1,25
6 Dạng 6: Dạng toán áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để giải toán về tìm max – min, toán nghiệm nguyên.
a) áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để giải toán
Các bài toán về cực trị đại số là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào THPT hay tuyển sinh vào trờng chuyên lớp chọn Có thể nói đây là dạng toán yêu cầu học sinh phải có sự t duy tốt, biết vận dụng các kiến thức tổng hợp của số học và đại số Các bài toán cực trị có nhiều cách giải khác nhau, và một trong các cách giải đó là sử dụng điều kiện có nghiệm của
ph-ơng trình bậc hai
Phơng pháp này còn gọi là phơng pháp miền giá trị của hàm số
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
A = x2− x +1
x2
Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây
có nghiệm:
a = x2− x +1
x2 +x+1 (1)
Do x2 + x + 1 ≠ 0 nên (1) <=> ax2 +ax + a = x2 - x + 1
<=> (a-1)x2 +(a+1) x + (a-1) =0
Trờng hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0
Trờng hợp 2: Nếu a≠ 1 thi để (2) có nghiệm <=> Δ≥ 0 tức là:
(a-1)2 – 4(a-1) ≥ 0
<=> (a+1 +2a -2)( a+1 -2a +2) ≥ 0
<=> (3a -1)(a-3) ≤ 0
<=> 1/3 ≤ a ≤ 3 (a ≠ 1)
Với a=1/3 hoặc a= 3 thì nghiệm của (2) là
Trang 9x =−(a+1)
2(a −1) =
a+1
2(1− a)
Với a = 1/3 thì x = 1, với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
Min A = 1/3 khi x = 1
Max A = 3 khi x = -1
b Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm nghiệm nguyên.
Với bài toán nghiệm nguyên cũng có rất nhiều cách giải khác nhau và một trong những cách giải đó là sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai Với cách giải này ta sẻ làm nh sau:
Biến đổi phơng trình đã cho về dạng phơng trình bậc hai một ẩn, khi
đó để phơng trình có nghiệm là Δ ≥ 0 và để phơng trình có nghiệm nguyên
thì Δ là số chính phơng
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x + y + xy = x2 + y2 (1)
Giải:
Biến đổi (1) về phơng trình bậc hai với ẩn x:
x2 – (y + 1)x + (y2 - y) = 0 (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là Δ ≥ 0
Δ = (y + 1)2 – 4(y2 - y)
Δ = -3y2 + 6y + 1
Suy ra
Δ ≥ 0 <=> -3y2 + 6y + 1 ≥ 0
<=> 3(y - 1)2 ≤ 4
Do đó (y - 1)2 ≤ 1 Suy ra:
Với y = 0 thay vào (2) đợc x2 – x = 0 Ta có x1 = 0, x2 = 1
Với y = 1 thay vào (2) đợc x2 – 2x = 0 Ta có x3 = 0, x4 = 2
Với y = 2 thay vào (2) đợc x2 – 3x + 2 = 0 Ta có x5 = 1, x6 = 2
Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng phơng trình (1)
Đáp số: (0;0) , (1;0) , (0;1) , (2;1) , (1;2) , (2;2)
Trang 10c Kế luận:
1 Kết quả nghiên cứu:
Sau một thời gian vận dụng những biện pháp trên vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là hớng dẫn học sinh làm các dạng toán về phơng trình bậc hai một
ẩn cá nhân tôi nhận thấy học sinh nắm vững và giải thành thạo các dạng toán về phơng trình bậc hai một ẩn, các em biết cách phân loại thành các dọng bài tập cụ thể từ đó áp dụng cách giải hợp lý cho tùng dạng bài tập Do đó đã cải thiện đợc kết quả học tập của các em một cách rõ nét
Cụ thể kết quả thu đợc nh sau:
Tổng
số
HS
2.Kiến nghị đề xuất:
Thực tế cho thấy khi áp dụng các biện pháp trên vào dảng dạy thì kết quả học tập cảu các em đợc nâng lên song những biện pháp này cũng không thể tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tôi mong nhận đợc sự trao đổi , góp ý của bạn bè và đồng nghiệp để tôi có đợc những biện pháp hay trong việc hớng dẫn học sinh học tập tốt hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Định Long, ngày 10 tháng 3 năm 2009
Ngời thực hiện
Nguyễn Văn Bình