b Với kết quả tìm được ở câu a chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol.. Qua điểm M tùy ý trên đường chuẩn của P kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với P,
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 16: CÁC BÀI TOÁN VỀ PARABOL
Câu 1 a) Cho ( ) :P yx2, gọi ( ) là đường thẳng đi qua (1;2)A và có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và ( ) nhỏ nhất
b) Tìm tiếp tuyến chung của (P): y2 6x và Elip
1
x y
Câu 2 M là một điểm thuộc parabol( ) :P y2 64x, N là một điểm thuộc đường thẳng ( ) : 4 x3y46 0
a) Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất
b) Với kết quả tìm được ở câu a) chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol
Câu 3 Cho ( ) :P y x2 và hai điểm A, B di động trên (P)
a) Cho ( 1;1); (2;4)A B Xác định vị trí điểm M trên cung AB của ( )P sao cho MAB có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
b) Cho AB 2, xác định ví trí của A, B sao cho diện tích hình phẳng tạo bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 Cho ( ) :P y2 2px Qua điểm M tùy ý trên đường chuẩn của (P) kẻ hai tiếp tuyến
MA và MB với (P), trong đó A, B là các tiếp điểm
a) Chứng minh rằng MA MB
b) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua tiêu điểm của (P)
Câu 5 Cho
25 9
x y
a) Lập phương trình của parabol (P) có đỉnh trùng với gốc tọa độ và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái của elíp đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng chắn trên parabol tìm được một dây cung nhận điểm ( 4;1)
A làm trung điểm
Câu 6 Cho
2
( );
2
x
P y
và
15 27
;
8 8
A
a) Viết phương trình đường thẳng qua 1
1 1;
2
M
và vuông góc với tiếp tuyến của ( )P tại M 1
b) Tìm tất các các điểm M ( )P sao cho AM vuông góc vơi tiếp tuyến tại M của (P)
Câu 7 Cho ( );P y2 4x và hai đường thẳng ( ) :1 m x my2 1 0; (2) :x my m 2 0 a) Chứng minh rằng ( )1 ( 2) và giao điểm I của ( ),(1 2) di động trên 1 đường
thẳng cố định khi m thay đổi.
b) Chứng minh rằng ( )1 và (2) luôn tiếp xúc với (P) Gọi A, B là các tiếp điểm
Chứng minh AB đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Trang 2Câu 8 Cho (0;2) A và ( ; 2)B m Viết phương trình đường trung trực (d) của AB Chứng minh
rằng (d) luôn tiếp xúc với một đường cong (C) khi m thay đổi.
Câu 9 Cho ( ) :P y2 4x
a) Chứng minh rằng từ N tùy ý thuộc đường chuẩn của (P) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) mà 2 đường thẳng này vuông góc với nhau
b) Gọi T T là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến trên Chứng minh rằng 1, 2 T T luôn đi qua một1 2
điểm cố định khi N chạy trên đường chuẩn
c) Cho M ( )P với M , tiếp tuyến tại M của (P) cắt Ox , Oy tại A, B Tìm quỹ tích/ 0
trung điểm U của AB khi M chạy trên (P)
Câu 10 a) Cho ( ) :P y2 8x và (2;4)I , xét góc vuông quay quanh I và hai cạnh góc vuông cắt (P) tại M, N Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
b) Cho ( ) :P y x2 và đường thẳng ( ) :d y mx Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai1 điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
Câu 11 Cho (3;0) A và ( ) :P y x 2
a) Cho M ( )P có x M , tính AM và tìm a để AM ngắn nhất a
b) Chứng minh nếu AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P)
Câu 12 Cho parabol ( ) :P y22px0(p0)
a) Chứng minh rằng với mỗi m R , qua 2,
p
A m
ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm và chứng minh đường thẳng này
đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Câu 13 Cho parabol ( );P y2 2px.Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến của (P) vuông góc với nhau
Câu 14 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong parabol ( ) :P y x 2 Gọi a,
b, c là hoành độ các đỉnh của A, B, C
a) Viết phương trình đường thẳng BC và phương trình tiếp tuyến tại A của (P)
b) Giả sử A cố định, B và C thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A:
i) Chứng minh cạnh BC luôn qua điểm cố định D.
ii) Viết phương trình đường tròn đường kính AD Chứng minh đường tròn này tiếp xúc
với (P) Xác định các tiếp điểm
c) Một góc vuông đỉnh O cắt parabol tại A1 và A Hình chiếu của2
1 và lên Ox là và 2 1 2
i) Chứng minh OB OB1 2 const
ii) Chứng minh rằng A A luôn đi qua một điểm cố định.1 2