Bài giảng 21 ( Đề-đáp án ) môn Toán thi vào lớp 10

3 điểm Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn O.. Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: b Chứng minh tứ giác ANPM nội tiếp... 4 điểm Cho đường tròn O,R và đường thẳng

ĐỀ SỐ 1.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

QUẢNG TRỊ Khĩa ngày 2 tháng 7 năm 2006

MƠN: TỐN

( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao đề )

Phần I : Trắc nghiệm khách quan ( 2.0 điểm )

Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất.

1 Biểu thức xác định với giá trị nào sau đây của x ?

số sau đây ?

A 96 cm2 B 100  cm2 C 144  cm2 D 150  cm2

Phần II : Tự luận ( 8.0 điểm )

Bài 1: ( 1,5 điểm )

Cho phương trình bậc hai, ẩn số x: x2 - 4x + m + 1 = 0

1 Giải phương trình khi m = 3

2 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

3 Tìm giá trị của m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2

thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10

1 Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp

2 Chứng minh AI.BK = AC.CB

3 Chứng minh tam giác APB vuông

4 Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của C sao cho tứgiác ABKI có diện tích lớn nhất

Vậy với m ≤ 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm

3 Với m ≤ 3 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm Gọi hai nghiệmcủa phơng trình là x1, x2 Theo định lý Viét ta có : x1 + x2 = 4 (1),

x1.x2 = m + 1 (2) Mặt khác theo gt : x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2

x1.x2 = 10 (3) Từ (1), (2), (3) ta đợc :16 - 2(m + 1) = 10  m = 2 <3(thoả mãn) Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệmthoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10

Bài 2:

của hệ phơng trình đã cho

Bài 3:

1 Ta có

 A = (vì A > 0)

Bài 4:

2 Ta có KC  CI (gt), CB  AC (gt)  (cặp góc nhọn có cạnh

t-ơng ứng vuông góc).Xét hai tam giác vuông AIC và BCK ( ) có

(cm/t) .Suy ra AIC đồng dạng với BCK Từ đó suy ra

(đpcm)

3 Tứ giác CPKB nội tiếp (câu 1) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn

suy ra tứ giác AIPC nội tiếp  (2) Cộng vế theo vế của (1) và (2)

4 IA // KB (cùng vuông góc với AC) Do đó tứ giác ABKI là hình thang

(theo câu 2) .Nên Max BK  Max AC.CB Mà

(không đổi) Dấu “=” xảy ra  AC = BC  C là trung điểm của AB Vậy khi C là trung

điểm của AC thì SABKI là lớn nhất

Gọi O là tâm đờng tròn đờng kính IC

ĐỀ SỐ 2.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

QUẢNG BèNH Khúa ngày 3 thỏng 7 năm 2006

1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng biến hay nghịch biến ?

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy

Khi tăng số thứ nhất lên 3 đơn vị thì số thứ nhất sẽ là x + 3 và số thứ hailên 2 đơn vị thì số thứ hai sẽ là y + 2.

E

D

C A

B

a) Ta có H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH AB

áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 2x – x2 = x(2 - x)

y – 2y2 = y(1 – 2y ) = (2x – x2)(y – 2y2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 1, y =

Vậy GTLN của A là  x = 1, y =

Giải hệ phơng trình:

Bài 4: ( 2 điểm )

Một đội công nhân hoàn thành một công việc, công việc đó đợc định mức 420 ngày công thợ Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày, giả thiết năng suất của các công nhân là nh nhau

Bài 5: ( 4 điểm )

Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

d) Gọi O là giao điểm của AH và EF Chứng minh: p < OA + OB + OC

< 2p, trong đó 2p = AB + BC + CA

=> B3 - 3B - 18 = 0

<=> (B - 3)(B2 + 3B + 6) = 0 VËy B = 3

Bµi 2.

Bài 3.

Bài 4.

Gọi số công nhân của Đội là x (x nguyên dơng)

Phần việc đội phải làm theo định mức là:

Nếu đội tăng thêm 5 ngời thì phần việc phải làm theo định mức là:

Theo đầu bài ta có pt:

Ta đợc: x1 = 15 (thoả mãn); x2 = -20 (loại)

Vậy đội công nhân có 15 ngời

Bài 5.

O F

=>

Do đó:

=> BEFC là tứ giác nội tiếp

Thu gọn các biểu thức sau:

a) A =

Câu 3: ( 2 điểm )

Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên Tìm m để

Câu 4: ( 4 điểm )

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến

MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D

Cách 1: Từ (a)  y = 1 – 2x (c) Thế (c) vào (b) ta được:

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Cách 1: Ta có: ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt

Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên Tìm m để

Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

D C

A

B

I

H K

b) * MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên

MAO =  MBO = 900

* I là trung điểm dây CD nên  MIO = 900

Do đó:  MAO =  MBO =  MIO = 900

 5 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO

c)  Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R(O) Do đó MO là trung trực của AB  MO  AB

Trong MAO vuông tại A có AH là đường cao  MA2 = MH.MO Mà MA2 = MC.MD (do a))

Xét  MHC và MDO có:

M chung, kết hợp với (1) ta suy ra MHC và MDO đồng dạng (c–g –c)

  MHC =  MDO  Tứ giác OHCD nội tiếp

 Ta có: + OCD cân tại O   OCD =  MDO

+  OCD =  OHD (do OHCD nội tiếp)

Do đó  MDO =  OHD mà  MDO =  MHC (cmt)   MHC =  OHD

 900 –  MHC = 900 –  OHD   CHA =  DHA  HA là phân giác của  CHD hay AB

là phân giác của  CHD

d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì  OCK =  ODK = 900)

  OKC =  ODC =  MDO mà  MDO =  MHC (cmt)

  OKC =  MHC  OKCH nội tiếp

  KHO =  KCO = 900

 KH  MO tại H mà AB  MO tại H

 HK trùng AB  K, A, B thẳng hàng

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD

a) Chứng ning OM // DC

b) Chứng minh tam giác ICM cân

c) BM cắt AD tại N Chứng minh IC2 = IA.IN

b) Gọi vân tốc xe thư nhất là x ( km/h) ( x> 6)

Vân tốc của xe thứ hai là ( km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là: ( giờ )

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là: ( giờ )

Theo bài ra ta có phương trình: = (*)

Giải phương trình (*) tìm được x = 60 và x = – 54 ( loại )

Kết luận: Vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 54 km/h

Câu 4.

GT cân tại A, nội tiếp (O)

M là trung điểm của AC

I là trung điểm của OD

KL a) OM // DC

c) IC2 = IA.IN A

=> cân tại I.

c) Ta có: góc IMC = góc ICM, góc ICM = góc IBA => góc IMC = góc IBA

Suy ra tam giác AMI đồng dạng với tam giác MNI

Suy ra MI2 = IA.IN, mà IC = IM nên IC2 = IA.IN

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi A’, C, B thẳng hàng, tức là C

Là giao điểm của A”b với trục Ox A’

A’ => pt đường thẳng A’B: y =

Đường thẳng A’B cắt trục Ox tại C ( ) => m =

Bài 4 ( 3,5 điểm )

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cạnh AB lấy điểm N ( N khác A và

B ), trên cạnh AC lấy điểm M sao cho BN = AM Gọi P là giao điểm của BM và CN

b) Chứng minh rằng AMPN là tứ giác nội tiếp

c) Tìm quỹ tích các điểm P khi N di động trên cạnh

Bài 2

a) x2 + 2x – 35 = 0 (*)

’ = 1 + 35 = 36 = 62

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Giải hệ phương trình: nhân với 2 và lấy Ta có

b) Với phương trình đường thẳng OA có dạng y = ax Thay thế tạo độ A vào ta có 1 = a.

vì d // OA nên phương trình đường thẳng d có dạng y = x + b

d đi qua B ( 2; 0 ) => 0 = 2 + b => b = => phương trình d là y= x

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

b) Chứng minh tứ giác ANPM nội tiếp

tiếp

c) Quỹ tích điểm P khi N di động trên cạnh AB

M

N P

Tứ giác ANPM nội tiếp và => =>

BC cố định => Pluôn nhìn bc với góc 1200 không đổi Nên khi N di động trên AB thì quỹtích P là cung chứa góc 1200 dựng trê đoạn BC

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3 ( 1,5 điểm )

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parapol (p) có phương trình là

y = -

a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3)

b) Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung bao giờ cũng cắt parabol y = - tại 2 điểm phân biệt

Bài 4 ( 4 điểm )

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại 2 điểm A, B Từ điểm M nằm trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn (O,R) kể hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn , trong đó P và Q là các tiếp điểm

a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn(O,R).Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ

b) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) để tứ giác MPOQ là hình vuông

c) Chứng minh rằng điểm M di chuyển trên đường thẳng (d) thì đường tròn nội tiếp tam giác MPQ chạy trên một đường thẳng cố định

(thoả món)

v ậy m = ,là giỏ trị cần tỡm

+)Khi m = - , phương trỡnh (1) trở thành : t2 + 2 t = 0

(khụng thớch hợp)Vậy m = - khụng thoả món loaị

Tóm lại phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt m =

Đờng thẳng (d) và parabol(p) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt với mọi k

> 0 với mọi k

k2 + 4k + 6 > 0 với mọi k

Thật vậy = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 với mọi k

 điều phải chứng minh

 góc PMO = QMO => cung PI = cung IQ

Ta có góc MIP là góc tạo bởi một dây cung và tiếp tuyến => Sđ góc MPI =Sđ cung PI

Lại có Sđ góc IPQ = Sđ cung QI => góc MPI = góc IPQ => PI là tia phân giác của góc MPQ (2)

Từ (1) và (2) => I là giao điểm của hai đường phõn giỏc tại đỉnh M và đỉnh P của tam giỏc MPQ => I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MPQ (đpcm)

+ Vẽ đờng tròn (O, R )

+ Lấy giao điểm M của đờng thẳng (d) và đờng tròn (O, R )

=> M là điển phải dựng

* Chứng minh:

Vỡ MO = R > R => M naốm ngoaứi ủửụứng troứn (O,R)

Neõn tửứ M keỷ ủửụùc hai tieỏp tuyeỏn MP vaứ MQ ủeỏn ủửụứng troứn + AÙp duùng ủũnh lyự Pitago trong tam giaực vuoõng MPO ta coự

MP2 = MO2 – OP2 = 2R2 – R2 = R2 => MP = R

Tửụng tửù chửựng minh ủửụùc MQ = R => MPOQ laứ tửa giaực coự 4 caùnhbaống nhau vaứ coự 1 goực vuoõng => MPOQ laứ hỡnh vuoõng

* Bieọn luaọn:

Vỡ ủửụứng thaỳng (d) vaứ ủửụứng troứn (O, R ) caột nhau taùi 2 ủieồm

=> baứi toaựn coự hai nghieọm hỡnh Cõu c)

+ ẹửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ laứ ủửụứng troứn ủửụứng kớnh MO

+ Tửứ O keồ ủửụứng thaỳng vuoõng goực ủeỏn ủửụứng thaỳng (d) taùi K

=> goực MKO = 1v

=> K naốm treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh MO

=> ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ ủi qua 2 ủieồm coỏ ủũnh O vaứ K

=> taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ chaùy treõn ủửụứng trung trửùc ( )

của đoạn OK.

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A cĩ nghĩa

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999

Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và đỉnh B Đường tròn đường kính BD cắt cạnh BC tại E Đường thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là G Đường thẳng CD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là

F Gọi S là giao điểm của các đường thẳng AC và BF Chứng minh:

a) Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG

Với v = => y = Vậy hệ có nghiệm là :

Bài 3 Phương trình đã cho nhận x1 = 2 là nghiệm

4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0

a2 – 2a – 8 = 0

Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là:

x2 = +) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là

x2 = -2 +) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là

x2 = -

Bài 4.

Cõu a) Chứng minh AC // FG ( 1 đ)

Tứ giỏc ACED cú : gúc A = gúc E = 1v

nờn nội tiếp được trong một đường trũn

=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1)

Mặt khỏc 4 điểm D,G, E, F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BD

nờn tứ giỏc DGEF nội tiếp được đường trũn

=> gúc DEG = gúc DFG (2)

Từ (1) và (2) => gúc ACD = gúc DFG

=> AC // FG (Vỡ cú 2 gúc so le trong bằng nhau)

Cõu b) Chứng minh SA.SC = SB SF (1,5đ)

Tứ giỏc ACBF cú A = F = 1v => tứ giỏc ACBF nội tiếp đường trũn đường kớnh BC

=> FAC + FBC = 2v

Lại cú FAC + SAF = 2v

=> SAF = FBC hay SAF = SBC

Xột 2 tam giỏc SAF và SBC cú :

=> ED là tia phân giác của góc AEF

Mặt khác : CF và BA là các đờng cao của tam giác SBC

nên D là trực tâm của tam giác này => SD BC

Đặt t = ( điều kiện t 0 ) , phương trình (a) trở thành

t2 – t + 6 = 0 ( vô nghiệm) b) Trường hợp : x + 1 + - 6 = 0 (b)

Đặt t = ( điều kiện t 0 ) , phương trình (b) trở thành

t2 + t - 6 = 0 t = - 3 (loại) hoặc t = 2 (thoả mãn)

t = 2 => = 2 x + 1 = 4 x = 3 Vậy phương trình có một nghiệm x = 3

a) Rút gọn biểu thức T

b) Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x 1 luôn có T <

Bài 3 ( 1 điểm )

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình

y = x2 (P)

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x +

12 và có với parabol (P) đúng một điểm chung

BC đến đường tròn (T) (D và C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường tròn (O) thì AD +

BC có giá trị không đổi

b) Chứng minh rằng đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Chứng minh rằng với bất kỳ vị trí nào của M trên đường tròn (O) luôn có bất đẳng thức AD.BC R2  Xác định vị trí của M trên đường tròn (O) để đẳng thức xảy ra

d) Trên đường trìn (O) lấy điểm N cố định Gọi I là trung điểm của MN và P là hình chiếu vuông góc của I trên MB Khi M chuyển động trên đường tròn (O) thì P chạy trên đường nào ?

ĐÁP ÁN

ĐỀ SỐ 9

=> phương trình đã cho trở thành : x2 - = 0 x =

=> phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau

=> m = 0 là giá trị cần tìm Câu b)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

=> x1 > 0 ; x2 > 0 và x12 + x22 = 9

Ta có x12 + x22 = (x1 + x2 )2  - 2x1x2 = 4m2 – 2(m2 - ) = 2m2 + 1

=> và x12 + x22 = 9 2m2 + 1 = 9 m = 2

+Với m = 2 phương trình đã cho trở thành :

của góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 m

phương trình (*) có nghiệm duy nhất

+) Vì BH và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M, MH) cùng xuất phát từ đỉnh B

=> BC = BH (2) 0,25đ

+) Từ (1) và(2) => AD + BC = AH + BH = AB = 2R = không đổi

=> góc AMD = góc AMB (3)

+ Vì BH và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M, MH) cùng xuất phát từ B

=> góc BMC = góc BMH (4)

Từ (3) và (4) => góc AMD + góc BMC = góc AMH + góc BMH

= góc AMB = 900

=> (góc AMD + góc BMC) + (góc AMH + góc BMH) = 1800

=> 3 điểm C, D, M thẳng hàng và M là trung điểm của CD

b)Vì AD và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M,MH)

=> AD CD và BC CD => ABCD là hình thang vuông

Mặt khác : O là trung điểm của AB và M là trung điểm của CD

 OM là đường trung bình của hình thang ABCD

 OM // AD

LẠi có AD CD => OM CD

Mà Om là đường kính của đường tròn (O)

=> CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) Câu c)

Ta có : 4.AD.BC = (AD + BC)2- (AD – BC)2

(AD +BC)2 = 4R2

=> AD.BC R2

Đẳng thứ xảy ra AD = BC ABCD là hình chữ nhật

ngoại tiếp nửa đường tròn đường kính AB M là trung

điểm của của nửa đường tròn đường kính AB Câu 4 (1đ)

Ta có góc AMB = 900 (Góc nôịo tiết chắn nửa đường tròn )

 AM MB.Mặt khác : IP MP (gt)

 => AM // IP hay IK //AM

Xét ANM có IK // AM , I là trung điểm MN

=> IK là đường trung bình

=> K là trung điểm của AN mà A và N cố định => K cố định

Ta có góc BPK = 900 và các điểm B, K cố định

=> Khi m chuyển động trên đường tròn (O) thì P chạy trên đường tròn

a) Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua M và N

b) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với 2 trục Ox và Oy

Bài 3 ( 2 điểm )

Cho số nguyên dương gồm 2 chữ số Tìm số đó biết rằng

tổng của 2 chữ số bằng 1/8 số đã cho và nếu thêm 13 vào tích

2 chữ số sẽ được 1 số mới viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho

Bài 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác PBC , PA là đường cao Đường tròn đường kính BC cắt PB ,PC lần lượt ở M và N , NA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh 4 điểm : A, B, P, N cùng thuộc 1 đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

Vậy đường thẳng (d) : y = - x + 2

b) Xác định tạo độï giao giao điểm của (d) với 2 trục toạ độ

+ Giao của (d) với trục Oy: Cho x = 0 vào phương trình y = - x + 2

ta tìm được

y = 2 => (d) cắt trục Oy tại điểm (0; 2)

+ Giao của (d) với trục Ox : Cho y = 0 ta có: 0 = - x + 2 => x = 4

 (d) cắt trục Ox tại điểm (4;0)

Bài 3.

Gọi số nguyên dương có hai chữ số là ab

(Điều kiện : a , b N ; 1 ; 0 )

Tổng hai chữ số của nó la:ø a + b

Theo bài ra ta có phương trình : a+ b = ab hay : a+b = (10a+ b) (1)

Tích hai chữ số của nó là : a.b

Theo đầu bài ta có phương trình: ab + 13 = ba hay : ab + 13 = 10b + a(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: