on thi dh cap toc ôn thi đại học cấp tốc phương trình chứa căn các dạng thường gặp 1 2 hoặc 3 embed equation 3 đặt điều kiện cho từng dấu căn có nghĩa sau đó bình phương hai vế đưa về dạng 1 bài

Tiếp tục giải.[r]

Phương trình chứa căn Các dạng thường gặp:

1/

√f (x)=g (x) ⇔

g (x)≥ 0

f (x)=g2(x)

¿{

2/

√f (x)=√g(x )⇔

f (x)≥ o

f (x )=g(x )

¿{

hoặc

⇔ g(x )≥ 0

f (x)=g (x)

¿{ 3/√f (x)+¿√g(x)=√h(x) Đặt điều kiện cho từng dấu căn có nghĩa, sau đó bình phương hai vế đưa về

dạng 1/

Bài 1 : Giải phương trình: 1 x 4x  ĐS :3 x0,x3

Bài 2 : (ĐHCĐ-97) : Giải phương trình : 4 x2x1 4 ( )

Giải :

 Nếu x  PT ( )1  trở thành: 4 x2  x 5 x2 6x 7 0 

1 7

x x









 Nếu 2    PT trở thành: 4x 1 x2x3 x2 22x 23 0 

1 ( )

23 ( )









 KL: Nghiệm PT là x1,x 7

Bài 3 : (TSĐH-KD-2006) : Giải phương trình: 2x 1x2 3x1 0 (1)

Giải :

 Biến đổi phương trình thành: 2x 1x23x 1 ( ) ,

 Đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:

( )  x4 6x311x2 8x2 0  (x 1) (2 2x  4x2) 0 (Tiếp tục giải)Tiếp tục giải)

Bài 4 : (TSĐH-KD-2005) : Giải phương trình: 2 x2 2 x1 x1 4 (1)

Giải :

 Điều kiện : x 1

 PT (1)  2  x1 1 2 x1 4

 2. x1 1   x1 4  x   1 2 x  là nghiệm PT(1)3

Sử dụng hàm số để tìm điều kiện nghiệm

của phương trình chứa căn

I./ Phương pháp giải toán

Bài toán:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x, m) = 0 (1) có nghiệm thực x X

Trong đó f(Tiếp tục giải)x, m) là biểu thức chứa biến x và m là tham số, D là tập hợp con của 

Các bước giải tổng quát:

Bước 1: Biến đổi (Tiếp tục giải)1) thành g(Tiếp tục giải)x) = m (Tiếp tục giải)2) (Tiếp tục giải)còn gọi là cô lập m).

Bước 2: Tìm GTNN và GTLN của g(Tiếp tục giải)x) trên X.

Bước 3: f(Tiếp tục giải)x, m) = 0 (Tiếp tục giải)1) có nghiệm thực x X  min ( ) max ( )

X g x m X g x

Chú ý:

 Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X D g x( )

(Tiếp tục giải)miền xác định của g(Tiếp tục giải)x))

 Nếu hàm g(Tiếp tục giải)x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (Tiếp tục giải)BBT) của g(Tiếp tục giải)x)

 Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT

 Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(Tiếp tục giải)x) và nhớ tìm điều kiện của t (Tiếp tục giải)miền giá trị của t)

II./ Bài tập áp dụng

Bài 1 : Tìm điều kiện của m để phương trình x22x m 2x 1 (1)

1) có nghiệm thực 2) có 1 nghiệm thực 3) có 2 nghiệm thực phân biệt

HƯỚNG DẪN

1 2

x 

ta có: BBT

Dựa vào BBT, ta có:

1) m 2 2)

4

m  m

3)

4m .

Bài 2 : Tìm điều kiện của m để phương trình

2

2

16

m x

x

 (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Đặt t  16 x2  t(0; 4], (1) trở thành

2

m

t

Lập BBT của hàm số f t( )t2 4t, ta có 4m0

Bài 3 : Tìm điều kiện của m để phương trình

2 0

m

  (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Đặt

1 (0; ) \ {1}

2

x

x



 , (1) trở thành

2

m

t

Lập BBT của hàm số f t( )t22t, ta có 0m 3

Bài 4 : Tìm điều kiện của m để phương trình x1 m x 1 2 4 2x  1 0 (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

 Điều kiện: x  1

TH1 : Nếu : x  : PT(1) vô nghiệm.1

TH2 : Nếu : x  : PT(1)1 4 4

2 0

m

Đặt

x



2

m

t

Lập BBT của hàm số f t( )t22t, ta có m  3

Bài 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2x 3 x m (1)

1) Có nghiệm thực, 2) Có 2 nghiệm phân biệt

HƯỚNG DẪN

2

1 2

- 

1

y

y'

x

5 4

_

+ 

Ta có (1)  x2 2x 3 x m

Đặt y x2 2x 3 x x,  1 x3

2

y

BBT :

Dựa vào BBT:

1) 3 m  1 m ,1 2) Không có m

Bài 6 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x1 1 x m (1)

HƯỚNG DẪN

( ) 1 1 , [ 1; 1] '( )

2 1

x

BBT

Dựa vào BBT, ta có:

+ m 2 m : PT(1) vô nghiệm.2

+ m = 2: PT(1) có 1 nghiệm

+ 2m 2: PT(1) có 2 nghiệm phân biệt

Bài 7 : Tìm điều kiện m để phương trình x  9 x  x29x m (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

x





Đặt

t  x x   t     x

, ta có (1) trở thành: t22t 9m

BBT của hàm số yt22t trên 9

9 0;

2

 

 

 

2 0

- 2

1

- 1

f(x)

f'(x)

x

2

_

- 1

- 3

- 1

3

1

+ 

f(x)

f'(x)

9 2

10 0

9

0

f(t)

f'(t)

t

- 9 4

_

Từ BBT ta có với :

thì PT (1) có nghiệm

Bài 8 : Tìm điều kiện m để phương trình x4 x 4x x 4 m (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Đặt t  x 4 0  x t 24 Ta có (1) trở thành:

t  t t   t m t  t m

Lập BBT của hàm số y t 22t6, t  ta có 0 m  6

Bài 9 : Tìm điều kiện m để phương trình 6 9 6 9

6

x m

x x  x x  

(1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Đặt t  x 9 0  x t 2 Ta có (1) trở thành:9

2

6

t  t   t  t     6t3 t 3 t29m

2 2

12 9 , 3 (*)

27 , 0 3 (**)

 

 + Lập BBT của hàm số yt212t 9,t  ta suy ra (Tiếp tục giải)*) có nghiệm thực 3  m27

+ Do 18 t227 27,  t [0; 3) nên (Tiếp tục giải)**) có nghiệm thực  18m27

Vậy với m 27 thì (1) có nghiệm thực.

Bài 10 : Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Đặt t  x 1 3 x   0 t2 2 2 x 1 3 x  2 t 2.

Mặt khác t2 2 2 x 1 3 x  2 [(x 1) (3  x)] 4  2 t 2

Ta có (1) trở thành:

2

2

t

t  m  t  t m

Lập BBT của hàm số

2

2

y t  t t 

  ta có 1m 2

Chú ý: Nên lập BBT của t  x 1 3 x để tìm miền giá trị t

Bài 11 : Tìm m để phương trình x44x m 4x44x m  (1) có nghiệm thực.6

HƯỚNG DẪN

Đặt t 4 4x 4x m 0 Ta có: (1)

4

Lập BBT của hàm số yx4 4x16 trên  ta có m 19.

Bài 12 : Tìm điều kiện của m để phương trình 1 x2 2 13  x2 m (1)

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (1) thì – x0 cũng là nghiệm của (1)

Suy ra x0 x0 x0 là nghiệm duy nhất của (1) 0

Thế x0 = 0 vào (12) ta được m = 3 Thử lại ta thấy (1) có nghiệm duy nhất Vậy m  3

2) Đặt t 61 x2  0  Ta có (1) trở thành t 1 t32t2m

Lập BBT của hàm số y t 32t2 trên 0;1 ta suy ra 0m 3

Bài 13 : Chứng tỏ rằng phương trình

2

x



 (1) luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m

HƯỚNG DẪN

(1)

2

2

 











Xét hàm số

2

Mặt khác

lim

x

x x

 





1 2

lim

x

x x







 



Suy ra hàm số f(Tiếp tục giải)x) có tập giá trị là  Vậy PT(1) luôn có nghiệm thực với mọi m.

Bài 14 : Tìm m để phương trình

1 ( 3)( 1) 4( 3)

3

x

x



 (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Điều kiện

1

3

x

x



    

+ Với x  : (16)1  (x 3)(x1) 4 ( x 3)(x1) m

Đặt t  (x 3)(x1)    , PT(1) trở thành 0, x 1 t2 4t m  m 4

+ Với x  : (16)3  (x 3)(x1) 4 ( x 3)(x1) m m Vậy 0 m  4

Bài 15 : (TSĐH-KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

m x   x    x  x   x (1)

Giải :

 Điều kiện : 1   Đặt x 1 t  1x2  1 x2

 Vì 1x2  1 x2  t 0(t 0khi x0)

t2  2 2 1 t4  2 t  2 (t 2khi x1)

Vậy t liên tục trên đoạn 1;1 , khi x  1;1  t0; 2

 PT (1) trở thành: m t( 2)t2 t 2

2

t

  



 ( )

 PT (1) có nghiệm  PT ( ) có nghiệm t0; 2

 Đặt

( )

2

t t

f t

t

  



 

2 2

4

( 1)

t

 Ta có BBT của HS ( )f t như sau:

f(t)

f'(t)

t

2 - 1 1

2 0

_

 Dựa vào BBT ta có PT (1) có nghiệm thực  2 1 m1

Bài 16 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x22 x m (1)

HƯỚNG DẪN

2

2 1

x

x

 



Xét hàm số 2 2 1

x y

x



 

2 2

2 2 2

2 1

2 '

2 1

x x

x y

x

  



2

2

1

x

x

x x

BBT

x    2 2 

y’ – 0 + 0 –

y –1 2

 2 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

+ m  2 m 2: (1) vô nghiệm

+ 1 m 1 m 2: (1) có 1 nghiệm

+  2m  1 1m 2: (1) có 2 nghiệm phân biệt

Bài 17 Tìm m để phương trình 2x2 x 3 mx m (1) có nghiệm thực x  1

HƯỚNG DẪN

Điều kiện

2

x  x   x   x x

Ta có (1)

2

1

x

 

Lập BBT của hàm số

2

1

y

x

 



 ta suy ra m  2 0 m 2

Bài 18 Tìm m để phương trình x x2 x1 m (1) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN

Điều kiện x x2 x1 0  x2 x1x     x

Xét hàm số

2

2

   

 



Giới hạn lim ( ) lim  2 1

x f x x x x x

2

2

f x

x x

1 (1 )

2

x





2

.Vậy (1) có nghiệm thực

2. 2

m

Bài 19 : Tìm m để phương trình x2 2mx1m 2 ( ) có nghiệm

Giải:

 Nếu m   PT ( )2  vô nghiệm

 Nếu m   PT ( )2   x2 2mx m 24m 3 0 (1)

 PT (1) có  2m2 4m3 0, m  với m  PT( )2  có nghiệm

Bài 20 : Tìm điều kiện của m để phương trình: 2 x1 x m ( ) có nghiệm

Giải:

 Đặt t  x1 t  Phương trình thành : 0 2t t 2 1m mt2 2t1

 Đặt f t( )t2 2t1,t0; có: f t'( )2t2 2

BBT:

 Dựa vào BBT ta có : Phương trình ( ) có  m 2

Bài 21 : Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm dương : x2 4x5m4x x 2 (1)

Giải:

 Xét

2

2

2

x



BBT :

 Đặt:t  x2 4x5,x(0; ) t 0; , PT thành: m t 2 t 5 t2 t 5 m0( )

 Đặt f t( )t2 t 5 với t 0;

Nhận xét: Nếu PT ( ) có hai nghiệm t t thì 1 2, t1t2 nên PT( )1  một nghiệm t 1

 Vậy PT (1) có đúng hai nghiệm dương  PT ( ) có đúng một nghiệm t 1; 5

- 

2 1

0

f(t)

f'(t)

t

_

f(x)

f'(x)

x

+  5

1

0

 Đặt g t( )t2 t 5, YCBT  Tìm điều kiện của m sao cho PT: ( ) g t m có đúng một nghiệm

1; 5

t 

Ta có: g t'( ) 2 t1 g t'( ) 0,  t 1; 5

BBT :

 Từ BBT ta có: 3 m 5 thoả YCBT

Bài 22 : Cho phương trình:x4x2x m x ( 21)2 ( ) Tìm m để phương trình ( ) có nghiệm

Giải:

 Phương trình đã cho tương đương:

2 2

(1 )

x





2 2

(1 )

x

 



2

1

x

x

 Khi đó phương trình ( ) trở thành: t22t 4m (1)

 ( ) có nghiệm  (1) có nghiệm t  [ 1;1]

Xét hàm số g t( )t22t với t  [ 1;1] Ta có : '( )g t 2t2  g t'( ) 0,   t [ 1;1]

BBT :

 Từ BBT  Phương trình ( ) có nghiệm 

Bài 23 : Cho phương trình 3x  6 x m 3x 6 x

(1) a./ Giải phương trình khi m  3

b./ Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Giải:

 Đặt: t  3x  6 x  t2 9 2 3 x 6 x9

( )

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 3 x 6 x 9

nên từ ( ) ta có 3 t 3 2

 Phương trình ( ) trở thành t2 2t 92m(2)

a./ Giải phương trình khi m 3

 Với m  (2) 3 t2 2t 3 0  t  Thay vào ( )3  ta được x3,x 6

b./ Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

 PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t3;3 2

 

 Xét hàm số f t  t2 2t 9

với t3;3 2

BBT:

5

- 3

5 1

g(t)

g'(t)

t

+

0

1

- 1

3

- 1

g(t)

g'(t)

t

+

9 - 6 2

- 6

3 2 3

f(t)

f'(t)

t

+

Từ BBT ta có: PT (1) có nghiệm  6 2m 9 6 2

6 2 9

3



Bài 24 : Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3m x21

Giải:

 Phương trình được viết lại dưới dạng: 2

3 1

x





 (1)

 Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của (Tiếp tục giải)C): 2

3 ( )

1

x

y f x

x



 và đường thẳng: y g m ( )m

 Lập BBT :

 KL: m 1 m 10: phương trình vô nghiệm

1 m 1

   hoặc m  10: phương trình có nghiệm duy nhất

1m 10: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 25 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1 3 x  x 1 3   x m

(1)

Giải:

 ĐK: 1x Đặt 3 t  x 1 3 x

 BBT 1 :  BBT 2 :

Từ BBT 1  khi 1x ta có 23  t 2

 Khi đó phương trình (Tiếp tục giải)1) trở thành:

2

Từ BBT 2  khi 2  ta có 1t 2 m 2

 Kết luận: PT(1) có nghiệm  1m 2

Bài 26 : (TSĐH-KB-2006) :

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2mx2 2 x (1)1

Giải :

 PT (1) :  2 2

1 2

x











2

1 2

x

x







 

 



1

- 1

10

1 3

f(x) f'(x)

x

_

+ 

- 

2

2 2

1

t(x)

t'(x)

x

_

1

2 f(t) f'(t)

_

2

2 2

1

t(x)

t'(x)

x

_

(Tiếp tục giải) Vì x  , không phải là nghiệm PT: 0 (2x1)2x2mx )2

 Đặt

2

f x

x

 



ta có BBT của hàm số ( )f x trong nửa khoảng

1; 2

 



  như sau:

 Dựa vào BBT ta có: PT (1) có hai nghiệm thực phân biệt 

9 2

m 

Bài 27 : (TSĐH-KA-2007)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x22x 8 m x(  2) (1)

Giải :

 Điều kiện : x 2

 PT (1)  (x 2) (2x4)2m x(  2) (x 2)(x36x2 32 m) 0

3 2

2

x





 



 Xét PT (2) : (2) x36x2 32m

YCBT  m , PT (2) luôn có môt nghiệm duy nhất 0 x (2;)

 Đặt f x( )x3 6x2 32, ta có:

BBT :

Từ BBT ta nhận thấy m , PT (2) luôn có môt nghiệm duy nhất 0 x (2; (Tiếp tục giải)ĐPCM))

Bài 28 : (TSĐH-KA-2007)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:3 x 1m x1 2 4 2x  1(1)

Giải :

 Điều kiện :

1 0

1 0

x x

 





 

 PT (1)

4

m

4

m

 Đặt

1

x

t

x





 vì x 1 t  mặt khác 0

x

x



do đó :   x 1 0 t 1

  phương trình3t22t m (2) , PT(1) có nghiệm thực  PT(2) có nghiệm t  0;1

 Đặt f t( )3t22t ta có BBT:

+ 

-  +  9

2

0

+ 

- 1 2

+ +

f(x)

f'(x)

x

+  2

+  0

f(x)

f'(x)

x

+

1

- 1 0

1 3

1 3 0

f(t)

f'(t)

t

_

Dựa vào BBT  phương trình (2) có nghiệm t  0;1 

1 1

3

m

  

Bài 29 : Giải phương trình sau :x2004 x 1 1 x2

Giải:

 ĐK : 0x1

 Đặt y 1 x PT  2 1  y2y2y 1002  0 y 1 x0

Bài 30 : Cho phương trình : x1 3 x (x1)(3 x) m(1)

a./ Giải phương trình khi m  2

b./ Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

Giải:

 Đặt t  x1 3 x, TXĐ :x  1;3

 Ta có :

'

t

x x



1

x





BBT :

Từ BBT ta có : x  1;3  t2;2 2 ( )

 t2 4 2 (x1)(3 x) 

( 1)(3 )

2

t

x  x  

(2)

 PT (1) trở thành : t22t4 2 m (3)

a./ Giải phương trình (1) khi m  2

Khi m  thay vào PT (3) ta có 2

2

t

t





    





So điều kiện ( ) chọn t  , thay 2 t  vào PT (2) ta có : 2 x1,x3

b./ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

Đặt g t( )t22t , '( )4 g t 2t2

BBT :

2 2

2 2

3

- 1

t(x)

t'(x)

_

4

g(t)

g'(t)

4 2 - 2 _

Dựa vào BBT ta thấy :PT (1) có nghiệm x  1;3  PT (3) có nghiệm t2;2 2

4 2 2 2m 4 2 2 1 m 2

Giải phương trình chứa căn bằng PP đặt ẩn phụ

Bài 1 : x2x4 x2x1 2x22x9 ( )

HD:

 Đặt: t x2x1

3 4

t

.PT ( ) trở thành: t3 t  2t7(1)

 Giải PT (1) t 1,t  Nghiệm PT ( )4  : x0,x 1

Bài 2 :Giải phương trình : x23x4 x2 2x1

Giải:

 x  không phải là nghiệm PT 0

 Chia cả hai vế PT cho x ta được: x23x4 x2 2x  1

3

 Đặt

x

, Ta có : t3 t 2 0 

1

2

t   x 

Bài 3 : x31 2 2 3 x 1

HD:

 Đặt:y32x 1 y31 2 x

 Phương trình chuyển thành hệ:

3

3

1 2

1 2

  





 



3

1 2 2( )

  



 



3

3

1 2

2 0( )

1 2

x y

 

 

 



 

 

 





 



 



 Từ đó ta có nghiệm PT là: x y 1,

1 5, 2

2

x y  

Bài 4 : Giải phương trình:

2

x  x 

Giải:

 Đặt:

3

31

x u

x v





 

  HPT: 3 3

3 2 1

u v



 





2

3 2

u v



 





3 2 19 36

u v uv









 ,u v là hai nghiệm của phương trình: 2

2 36

 Từ đó có :

12

9 - 5 12

u u













3

3

9 5 12

9 - 5 12

x x



   



   



 Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =

;

Bài 5 : Với giá trị nào của a thì phương trình: 31 x 31x a có nghiệm.

Giải:

 Đặt u 31 x v, 31x Phương trình trở thành:

a u v uv

u v a





  



TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.

TH2: a 0, hệ phương trình trở thành

2

3

u v a

a

 







   



 Vậy phương trình có nghiệm khi 0a2.

Bài 6 : (ĐHKT-95) : Giải phương trình :418 x4x 1 3 ( ) 

HD :

 Đặt : u 418 x  và 0 v4x 1 0  HPT: 4 4

1 (1)

17 (2)

u v

 







 Từ PT (2) : [(u v )2 2( ) ]uv2 22( )uv2 17 0

 Kết hợp với (1) ta có : 81 36( ) 2( ) uv  uv2 17 0  ( )uv2 18( ) 32 0uv   (3)

 Giải PT (3) cho nghiệm : uv2,uv16

 Vậy ta có : TH1 :

3 2

u v uv

 









  Từ đó có được x19,x17,x  2

TH2 :

3 16

u v uv

 







 HPT này vô nghiệm

 Vậy : x19,x17,x là nghiệm của PT đã cho.2

Bài 7 : (ĐHNT-96) : Giải phương trình : x3 3x  ( )1 

HD :

 Đặt : u  x3 0 và v3x  HPT: 2 2

1 3

u v

 







 Giải HPT ta được: u2,u 1 2,u  1 2

(Tiếp tục giải)loại)

 Từ đó có x1,x2 2

là nghiệm PT ( )

Bài 8 : (ĐHTM-98) : Giải phương trình : x2 3x3 x2 3x6 3 ( )

HD:

Đặt : t x2 3x 3

3 4

t

PT ( )  t  t3 3  2t 3 2 ( t t3)  9 t t( 3)  3 t Tiếp tục giải

Bài 9 : (ĐHSPQN-98) : Giải phương trình :(4x 1) x21 2 x22x ( )1 

HD:

 Đặt :t  x2 1  t 1