hãy tính giá trị nhỏ nhất này.. a Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.. b Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất... hãy tính
Trang 1GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh :
3 2
b) Giải hệ phương trình :
74
x y
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị nhỏ nhất này
Bài 3
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1 2
y x
và (d) là đồ thị của hàm số
1 1 2
y x
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0
Bài 4 Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B) Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
GIẢI :
Bài 1
a) Ta có : 9 3 11 2 = 3 3 6 3 9 2 2 2 = 333 3 22 3 32 2 23
= ( 3 2)3
Tương tự 9 3 11 2 ( 3 2)3
Vậy
2
3 2
(đfcm) b) Giải hệ phương trình :
74
x y
74
x y
x y
x y
x y
x y
x y
2
Trang 2
2
7 41 5
y y
13
5
x x
y
y
Vậy hệ có nghiệm là :
5 7
x y
hoặc
13 5 41 5
x y
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị nhỏ nhất này
a) Ta có : ’ = m2 – 2m + 5 = m2 – 2m + 1 + 4 = (m – 1)2 + 4 > 0 , với mọi m
vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Ta có : x1 x22
= x1 x22= x1 x22 4 x x1 2 = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20
= 4(m2 – 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1
Bài 3
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1 2
y x
và (d) là đồ thị của hàm số
1 1 2
y x
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
Bảng giá trị của hàm số
2
1 2
y x
1
1
Bảng giá trị của hàm số
1 1 2
y x
Đồ thị (P) và (d)
Trang 3f(x)=(1 /2)x^2 f(x)=(1 /2)x +1 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=2 , y (t)=t
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x f(x)
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :
2
1
2x =
1 1
2x x2 – x – 2 = 0 Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2 Suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2
Bài 4 Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B) Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất a) AC.BD không đổi
2
1
2
2
y x
Trang 4B
O
A
M
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)
Và OC là phân giác của góc AOM , OD là phân giác của góc MOB
Mà AOM và MOB kề bù nên suy ra CO OD
Mặt khác OM CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) khi M lưu động trên cung AB
b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông
Diện tích
1
2
ABDC AB AC BD
= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên S ABDC nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất
Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B
M là điểm chính giữa của cung AB , MC MD