ĐỀ&ĐA HSG TOÁN 8 HUYỆN QUAN SƠN NĂM HỌC 2013-2014

Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUAN SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10/5/2014

(Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu)

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

A = x −[(16− x ) x

x2− 4 +

3+2 x 2− x −

2− 3 x

x3+4 x2+4 x

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A  0

Câu 2: (3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x - 7) - 36x

b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n luôn chia hết cho 210 với mọi n  Z

Câu 3 : (4 điểm)

a) Giải phương trình sau : 3

x2 +5 x +4+

2

x2

+10 x +24=

4

3+

9

x2 +3 x −18 b) Cho ba số x,y,z≠ 0 thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị của biểu thức:

P = (xyz2 +

yz

x2+

zx

y2−2)2013

Câu 4 : (4 điểm) Cho ABC đều,H là trực tâm, đường cao AD M là một điểm bất kì trên

cạnh BC Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC Gọi I là trung điểm của AM; ID cắt EF tại K

a)Chứng minh: DEIF là hình thoi

b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng

Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và

N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM

CMR: KD là tia phân giác của góc AKC

Câu 6 (3 điểm)

a) Cho x > 0 ;y> 0.CMR: + 

b) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = + + +

Hết

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM

Toán 8

Số báo danh

Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm

1

a

(2đ)

ĐKXĐ: x≠  2; x≠ 0 ;x ≠ 1

A= x −[16 x − x2−(3+2 x ) (x +2) −(2 −3 x )( x −2)

x ( x +2)2

= x − x − 2

( x −2) ( x+2 ).x ( x +2)

2

x − 1

= x − x ( x+2 )

x − 1

= −3 x x −1= 3 x

1 − x

Vậy A = 1− x 3 x

0.25đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b

(2đ)

A  0   0 

  Kết hợp với đk x ≠ 0 thì với 0 < x < 1 thì A  0

Có thể xét dấu

0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2

a

(2đ)

x3(x2−7)2− 36 x

x[x2(x2− 7)2−36]

x[x(x2−7)−6].[x(x2−7)+6]

x(x3− 7 x −6).(x3−7 x+6)

x(x3− x −6 x −6)(x3− x − 6 x+6)

x ( x+1)[x ( x −1) −6]( x − 1)[x (x +1) −6]

x ( x+1)(x2− x − 6)( x − 1)(x2+x − 6)

x (x +1)(x +2)(x −3)(x −1)(x − 2)(x +3)

¿

¿

0.5đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

b

(1đ)

Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n Theo câu a ta có:

B = n3(n2−7)2− 36 n=(n − 3)( n− 2)(n − 1)n (n+1) (n+2) (n+3 )

Do đó: B là tích của 7 số nguyên liên tiếp  B2; B3 ; B5 ;B7

Mà các số 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau

 B(2.3.5.7) hay B  210 Với mọi n  Z

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

a

(2đ)

ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3

( x +1) (x + 4)+

2

(x + 4) ( x+ 6)=

4

3+

9

( x −3 )( x +6 )

⇔(x+11 −

1

x +4)+(x+41 −

1

x+6)= 4

3+(x −31 −

1

x+6)

4

3+

1

x − 3

⇔ 3( x −3)

3 ( x+1 )( x − 3)=

4 ( x +1) (x −3 )

3 ( x+1 )( x − 3)+

3 ( x+1 )

3 (x +1) ( x −3 )

⇒ 4 x2− 8 x =0

⇔4 x ( x − 2)=0

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b

(2đ)

1

x+

1

y+

1

z=0⇒1

x+

1

y=−

1

z

⇒(1x+

1

y)3=(−1

z)3

x2+

1

y3+3

1

xy(1x+

1

y)=− 1

z3

x3 + 1

y3 +3 1

xy(−1

z)=− 1

z3

x3+

1

y3+

1

z3=

3 xyz

 P  3 22013 12013 1

Ta có:

P=(xyz2 +

yz

x2+

zx

y2−2)2013 [xyz(x13+

1

y3+

1

z3)−2]2013

[xyz 3 xyz − 2]2013

1 2013

= 1

0.25đ 0.25đ

0.25đ 0,25đ

0.5đ 0,25đ 0,25đ

(2đ)

EMA vuông tại E có EI là đường trung tuyến  EI=IM=IA= AM

 IAE cân tại I  = 2 (Góc ngoài của tam giác) Tương tự: = 2 và DI = AM

0.25đ 0.25đ 0.5đ

I N

F E

B

A

Suy ra: EI = DI và = 600  IED đều  EI=ED=ID CMTT ta có: IDF đều  ID=DF=IF  DEIF hình thoi

0.25đ

0.25đ 0.25đ 0,25đ

b

(2đ)

Vì DEIF hình thoi  K là trung điểm của EF và ID Gọi N là trung điểm của AH

Do ABC đều có H là trực tâm  H là trọng tâm  AN=NH=HD

CM : NI //MH

và NI // KH  theo tiên đề Ơclit

MH  KH hay: M,H,K thẳng hàng

0.25đ 0,25đ

0.25đ

0.5đ 0.5đ 0,25đ

l

K

A

B

D

C N

M

J

Kẻ DI AK ; DJ  CK

Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1) (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N )

SCDM = CM.DJ = SABCD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ  DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK  =

 KD là tia phân giác của

0.25đ 0.5đ 0.5đ

0.25đ

0.25đ 0,25đ

6

a

(1đ)

Ta có: +    (*)

 (x+y)  4xy (vì x > 0 ; y > 0)

 (x-y)  0 (Đúng) Vậy + 

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

b

(2đ)

Từ (*)   Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có:

ab+

1

a2

+ ab+

1

b2

+ ab+

1

a2

+b2

(2 ab1 +

1

a2+b2)+(a2+1ab+

1

b2+ ab)+ 1

2 ab 4

(a+b)2+

4 (a+b)2+

2 (a+b)2=

10 (a+b )2≥10

Dấu bằng xảy ra  a=b=1

2 Vậy Min M = 10  a=b=1

2

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Bài hình học mà học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hinh đó.