[r]
Trang 1phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Quảng xơng
đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2007 - 2008 Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho biểu thức : A=( √x +2
x+2√x+1 −
√x −2
x −1 ).
√x+1
√x
a) Rút gọn A
b) Tìm số tự nhiên x để giá trị của A là số nguyên
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị âm
Bài 2: 1) Với a là số nguyên, chứng minh rằng : a 5 - 5a 3 + 4a chia hết cho120
2) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c = 1.
Chứng minh : a+1
a .
b+1
b .
c +1
c ≥ 64
Bài 3: Cho A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 Với giá trị nào của x, y thì A có giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị đó
Bài 4 : 1) Giải phơng trình : √x2−22 x+121+√x2+24 x+144=2007
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : (10 - y ) x - 3y + 37 = 0
Bài 5 : 1) cho Δ ABC (vuông tại A) có diện tích bằng 11/12 m2 Gọi A' , B' , C' theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua BC, AC, và AB
Tính diện tích ΔA ' B ' C '
2) Cho Δ ABC có góc B nhỏ hơn 900 , AB =c , AC =b , BC = a ; Hình chiếu của AB trên cạnh BC bằng c' Chứng minh : a2 + c2 - b2 = 2ac'
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh : ………
Số báo danh : ………
Đáp án
Câu 1:
Câu 2:
1) P = a 5 - 5a 3 + 4a =(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)
⇒ P ⋮3, P⋮5, P⋮8 vì (3;5;8)=1 nên P ⋮ 3.5.8 hay P
2) Từ a + b + c = 1 ta có
A = 2 a+b+c
a .
2 b+a+c
b .
2 c +a+b
c =(2+b +c
a )(2+a+c
b )(2+a+b
c )
Trang 2Theo BĐT Côsi ta có : b
a+
c
a ≥2√bca2 Tơng tự :
a
b+
c
b ≥2√acb2 ;
a
c+
b
c ≥2√abc2
⇒ A (2+2√bca2)(2+2√acb2)(2+2√abc2)≥ 64
Dấu = sảy ra đồng thời ở 3 BĐT trên khi a = b = c
Vậy Min A = 64 tam giác ABC đều
Câu 3: Cách 1/ A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 = x2 + (y-3)x + y2 - 3y + 2007 =
(x2+( y − 3) x + ( y − 3)
2
4 )+(y2−3 y − ( y −3)
2
4 )+2007=(x + y − 3
2 )2+(3 y2−6 y −94 )+ 2007
¿(x + y − 3
2 )2+ 3
4(y − 1)
2
+2004 ≥2004
x+ y −3
Vậy Min A = 2004 khi y- 1 = 0 ⇒ x= y =1
Cách 2 / A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2007
= x2 - 2x + y2 - 2y +xy - x - y + 2007
= (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) + 2004 2004
( vì a2 + b2 + ab 0 với ∀ a,b)
Vậy Min A = 2004 khi x = y = 1
Câu 4.1
Giải phơng trình : √x2−22 x+121+√x2+24 x+144=2007
⇔|x −11| + |x+12| =2007
Với x<−12 ta có pt : 11- x - x - 12 = 2007 ⇒ x = - 1004
Với -12 x < 11 PTVN
Với x 11 ta có pt : x -11 + x +12 = 2007 ⇒ x = 1003
Đs : x = - 1004 hoặc x = 1003
Câu 4.2
(10 - y ) x - 3y + 37 = 0 x=3 −67
10 − y ∈ Z
=> 10 - y Ư(67) = {±1 ;± 67} từ đó chọn đợc 04 cặp số t/m là :
(x , y ) = ( 70 ; 11) , (- 64 ; 9) , ( 4 ; 77 ) , ( 2 ; - 57 )
Câu 5.1 /
S ABC = 1
2 BC.AH
S A'B'C' = 1
2 B'C'.A'H' =
1
2 .3BC.AH
= 33
12 m
2
( Do ⋄ BCB' C ' là hình thoi => BC
=B'C';
AH = AH' => A'H' = 3 AH )
B'
H
C'
H'
A'
C A
B
Câu 5 2
Trang 3Th1: Gãc C nhän
ta cã :
AH2 = c2- c' 2 = -( a - c')2 + b2
=> c2- c' 2 = -a2- c' 2+ 2ac' + b2
=> a2 + c2 - b2 = 2 ac' ./
Th2 : Gãc C tï :
Ta cã : AH2= c2 - c' 2 = b2 - (c' - a)2
=> c2 - c' 2 = b2 - c' 2 - a2 + 2ac'
=> a2 + c2 - b2 = 2ac' H1
c'
a
b c
B
c' a
b c
H C
B
A
H2