- Phân tích một vectơ thành tổ hợp vectơ, thường thì nên tiến hành theo cách chọn 3 vec tơ không đồng phẳng rồi phân tích các véctơ cần sử dụng theo 3 vectơ này.. Bài 1: Cho hình chóp S[r]
Trang 1Một số bài toán về véc tơ trong không gian
Bài 1: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong không gian
a) Chứng minh MA 2 +MB 2 +MC 2 = 3MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2
b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho : MA 2 +MB 2 +MC 2 = k 2
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và O là trung điểm đoạn AG
a)Chứng minh 3⃗ OA+⃗ OB+⃗ OC+⃗ OD=⃗O
b)Chứng minh rằng với một điểm M bất kỳ ta luôn có :3MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 =6MO 2 +3OA 2 +OB 2 +OC 2 +OD 2
c)Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 3MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 = k 2 trong đó k 2 là một số không đổi
Bài 3 : Cho hai véc tơ ⃗ AB=⃗uvà ⃗ CD=⃗v gọi C’ , D’ là hai điểm thuộc đờng thẳng AB sao cho CC’ABvà DD’AB.Véc tơ ⃗C ' D '=⃗ v ' gọi là hình chiếu của véc tơ ⃗v trên đờng thẳng AB Chứng minh rằng : ⃗u ⃗v=⃗u ⃗ v '
Bài 4 : Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
⃗AA ' +⃗ BB'+⃗ CC' +⃗ DD '=⃗ O
Bài 5 : Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Hai điểm M, N lần lợt là trung điểm của CD và DD’ ; G và G’ lần lợt
là trọng tâm của tứ diện A’D’MN và BCC’D’ Chứng minh rằng GG”// (ABB’A’)
Bài 6: Cho hình hộp lập phơng ABCDA’B’C’D’ Hai điểm M, N lần lợt là trung điểm của B’C’ và CD sao
cho B’M = CN Chứng minh AM BN
Bài 7: Cho tứ diện ABCD , P, Q lần lợt là trung điểm của AB và CD Điểm M, N, lần lợt chia hai đoạn thẳng
BC và AD theo cùng một tỉ số k Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên cùng một mặt phẳng
HD: Chứng minh các véc tơ đồng phẳng
Bài 8: Chứng minh rằng G là trọng tâm của hình tứ diện ABCD khi và chỉ khi nó thoả mãn một trong hai điều
kiện sau :
a/ ⃗ GA+⃗ GB+⃗ GC+⃗ GD=⃗O
b/ Với mọi điểm O ta luôn có :4 ⃗ OG=⃗ OA+⃗ OB+⃗ OC+⃗ OD
Bài 9 : Chứng minh rằng nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh thứ ba cũng vuông
góc
Bài 10 : Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N, lần lợt là trung điểm các cạnh AD, BB’
a) Chứng minh rằng MN A’C
b) Tìm góc hợp bởi hai đờng thẳng MN và AC’
Bài 11: Cho tứ diện OABC M, N, P thỏa món: OM OA tOB 2OC;
ON t OA OB OC
; OP (t 2)OB2OC
; t R a) Tỡm t để O, M, N, P đồng phẳng
b) Cho t = 0, hóy biểu diễn v⃗5OA10OB 15OC
theo OM,⃗ ⃗ ⃗ON OP,
Bài 12: CMR ba vectơ ⃗ ⃗ ⃗x y z, , xỏc định bởi ⃗x a b y c a z ⃗ ⃗ ⃗; ; 2a b c
⃗ ⃗
đồng phẳng
Bài 13: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ Cỏc điểm M, N thuộc AD, BB’ sao cho
AM = BN Chứng minh MN AB B D⃗ ⃗ ⃗, , ' đồng phẳng
Bài 14: Cho hỡnh hộp ABCDA1B 1 C 1 D 1 , cỏc điểm M, N, P lần lượt là trung điểm AD, BB 1 C 1 D 1 Chứng minh rằng C 1 D // (MNP)
Bài 15: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ Mp () đi qua A và cỏc trọng tõm P, Q của cỏc mặt A’B’C’D’
và BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số là bao nhiờu ?
Bài 16: Cho hỡnh hộp ABCDA1B 1 C 1 D 1
a) CMR: A, C 1 , và trọng tõm G của BDA 1 thẳng hàng
b) Tớnh tỉ số GA/GC 1
Bài 17: CMR nếu DABC là gúc tam diện vuụng đỉnh D thỡ D, trọng tõm G của ABC và tõm O của mặt cầu
ngoại tiếp tam diện thẳng hàng Tỡm tỉ số GO/GD
Bài 18: Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q là cỏc điểm xỏc định bởi
AP D A C Q C D
, M là trung điểm BB’ CMR: P, Q, M thẳng hàng.
Dạng toỏn 1: Biểu diễn vộctơ
- Chuyển cỏch diễn đạt từ ngụn ngữ hỡnh học sang ngụn ngữ vộc tơ
- Phõn tớch một vectơ thành tổ hợp vectơ, thường thỡ nờn tiến hành theo cỏch chọn 3 vec
tơ khụng đồng phẳng rồi phõn tớch cỏc vộctơ cần sử dụng theo 3 vectơ này
Trang 2Bài 1: Cho hình chóp SABC, đáy ABC có trọng tâm G
a) Hãy phân tích SA
theo SB SG BC⃗ ⃗ ⃗, ,
b) Đặt DA i DB , j DC k,
, hãy biểu diễn GA GB GC⃗ ⃗ ⃗, , theo ⃗ ⃗ ⃗i j k, ,
Bài 2: Cho tam diện vuông OABC đỉnh O, OA = OB = OC Điểm M thỏa mãn OM OA
⃗
, nửa đường thẳng OM tạo với OC góc 450 và tạo với hai tia OA, OB hai góc nhọn bằng nhau Phân tích OM⃗ theo OA,OB OC,
⃗ ⃗ ⃗
Dạng toán 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh theo hai cách
- Chứng minh AB AC,
cùng phương tức là AB k AC
- Chọn một điểm O thích hợp và chứng minh OC kOA mOB
với k + m = 1
Bài 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1
c) CMR: A, C1, và trọng tâm G của BDA1 thẳng hàng
d) Tính tỉ số GA/GC1
Bài 4: CMR nếu DABC là góc tam diện vuông đỉnh D thì D, trọng tâm G của ABC và tâm O
của mặt cầu ngoại tiếp tam diện thẳng hàng Tìm tỉ số GO/GD
Bài 5: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q là các điểm xác định bởi
AP D A C Q C D
, M là trung điểm BB’ CMR: P, Q, M thẳng hàng
Dạng toán 3: Chứng minh vuông góc, tìm điều kiện vuông góc
Phương pháp :
Sử dụng tính chất AB CD ⃗ ⃗AB CD 0
Đường thẳng vuông góc với (P) a u a v⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 0; a⃗ là véctơ chỉ phương của , còn
,
u v⃗ ⃗ là cặp véctơ chỉ phương của (P)
Bài 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N là các điểm thuộc AD, BB’ sao cho
AM = BN I, J là trung điểm AB, C’D’ Chứng minh IJ MN
Bài 7: Cho hình chóp SABC, đáy ABC cân đỉnh A, D là trungđiểm BC, vẽ DE AB (E
AB), biết SE (ABC) Gọi M là trung điểm DE Chứng minh AM (SEC)
Bài 8: Cho hình chóp SABC, SA (ABC), SA = a 3, AC = 2a, AB = a, ABC 900 M và I
là hai điểm sao cho: 3MB MS 0;4IS 3 IC 0
Chứng minh: SC (AMI)
Bài 9: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC, AB = AC SO (ABC), D là trung điểm AB,
E là trọng tâm ACD Chứng minh CD (SOE)
Dạng toán 4: Sự đồng phẳng của ba véctơ
Đ/n: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
Nhận xét:
Dựng OA a OB b OC c ; ;
, khi đó 3 véctơ
, ,
a b c⃗ ⃗ ⃗ đồng phẳng O, A, B, C đồng phẳng.
Để chứng minh // (P) ta có thể chứng minh 3 véctơP) ta có thể chứng minh 3 véctơ) ta có thể chứng minh 3 véctơ
, ,
a b c⃗ ⃗ ⃗ đồng phẳng với a⃗ và b c⃗ ⃗, (P) ta có thể chứng minh 3 véctơP) ta có thể chứng minh 3 véctơ)
a ⃗
b ⃗
c ⃗
b ⃗
c ⃗
A
B C
Trang 3Định lí 1 : Cho ba véctơ a b c⃗ ⃗ ⃗, , , trong đó a b⃗ ⃗; không cùng
phương Khi đó a b c⃗ ⃗ ⃗, , đồng phẳng k, m R sao cho
c ka mb⃗ ⃗ ⃗.
Định lí 2: Nếu ba véctơ a b c⃗ ⃗ ⃗, , không đồng phẳng, khi đó với véctơ x⃗ bất kì luôn ! các số
k, m, n sao cho ⃗x ka mb nc ⃗ ⃗ ⃗.
Bài 10: Cho tứ diện OABC M, N, P thỏa mãn: OM OA tOB 2OC;
ON t OA OB OC
; OP (t 2)OB2OC
; t R c) Tìm t để O, M, N, P đồng phẳng
d) Cho t = 0, hãy biểu diễn v⃗5OA10OB 15OC
theo OM,⃗ ⃗ ⃗ON OP,
Bài 11: CMR ba vectơ x y z⃗ ⃗ ⃗, , xác định bởi x a b y c a z⃗ ⃗ ⃗ ⃗; ; 2a b c
⃗ ⃗
đồng phẳng
Bài 12: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Các điểm M, N thuộc AD, BB’ sao cho
AM = BN Chứng minh MN AB B D⃗ ⃗ ⃗, , ' đồng phẳng
Bài 13: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm AD, BB1
C1D1 Chứng minh rằng C1D // (MNP)
Bài 14: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Mp () đi qua A và các trọng tâm P, Q của
các mặt A’B’C’D’ và BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số là bao nhiêu ?
Dạng toán 5: Khoảng cách – Góc
Bài 15: Đáy của hình chóp S ABC là đều ABC cạnh bằng 1, SA (ABC), SA = 3 Mp
() song2 với SB, AC Mp() song2 với SC, AB Tính cosin của góc giữa và
Bài 16: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy dài a Các đỉnh M, N của tứ diện
đều MNPQ nằm trên BC1, các đỉnh P, Q nằm trên A1C Tìm
a) Đường cao của lăng trụ
b) Khoảng cách giữa các trung điểm của MN và PQ
Bài 17: H.chóp DABC, ACD đều cạnh 3 2, ABC vuông cân tại C, BD = 3 Tính thể tích
Bài 18: Tứ diện SABC đều cạnh 1, BD là đường cao ABC, BDE đều nằm trong mp tạo với
cạnh AC góc , biết S, E nằm về một phía đối với mp(ABC) Tính SE
Bài tËp:
Bµi 1:Tứ diện ABCD M,N là trung điểm AC ,BD CMR: AB CD AD CB 2MN
Bµi 2: Gọi P,Q là trung điểm AC ,BD CMR : AB AD CB CD 4PQ
Bµi 3 : Hình hộp ABCD A’B’C’D’ K là giao điểm AC’ và (BDA’).CMR:
c CM tinh chat tam
d)Hình hộp là hình hộp chữ nhật ABAD AA ' AB AD AA '
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
nhá nhÊt
a ⃗
Trang 4Bài 6 : Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N là trung điểm AD và BB’.CMR:
MN AC
với u v⃗ ⃗; thì :b⃗ u a v⃗ ⃗ ⃗ v a u⃗ ⃗ ⃗.
có độ dài không đổi.(đề 65)
Bài 8: Cho:A’,B’,C’ là trung điểm các cạnh BC, CA ,AB cua tam giác ABC Tính:
BC AA CA BB AB CC
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(đề 104)
Bài 9: Tứ diện ABCD Gọi A’,B’,C’,D’ là các điểm chia các đoạn thẳng : AB,BC,CD,DA theo
tỉ số k, tức là:
k
A B B C C D D A
a)CMR OA OB OC OD OA: ' OB' OD' OC' ; O.
b)Tìm k để A’,B’,C’,D’ đồng phẳng (đề 111)
Bài 10: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi P,Q là các điểm xác định bởi:
AP AD C QC D
a)Chứng minh rằng đờng thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB’
b)Tính độ dài PQ.(Đề 114)
Bài 11: Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của tứ diện ABCD ,lấy các điểm theo thứ tự:A’,B’,C’,D’
Biết rằng trong không gian tồn tại điểm O: OA OB OC OD OA OB ' ' OD' OC'
CMR:
A B B C C D D A
(Đề 115)
Bài 12: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’.Gọi G là trọng tâm tam giác AB’C.
a)CMR BD: ' 3 BG
(Đề 120) b)Gọi P,Q,R là đối xứng của D’ qua A, B’, C CMR: B là trọng tâm tứ diện PQRD’
Bài 13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,gọi P,R là trung điểm AB, A’D’, gọi P’ , Q, Q’, R’ là
giao điểm các đờng chéo của các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’
a)CMR :PP' QQ' RR' 0
b)CMR 2 tam giác PQR và P’Q’R’ có cùng trọng tâm.(Đề 121)
.Gọi M là
điểm chia đoạn thẳng AC’ theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD’ theo tỉ số n, tức là:
a)Biểu thị các véc tơ B M B N theo a b c⃗ ⃗' , ' ⃗ ⃗ ⃗ , ,
và m,n
b)Tìm m,n để đ/t MN //B’D
c)Tính độ dài MN (Đề 123)
Các bài toán không gian chuyển về véc tơ
Tính góc và khoảng cách của
AC và SD ( chọn cơ sở : SA,CA, CB)
góc và khoảng cách AM,BN
a) Xác định MB trên SB để góc AMD vuông
b)Mf(AMD) cắt hình chóp theo một thiết diện ,tính diện tích thiết diện
c) Tính góc (SAD) và (SBC) , (SCD) và (SBC)
d) Tính k/c từ A,D đến (SBC) Từ AB đến (SCD)
Trang 5Bài 4: Tứ diện ABCD có góc BAC và góc BDC vuông còn góc ABC và DCB đều bằng 60 độ và
AB=DC=a
a)Tính độ dài AD theo a khi (ABC)vuông góc (BDC)
b)Tính AD khi (ABC) tạo với (BDC) góc 60 độ.(cơ sở:AE,BC,DF ; E,F là hình chiếu A,D trên BC)
Bài 5: Tam giác ABC cân đỉnh A đờng cao AH ,D là hình chiếu của H trên AC,M là trung
điểm HD.CMR: AM vuông góc với HD
(chọn H(0;0) ,A(0;a) ,B(-b;0),C(b;0), D(x;y) xét tích vô hớng của 2 véc tơ AM và BD )
Bài 6: CM đờng thẳng ơle:Gọi K,M là hình chiếu của H và O trên BC
( chọn : K(0;0) , B(b;0) , C(c;0) ,A(0;a) , H(0;-bc/a)ta có véc tơ GH=-2GO)
Bài 7: (GTVT-A-2001)Tam giác ABC vuông cân đỉnh A.AB=AC=a, M là trung điểm BC Trên
các nửa đt AA’ và MM’ vuông góc (ABC) về một phía lấy N,I :2MI=AN=a.Gọi H là hình chiếu của A trên NB.CMR: AH vuông góc NI
-Chọn cơ sở :AB,AC,AN xét TVH 2 véc tơ AH và NI
-Chọn A0;0;0) ,B(a;0;0) C(0;a;0) ,N(0;0;a)
Bài 8: (ĐH-CĐ-B-2002) Hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a)Tính khoảng cách A’B và B’D
b)Gọi M,N,P là trung điểm BB’, CD , A’D’ Tính góc và khoảng cách MP vàC’N
c)Tính thể tích tứ diện APBD’ với P là trung điểm B’C’
d)Tìm điểm E trên BB’ để mf(AEC’) cắt hình lập phơng theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất
- Chọn cơ sở:gốc A và biểu diển các véc tơ BA’,B’D,IG qua cơ sở
Bài 9: Chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều AB=BC=CD=a, cạnh bên SA=a và vuông góc với
đáy.Dựng đờng vuông góc chung của BD và SC, xác định vị trí chân đờng vuông góc trên SC
và BD.Tính độ dài đờng vuông góc chung
Bài 10: (BCVT-A_1998) Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a)Tính góc ,khoảng cách AA’ và BD’
b) CMR BD’ vuông góc mf(DA’C’)
Bài 11:(ĐHVinh-D-2001)Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M,N chuyển động trên
2 đoạn thẳng BD và B’A sao cho BM=B’N=t
Gọi α và β là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính độ dài MN theo a và t Tìm t để MN nhỏ nhất.
c) Trong trờng hợp tổng quát :CMR:
2
cos cos
Bài 12: Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ AB=a , AD=b , AA’=c.
a) Tính góc, khoảng cách DA’ và BD’
b)Tính góc giữa BD’ và mf(MNP) với M,N,P là trung điểm BB’, CD và D’A’
Bài 13: Hình lập phơng ABCD,A’B’C’D’.
a) G là trọng tâm tam giác A’BD CMR G nằm trên AC’, AG vuông góc mf(A’BD) Tính AG
b) I , K là trung điểm A’D’ vàBC , mf(P) qua IK cắt AA’ tại E cắt C’D’ tại F ,
CMR:A’E=D’F và è vuông góc với IK tại trung điểm O của EF
c)M , N di động trênAD’ và DB sao cho AM=DN=x
+ Tìm x để MN ngắn nhất , lớn nhất
+CMR : MN song song (A’D’CB)
+ CMR khi MN ngắn nhất thì MN song song A’C
+Tìm tập hợp trung điểm của MN
Bài 14: Chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a.E,F là hình chiếu của S trên AB và
CD I là trung điểm AB.Mặt bên (SAB)
Là tam giác đều và vuông góc với đáy
a)CMR : (SEF) vuông góc với ( ABCD)
b)CMR : SI vuông góc với (ABCD) , AD vuông góc với (SAB)
c)Tính góc của BD và (SAD) , của SD và (SCI)
Bài 15: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có a=AA’ vuông góc (ABC), đáy ABC là tam giác vuông
tại A có BC=2a AB=a 3
a)Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’)
Trang 6b)Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)
c)CMR AB vuông góc với (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’)
Bài 16: Chóp tứ giác đều S.ABCD các cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ , các cạnh đáy bằng a.
a) Tính thể tích hình chóp
b) Qua A dựng mf(P) vuông góc với SC , tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp
Bài 17: Cho tứ diện đều SABC cạnh a Dựng đờng cao SH.
a)CMR : SA vuông góc BC
b)Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp
c)Gọi O là trung điểm SH , CMR : OA,OB;OC đôi một vuông góc
Bài 18: Chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D, với AD=DC=a vàAB=2a.Đờng cao
SAa 2
a) Tính số đo góc nhị diện (S;BC;A) và (A,SB,C)
b) Tính góc của 2 mf(SBC) và (SCD)
Bài 19: Chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạng a.SA vuông với đáy Tính độ dài SA biết nhị
diện (B,SC,D) là 1200
a)Tính k/c từ A đến (SBC)
b)Tính k/c từ tâm O đến (SBC)
c)Tính k/c từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SAC)
Bài 21: Hình thoi tâm O cạnh a và AC=a.Từ trung điểm H của AB dựng SH vuông góc đáy và
SH=a
a)Tính k/c từ O đến (SCD) và từ A đến (SBC)
b) M ,N là trung điểm CD và SA tính k/c MN và SO; góc MN và (SBD)
Bài 22: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a
a)Tính góc của (ABC’) và(BCA’)
b)Lấy E,F thuộc BC’ và CA’ sao cho EE//(ABB’A’), tìm GTNN của độ dài EF
Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a ,AA’=a ,
a) Tính k/c AD’ và CB’
b)Gọi M chia đoạn AD theo tỉ số AM/MD=3.Tính k/c từ M đến (ACB’)
c) Tính thể tích AB’D’C
Bài 24: Cho tứ diện ABCD có AD vuông với (ABC), AC=AD=4, AB=3 , BC=5 Tính k/c từ a
đến (BCD)
Bài 25: Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA vuông với đáy Gọi M, N thuộc
BC, DC sao cho BM=a/2; DN=3a/4
Cmr (SAM) vuông góc (SMN)
Bài 26: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M,N là trung điểm BC , DD’ Cmr MN//
(A’BD) và tính k/c BD và MN
Bài 27: Tam giác ABC đều cạnh a Trên các nữa đ/t vuông góc (ABC) về cùng phía tại B và C
lấy D và E :
3
2
a
a) Tính độ dài AD,AE ,DE.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCE
b) M là giao của ED và BC ;cmr AM vuông góc (ACE) và tính góc (ADE) và (ABC)
diện với O của hình chữ nhật AOBD
Và M là trung điểm BC , (P) là mf đi qua A,M và cắt (OCD) theo một đ/t vuông góc với AM a)Gọi E là giao của (P) với OC , tính độ dài OE
b)Tính tỉ số thể tích của 2 khối đa diện tạo thành khi cắt khối chóp bởi (P)
c) Tính k/c từ C đến (P)