[r]
Trang 1Sở GD ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lT thanh hóa ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lề thi kiểm tra chất lợng học kì I
Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2006 – 2007 2007
-*** -
Môn thi : Toán 12
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -Câu 1:(5 điểm)
Cho hàm số: y=mx
2−(4 −2 m) x +6 −3 m
x −1 (1)
a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị là (C)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) đi qua điểm A(0;-1) c) Dựa vào đồ thi (C) biện luận theo k số nghiệm của phơng trình:
x + 2
x −1+k +3=0
d) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m R
Câu 2: (1 điểm)
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) =(e2sinx sin 2x)cos x Tìm công thức của F(x) biết rằng F(3) = 1
Câu 3: (4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): x2
9 +
y2
4=1
a) Xác định các tiêu điểm F1 và F2, tâm sai và tiêu cự của (E)
b) Hai đờng thẳng qua F1, F2 và song song với Oy cắt (E) lần lợt tại A, D
và B, C Tính diện tích tứ giác ABCD
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua I(2; 1) biết rằng đờng thẳng đó cắt elip tại hai điểm MN mà I là trung điểm của đoạn thẳng MN
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trờng thpt đông sơn i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì I
Năm học 2006 - 2007
Hớng dẫn chấm toán 12
Trang 2Với m = 1 thì y= x
2
− 2 x +3
x −1 =x −1+
2
x −1
2) Sự biến thiên: y '=x2−2 x − 1
¿ ¿
a, Chiều biến thiên:
'
y 0 x 1 2, x 1 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1 2) và (1+√2;+∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1 −√2;1) và (1 ;1+√2)
0,25
b, Cực trị : x C Đ=1 −√2 và y
CĐ y(1 2 )2 2 xCT=1+√2 và yCT=y (1+√2)=2√2
0,25
c, Giới hạn :
+) lim y
x → 1 −
=−∞ , lim y
x →1+ ¿=+ ∞¿, suy ra x = 1 là tiệm cận đứng +)lim
x→ ∞
[y −(x −1)]=lim
x→ ∞
2
x −1=0, suy ra y = x - 1 là tiệm cận xiên
+) lim y
x → −∞=−∞ , lim y
x →+∞ =+ ∞
0,25
d, Bảng biến thiên :
x - 1 −√2 1 1+√2 +
y’ + 0 - - 0 +
y
−2√2
-
+ +
2√2
0,5
3) Đồ thị: Cắt trục tung tại điểm (0; -3), nhận điểm I(1; 0) làm tâm
đối xứng
0,5
1b b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, d có hệ số góc k và đi qua I(0; - 1) nên
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phơng trình:
x2−2 x+3
x − 1 =kx − 1
x2−2 x −1
¿ ¿
¿
0,25
y
x O
1
- 3
Trang 3 x2−2 x+ 3
x − 1 =
x2− 2 x −1
¿ ¿ x = 1
k = - 7 do đó d có phơng trình y = - 7x - 1 0,25
1c
Ta có phơng trình : x + 2
x −1+k +3=0 (2)
⇔ x
2
− 2 x +3
x −1 =− k −4
0,25
Số nghiệm của phơng trình (2) là số giao điểm của (C) với đờng thẳng
+ với ¿¿
¿ thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
+ với ¿¿
¿ thì (2) có 1 nghiệm
+ với −2√2<−k − 4<2√2⇔− 4 −2√2<k <− 4 +2√2 thì (2) vô nghiệm 0,5
1d Gọi (x0; y0), x0 1 là điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) đi qua với
mọi m Khi đó y0= mx02−(4 − 2m)x0+6 −3 m
⇔ m(x02 +2 x0− 3)= y0(x0− 1)+4 x0− 6 với m R
⇔
x02+2 x0− 3=9
y0(x0−1)+4 x0− 6=0
¿ {
0,25
⇔
¿
¿
¿
x0=−3
y0=−9 2
¿ {
¿
¿
Vậy đồ thị hàm số (1) có một điểm cố định là (− 3;−9
2 Ta có ∫(e2 sin x+sin 2 x)cos xdx=∫e 2 sin x cos x dx +∫sin 2 x cos x dx 0,25
= 1
Do đó F(x) = 1
2e
2 sin x −2
3cos
3x +C, với C thỏa mãn
1
2e
2 sin3 π
−2
3cos
3 (3 π )+C=1⇔ C=−1
6
0,25
Vậy F(x) = 1
2e
2 sin x
−2
3cos
3
x −1
Trang 4Ta có elip (E): x2
9 +
y2
4 =1
Tâm sai e= c
a=
√5
3b
Ta có xA = xD = x F1=−√5, đo đó tung độ của A và D là nghiệm của
ph-ơng trình 5
9+
y2
4 =1⇔ y=±4
3
0,5
Giả sử y A=−4
3 suy ra y D= 4
3 Do đó A(−√5; − 4
3 ), D(−√5 ;4
Tơng tự ta cũng có B(√5 ; − 4
3 ),C(√5 ;4
Ta thấy AB // CD, AD // BC, AB AC nên ABCD là hình chữ nhật 0,25
ABCD có diện tích S = AB.BC = 2√5 8
3=
16√5
3c Gọi là đờng thẳng cần tìm, có phơng trình
x=2+at
y=1+bt
¿ {
¿
¿
(a2 + b2 0)
Do M, N là giao điểm của với (E) nên M = (2 + at1; 1 + bt1),
N = (2 + at2; 1 + bt2) với t1, t2 là nghiệm của phơng trình
0,25
¿ ¿ ⇔(a92+
b2
4)t2 +2(2 a9 +
b
4)t −11
36=0 (*)
Do (a92+
b2
4 )(−11
36 )< 0 nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 theo định lí Viet ta có t1+t2=− 2(2 a9 +
b
4)/(a92+
b2
O A
B
y
x
Trang 5Mặt khác do I là trung điểm của MN nên
2+at1+ 2+at2=4 1+bt1+ 1+bt2=2
¿ {
¿
¿
⇔
a (t1+t2)=0
b (t1+t2)=0
⇔t1+t2=0
¿ {
0,25
Do đó 2 a
9 +
b
4=0⇔8 a+9 b=0, chọn a = 9 suy ra b = - 8
có phơng trình
x=2+9t y=1 − 8t
¿ {
¿
¿
8x + 9y - 25 = 0
0,25
Chú ý :
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5