170 bài tập Toán học về số phức ở các mức độ Có lời giải chi tiết

170 bài tập trắc nghiệm toán học về số phức ở mức độ nhận biết và thông hiểu được sưu tập từ các đề thi thử THPTQG, giúp HS làm quen với số phức và các bài toán liên quan cơ bản liên quan đến số phức, sử dụng thành thạo các công thức liên quan đến số phức, tạo cho HS một tiền đề tốt để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.Giúp giáo viên tham khảo trong giảng dạy và ôn thi THPTQG.

170 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ở CÁC MỨC ĐỘ

I 25 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 1 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

Mục tiêu đề thi: Đề thi gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức mức độ nhận biết Số phức là một

khái niệm hoàn toàn mới đối với HS lớp 12 Đề thi này đưa ra với mục đích giúp HS làm quen với số phức, giải quyết các bài toán về vấn đề nhận biết phần thực, phần ảo, biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, tính mođun của số phức, số phức nghịch đảo, số phức liên hợp, thực hiện các phép toán liên quan đến số phức, giải các phương trình nghiệm phức.

Câu 1: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z 1 i 2 ?i

Câu 6: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2   làz 4 0

Câu 17: Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phần thức là 3 và phần ảo là -4 B Phần thực là -4 và phần ảo là 3i

C Phần thực là -4 và phần ảo là 3 D Phần thực là 3 và phần ảo là -4i.

Câu 18: Kí hiệu z z là hai nghiệm của phương trình 1 2, z2   Giá trị của biểu thức z 1 0 P z 12z22z z1 2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Xác định số phức liên hợp và tìm số phức w bằng máy tính casio

+) Số phức z a bi a b Z   , � được biểu diễn bởi điểm M9a;b) trên mặt phẳng xOy.

+) Tọa độ trung điểm I của AB là: 2

z z

a c

z z a

Tìm số phức z thông qua các phép tính số phức và tìm được số phức w

Công thức tính modun của số phức z a bi  là: z a2b2

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 1 + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ 2

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

Mục tiêu: Đề thi gồm 30 bài tập trắc nghiệm về số phức ở mức độ nhận biết và thông hiểu được sưu tập từ

các đề thi thử THPTQG, giúp HS làm quen với số phức và các bài toán liên quan cơ bản liên quan đến số phức, sử dụng thành thạo các công thức liên quan đến số phức, tạo cho HS một tiền đề tốt để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Câu 1: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2   là z 1 0 z a bi  ,a,b R.� Tính a 3b

Câu 12: Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn

cho số phức z Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 14: Cho z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2z2   trong đó 6z 5 0, z phần ảo âm Phần2

thực và phần ảo của số phức z13z2 lần lượt là

A (2;-3) B (2;1) C (-1;6) D (2;3)

Câu 21: Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M ở hình vẽ bên Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.z  3 2i B z   2 3i C z  3 2i D z   2 3i

Câu 22: Cho số phức z a bi  , với a, b là các số thực bất kỳ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A z z không phải là số thực B Phần ảo của là

C Môđun của z bằng 2 a2b2 D Số z và z có môđun khác nhau.

Câu 23: Cho các số phức z1 3 2 ,i z2 3 2 i Phương trình bậc hai có hai nghiệm z và 1 z là2

Câu 30: Tìm phần thực , phần ảo của số phức sau: 3 2

C Phần thực là 2; phần ảo là 4 D Phần thực là 2; phần ảo là -4i

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Điểm M(a;b) là điểm biểu diễn cho số phức z a bi  , có phần thực là a và phần ảo là b

Điểm biểu diễn của số phức z là (1;2)M �z 1 2i w  1 2i w z 2z (1 2 ) 2(1 2 )i   i    1 6i

� Điểm biểu diễn của số phức w z  là (-1;6).2z

Mục tiêu đề thi: Đề thi gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm số phức ở mức độ thông hiểu được sưu tầm từ các đề

thi thử THPTQG trên cả nước Các câu hỏi ở mức độ lấy điểm 6,5+ Các câu hỏi chủ yếu giúp học sinh vận dụng được những kiến thức cơ bản nhất về số phức vào các dạng toán, giúp HS quen dần với một khái niệm cực kì mới này.

Câu 1: Trên tập số phức, cho phương trình az2  bz c 0 , ,a b c �;a 0  Chọn kết luận sai:

A Nếu b = 0 thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0

B Nếu  b24ac thì phương trình có hai nghiệm mà modun bằng nhau 0

C Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau

D Phương trình luôn có nghiệm.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z2 i 13 1.i Tính mô đun của số phức z

A. z 34 B z 34 C 34

.3

.3

z

Câu 3: Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức  2

z z với z a bi a b   ,  �,b 0 

Chọn kết luận đúng

A M thuộc tia Ox B M thuộc tia Oy

C M thuộc tia đối của tia Ox D Mthuộc tia đối của tia Oy.

Câu 4: Tìm số phức z thỏa mãn z  và 2 z z1  z i là số thực

A.z  1 2i B z   1 2i C z  2 i D z  1 2i

Câu 5: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   là đường tròn có tâm I và bán2 i 4kính R lần lượt là :

A I(-2;-1); R = 4 B I(-2;-1); R = 2 C I(2;-1); R = 4 D I(2;-1); R = 2

Câu 6: Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 4z2   Giá trị của biểu thức 4z 3 0 z1 z2

43

A Một tam giác đều B Một tam giác vuông cân

C Môt tam giác vuông (không cân) D Một tam giác cân (không đều, không vuông).

Câu 13: Môđun của số phức cos11 cos5 sin11 sin5

Câu 33: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z x  1 yi x y R , � thỏa mãn

Câu 37: Cho số phức z Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z và

1i z Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8.

A. z  4 B z2 2 C z4 2 D z  2

Câu 38: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z 10 2i   z 2 14i và

A Vô số B Một C Không D Hai

Câu 39: Gọi z z z z là bốn nghiệm phân biệt của phương trình 1 2 3 4, , , z43z2  trên tập số phức Tính4 0giá trị của biểu thức T z12 z22 z32 z42

Câu 41: Số phức nghịch đảo z1 của số phức z  là2 2i

C 5

32

(I) Số phức z = 2i là số thuần ảo

(II) Nếu số phức z có phần thức là a , số phức z’ có phần thực là a’ thì z.z’ có phần thực là a.a’

(III) Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i a b a b R, , ', '� là số phức có phần ảo là ab’ + a’b 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Với a � ta có phương trình 0 az2  bz c 0(*) là phương trình bậc hai ẩn z có  b24 ac

Xét trong tập số phức thì phương trình (*) luôn có nghiệm � đúng.D

b i z

a

b i z

+) Xét   �0 phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2

22

b z

b z

+) Giải phương trình bậc hai ẩn z trên tập số phức

+) Tính modun của số phức z a bi  bằng công thức z  a2b2

Cách giải:

Ta có:   ' 4 3.4  8 8i2 � Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

1 2 2

+) Đặt số phức z x yi  , thay vào giả thiết biến đổi để tìm số phức z

+) Thay z vừa tìm được vào w đưa số phức w về dạng w a bi 

Cách giải:

Đặt z x yi a  (  ta có:0)

11

a bi z

Từ giả thiết, tính được môđun của số phức z từ đó suy ra bán kính đường tròn biểu diễn số phức z

Số phức z có z m2thì bán kính đường tròn biểu diễn sô phức z là m

Cách giải:

Ta có z z 4� z2 4� z 2 suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn bán kính R = 2

Câu 10: Chọn A.

Số phức z có dạng z a bi  có điểm biểu diễn là M(a;b).

Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC và rút ra kết luận

Xác định môđun đưa về bài toán rút gọn biểu thức lượng giác

Số phức z a bi a b R   , � có điểm biểu diễn là M(a;b).

x x a

i z

 2 2

z  � x yi  � x y  � C là đường tròn tâm I(1;0) bánh kính R = 1

Điểm N là điểm biểu diễn cho số phức z0  1 i�N(1; 1) �N(C)

Dựa vào hình vẽ ta thấy MN lớn nhất � MN là đường kính của ( )C �M(1;1)

cos 2 (sin cos )

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = 1.

Dễ nhận thấy số phức có phần ảo lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên là z = 1 + 2i

OAB

z AB

Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn hai điều kiện trên là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), ta

có đường tròn (C) có tâm I(1;10), bán kính R = 5,  ;  3 4.10 122 2 5

có duy nhất 1 điểm z thỏa mãn hai điều kiện trên

2

2 2

2 2

35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

Mục tiêu: Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm về số phức ở mức độ vận dụng, được sưu tầm 100% từ các đề

thi thử THPTQG của các trường chuyên và sở GD&ĐT trên cả nước Chuyên đề số phức ở mức độ vận dụng thường gây khó khăn cho HS, vì nó không có dạng và phương pháp nhất định, để làm tốt học sinh phải

có kiến thức chắc chắn và có sự tư duy tốt Các câu hỏi này ở mức độ 8+ trong đề thi THPTGQ, tất cả đều

có phương pháp và lời giải chi tiết giúp HS ôn luyện hiệu quả nhất

Câu 1: Trong tập các số phức, cho phương trình z66z m m , �� Gọi m(1) 0 là một giá trị của m đẻ

phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt z z thỏa mãn 1, 2 z z1 1 z z2 2.Hỏi trong khoảng 0;20 có bao nhiêugiá trị m0 �?

là số thực và z  với m2 m � Gọi m là một giá trị của m để có0

đúng một số phức thỏa mãn bài toán Khi đó :

A. 0

10;

3

; 22

31;

Câu 6: Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức z, iz, z + iz tạo thành một tam giác

có diện tích bằng 18 Mođun của số phức z bằng

Câu 7: Cho số phức z a bi a b  ( ; ��) thỏa mãn z  2 i z 1  và i 0 z  Tính P = a + b1

Câu 17: Cho số phức z a bi a b   ; �� thỏa mãn  z  1 3i z i  Tính S = a +3b.0

Câu 20: Cho hai số thực b ;c (c > 0) Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của

phương trình z22bz c 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB là tam giác vuông (với O làgốc tọa độ)

Câu 27: Gọi z z , là nghiệm phức của phương trình 1, 2 z24z 13 0, ( z có phần ảo dương) Biết số phức1

z thỏa mãn 2 z z 1 �z z 2 , phần thực nhỏ nhất của z là:

A 2 34 B.1 34 C.2 D. 34

Câu 28: Trong tập các số phức, cho phương trình 2  2  

z  z m m R� Gọi m là một giá trị của m0

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z z , thỏa mãn 1, 2 z1  z2 Hỏi trong đoạn [0;2018] có bao nhiêugiá trị nguyên của m ?0

Câu 34: Cho các số phức z z , với 1, 2 z1 0 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z z z 1  là đường tròn2

tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là:

A Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 1

B Đường tròn tâm là gốc tạo độ và bán kính bằng z 1

C Đường tròn tâm là gốc tạo độ và bán kính bằng

1

1

z

D Đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2

1

z z

Nếu m0  thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực 9 z1  3 9m z0, 2  3 9m0

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do bài toán đòi hỏi m�0; 20nên m�10;11; ;19 

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn

b

a b

Khi đó ta có    

11

Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình (1) phải có duy nhất một nghiệm a

Giả sử z a bi a b   , �� Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm  z z Sử dụng giả thiết để đánh1, 2

giá cho cho b Đưa z z 2 2về một hàm cho b và sử dụng ước lượng cho b ở phần trước để tìm giá trị nhỏnhất của P

b  a a nên để có duy nhất một số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho thì b = 0

Ta nhận được a = 0 hoặc a = 4 Với a = 4 thì z = a + bi = 4

 Tổng các phần tử của S là 6   6 0

Chọn đáp án B.

Câu 6:

Phương pháp:

+) ĐiểmM a b là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi ;

+) Tìm các điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, iz, z + iz

Nhận xét tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC sau đó sau ra mođun của số phức z là: z  a2b2

Các điểm A a b B b a C a b a b  ; ;  ; ;   ;  lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z, iz, z + iz.

Khi đó ta có uuurAB   b a a b AC;  ;uuur  b a BC; ;uuur a b;

+) Thay z = a + bi vào biếu thức đề bài, rút gọn đưa về dạng A + Bi = 0

+) Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau suy ra 0

0

A B

 2 2

32

42

b a

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn (C)

Vậy P�10 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MA MB M 6; 4 a b 10

Lấy môđun hai vế của (*), ta được w 3 2i  2i z  2 i z 3 5

� Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I3; 2 bán kính  R3 5

Do đó có 3 số phức z thỏa mãn bài toán.

Chọn đáp án C.

Câu 12:

Phương pháp:

+) Từ giả thiết iz 2  , tìm ra đường biểu diễn i 1  C của các số phức z

+) Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của z z1; 2� z1z2  AB� vị trí của AB đối với đường tròn

Giả sử A z   1 ;B z do 2 z1z2 2� AB 2 2Rnên AB là đường kính của đường tròn I R Lại có:; 

- Áp dụng định lí Vi – et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 

2 2

73

3

3

a a

a a

b a

+) Xác định các điểm biểu diễn A, B

+) OAB vuông tại O �OA OBuuuruuur. 0.

Theo bài ra, ta có    

+) Giải phương trình bậc hai, tìm các nghiệm z z 1, 2

+) Gọi z a bi a b   ; �� , thế vào bất phương trình và tìm điều kiện của a 

Cách giải:

1 2



�

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức z z là hai số phức liên hợp, luôn thỏa mãn 1, 2 z1  z2

Kết hợp điều kiện ta có m�4; 2018 Vậy có 2014 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Suy ra M thuộc đường tròn tâm I m' ;0 ; bán kính R'  4

Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì hai đường tròn I R; ;I R'; 'có 1 điểm chung duy nhất

Do tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z z z 1  là đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 1 nên2

tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm là điểm biểu diễn số phức 2

1

z z

và bán kính bằng

1

1

Mà có : z 1� a2b2 1�b2  1 a2 Suy ra : w8a36a với a thuộc 1;1

Xét hàm f a  8a36a trên đoạn 1;1 ta được max = 2 ; min = - 2

Chọn đáp án A.

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC MỨC ĐỘ 4 VẬN DỤNG CAO

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Cho số phức thỏa mãn z2i �z4i và z   Giá trị lớn nhất của 3 3i 1 P  là z 2

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn z     2 3i z 2 i 4 5 Tính GTLN của P   z 4 4i

A maxP4 5 B maxP7 5 C maxP5 5 D maxP6 5

Câu 6 Xét các số phức z a bi a b R  , , � thỏa mãn đồng thời hai điều kiện  z    vàz 4 3i

min

5 2 22

min 2 1

Câu 14 Trong các số phức z thỏa mãn z2 1 2 ,z gọi z z lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất1, 2

và nhỏ nhất Khi đó môđun lớn nhất của số phức w z  là1 z2

A w 2 2 B w  2 C w  2 D w  1 2

Câu 15 Cho hai số phức z z thỏa mãn điều kiện 1, 2 2 z1   i z1 z1 2i và z2 i 10 1. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức z1z2

Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 z 2 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 28 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  1 i 2,z2 iz1 Tìm GTNN m của biểu thức z1z2

A m 2 1 B m 2 C m2 2 2 D m2 2

Câu 29 Cho z z z1, ,2 3 là ba số phức thay đổi thỏa mãn z1 2, z3  và 1 z2 z z1 3 Trong mặt phẳng phức A,

B biểu diễn z z Giả sử O, A, B lập thành tam giác có diện tích là a, chu vi là b Giá trị lớn nhất của biểu1, 2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Gọi z a bi a b R  , , � là số phức cần tìm Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất

đẳng thức cho Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P

2 2

3

a

a b

Lấy các điểm A2; 3 ,  B   Phương trình 2; 1   1 �SA SB 4 5� Tập hợp các điểm S là đường elip(E) có tiêu điểm A2; 3 ,  B   và có độ dài trục lớn là 22; 1 a4 5�a2 5

Lấy M4; 4   Dễ dàng kiểm tra được 2

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E)

Gọi I là trung điểm AB�I0; 2 ,  N là điểm đối xứng của M qua I Khi đó, với mọi điểm S� E :

Từ z yi    tìm ra quỹ tích điểm z 4 3i M x y biểu diễn cho số phức z x yi ;   

Gọi điểm M x y là điểm biểu diễn cho số phức z và  ;  A1;1 , B 2; 3 ta có:

Ta có: MA MB �2 MA MB , dấu bằng xảy ra � MA MB �M thuộc trung trực của AB

Gọi I là trung điểm AB ta có: 1; 1