Slide bài giảng điện tử Lý thuyết xác suất thống kê toán

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN2.2.5 Biến cố đối lập: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng là hai biến cố xung khắc và khi thực hiện phép thử nhất thiết một trong hai biến cố đó

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1 Biến cố ngẫu nhiên

2 Xác suất của biến cố

3 Các định lý xác suất

Chương 1

1.1 Chỉnh hợp

Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an Mỗi nhóm có thứ tựgồm k phần tử khác nhau (0≤ k ≤ n) được lấy từ n phần tử đãcho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

1 ) (

2 )(

1

(

k n

n k

n n

n n

A n n  n 

• Số hoán vị của n phần tử kí hiệu Pn

Pn =1.2…n = n!

• Chú ý: P0 = 0! = 1

1.3 Tổ hợp

Định nghĩa: Cho n phần tử: a1, a2,…an Mỗi nhóm không kểđến thứ tự gồm k phần tử khác nhau (0≤ k ≤ n) được lấy từ nphần tử đã cho được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

• Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu Ck

n :

• Chú ý:

! )!

(

!

k k n

• Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử kí hiệu:

• Chú ý: k có thể lớn hơn n

k k

A

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.1 Phép thử và biến cố

Chương 1

• Các kết cục của phép thử được gọi là biến cố

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Phân loại biến cố

• Biến cố chắc chắn(U): là biến cố nhất định xảy ra khi phép thửđược thực hiện

2.1 Phép thử và biến cố

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

• Biến cố không thể có (V): là biến cố không thể xảy ra khi phépthử được thực hiện

• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy rakhi phép thử được thực hiện

Biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bởi các chữ cái hoa A,B,C…

2.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

Chương 1

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.2.1 Biến cố đồng khả năng:

Các biến cố A 1 , A 2 , … A n là biến cố đồng khả năng nếu có

cơ sở nói rằng khả năng xảy ra hoặc không xảy ra của các biến

cố đó là như nhau.

• Ví dụ: Gọi S là biến cố: “ Mặt sấp xuất hiện”

Gọi N là biến cố: “ Mặt ngửa xuất hiện” khi gieo đồng

xu đồng chất hai mặt

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.2.2 Tổng của các biến cố :

Tổng của n biến cố A 1 , A 2 , … A n là biến cố A xảy ra khi

và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra.

A

A

1 2

A A

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Chương 1

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

• Chú ý: - Các biến cố A 1 , A 2 , … A n xung khắc từng đôi ta có:

A i A j = V với i ≠ j

- Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc nhau nếu chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử.

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.2.5 Biến cố đối lập:

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng là hai biến cố xung khắc và khi thực hiện phép thử nhất thiết một trong hai biến cố đó phải xảy ra.

• Biến cố đối lập của biến cố A kí hiệu: A

A

U A

A

.

Chương 1

§2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

2.2.6 Hệ đầy đủ các biến cố:

Hệ n biến cố A 1 ,A 2 ,…,A n được gọi là hệ đầy đủ các biến

cố nếu chúng là hệ các biến cố xung khắc từng đôi và khi thực hiện phép thử nhất thiết một trong các biến cố đó phải xảy ra.

• Chú ý:

n j

i j i

V A

A

U A

j i

;

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

3.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất.

Trong một phép thử có n kết cục đồng khả năng với m kết cục thuận lợi cho biến cố A Xác suất của biến cố A, kí kiệu P(A) là tỷ số:

P ( ) Số kết cục thuận lợi cho A

Số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất.

Giả sử ta thực hiện phép thử nào đó n lần Gọi n A là số lần biến cố A xuất hiện Khi đó:

3.2.1 Định nghĩa 1.

n

n A

fn ( )  A

được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử

Chương 1

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Số lần tung (n) Số lần xuất hiện

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Nhận xét: Khi số phép thử n nhỏ thì f n (A) thay đổi rõ rệt còn khi n khá lớn thì tần suất f n (A) càng dao động ít đi và khi n đủ lớn thì f n (A) sẽ dao động xung quanh 1 vị trí cân bằng p không đổi nào đó.

Chương 1

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Xác suất của biến cố A trong một phép thử là giá trị cân bằng p không đổi khi số phép thử tăng lên vô hạn.

3.2 Định nghĩa 2.

Chú ý: Khi n đủ lớn ta lấy: p = P(A) ≈ fn(A)

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

3.2.2 Nguyên lý xác xuất nhỏ, xác suất lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ: nếu một biến cố có xác suất nhỏ

(gần 0) biến cố đó hầu không xảy ra trong một lần thực hiệnphép thử

• Nguyên lý xác suất lớn: nếu một biến cố có xác suất lớn

(gần 1) biến cố đó hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thựchiện phép thử

Chương 1

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Xác suất của biến cố A được tính sau khi biến cố B đã xảy ra, gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, ký hiệu P(A/B)

4.1 Định lý nhân xác suất

4.1.1 Xác suất có điều kiện

) (

)

( )

/

(

B P

AB

P B

A

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Ví dụ: Một kiện hàng có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy

lần lượt không hoàn lại 2 sản phẩm Tìm xác suất để lần thứ 2lấy được chính phẩm (biến cố A) biết lần đầu lấy được chínhphẩm (biến cố B)

4.1.1 Xác suất có điều kiện

Khi biến cố B đã xảy ra kiện hàng còn 7 chính phẩm và 2phế phẩm Do đó n=9, m=7 ta có P(A/B) = 7/9

Chương 1

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.

4.1.2 Tính độc lập của các biến cố

) ( )

/ (

) /

) ( )

/ (

) /

hoặc

với P(A)>0, P(B)>0

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

4.1.2 Tính độc lập của các biến cố

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

4.1.3 Định lý nhân xác suất

Mở rộng: Cho n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n ta có:

P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1 ) P(A 2 /A 1 )… P(A n /A 1 A 2 … A n-1 )

Hệ quả 2: Nếu n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n độc lập toàn phần :

P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1 ) P(A 2 )… P(A n )

)

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Mở rộng: Cho n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n ta có:

4.2 Định lý cộng xác suất

Hệ quả 3: Nếu n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xung khắc từng đôi,

ta có: P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1 )+ P(A 2 )+…+ P(A n )

) (

) (

) (

)

(

1 1

i

j i n

i

i n

i

i P A P A A P A A A A

P

)

( )

1 (   n1P A1A2 An

1

) /

( ).

( )

(

Cho hệ đầy đủ các biến cố H 1 , H 2 ,…, H n Nếu biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của hệ đầy đủ trên khi đó ta có:

Được gọi là công thức xác suất đầy đủ

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

n , 1 i

vói

) H / A ( P ).

H ( P

) H / A ( P ).

H ( P )

A ( P

) H / A ( P ).

H (

P )

A / H (

1 i

i i

i i

i i

Được gọi là công thức Bayes

Chú ý: Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes vẫn

đúng khi H 1 , H 2 ,…, H n xung khắc từng đôi

Chương 1

§4 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Chú ý: Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

vẫn đúng khi H 1 , H 2 ,…, H n xung khắc từng đôi

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Chương 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 Đại lượng ngẫu nhiên.

2 Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

3 Các số đặc trưng chính của đại lượng ngẫu nhiên.

§1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên ( biến ngẫu nhiên, ĐLNN)

là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉmột trong các giá trị có thể có với một xác suất tương ứng xácđịnh

• ĐLNN thường được ký hiệu bởi chữ cái hoa như: X, Y,

Z,…,X 1 …,Y 1 …,

• Các giá trị có thể có của ĐLNN được ký hiệu bởi các chữ

cái thường x,y, z,…

Y nhận các giá trị có thể có: [150;190]

§1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.2 Phân loại ĐLNN

• ĐLNN rời rạc: ĐLNN X được gọi là ĐLNN rời rạc nếu tập

các giá trị có thể có của nó là đếm được

• ĐLNN liên tục: ĐLNN X được gọi là ĐLNN liên tục nếu tập

các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng bất kỳ trêntrục số

§1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Chương 2

2.1 Bảng phân phối xác suất

Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể có x1,

x2, …,xn … và các xác suất tương ứng p1, p2, …,pn …Bảngphân phối xác suất của X có dạng:

Định nghĩa: Luật phân phối xác suất của ĐLNN là quy tắc cho biết những giá trị có thể có của nó cùng các xác suất tương ứng.

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.1.1 Định nghĩa

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.1 Bảng phân phối xác suất

2.1.2 Tính chất

• ∑ pi = ∑ P(X = xi)=1

2.2 Hàm phân phối xác suất







x x i

i i

p x

F

:

) (

Tính chất 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1 với mọi x

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất

Tính chất 2 : F(x) là hàm không giảm.

Nếu x1 < x2 ta có: F(x1) ≤ F(x2)

Hệ quả 1: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

Chương 2

+) Nếu X là ĐLNN liên tục ta có:

P(a ≤ X ≤ b)= P(a ≤ X < b)= P(a < X ≤ b)= P(a < X < b)

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất

Hệ quả 2:

+) Xác suất để ĐLNN liên tục X nhận một giá trị xácđịnh bằng 0 P(X = x0 ) = 0

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất

Tính chất 3 :

1)

(F)

x(F

(F)

x(F

2.3 Hàm mật độ xác suất

Chương 2

Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x), nếuF(x) khả vi tại x thì hàm số f(x)=F’(x) được gọi là hàm mật độxác suất của ĐLNN X

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.3.1 Định nghĩa

2.3.2 Tính chất của hàm mật độ

Tính chất 1: f(x)≥ 0 với mọi x

X a

Chú ý: Nếu hàm số f(x) thỏa tính chất 1 và 4 thì f(x) sẽ là hàm

mật độ xác suất của một ĐLNN nào đó

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN

3.1.1 Định nghĩa

+ Nếu X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) :

nếu tích phân hội tụ tuyệt đối

Ý nghĩa: + Kỳ vọng toán đặc trưng cho giá trị trung bình của

ĐLNN theo nghĩa xác suất

+ Kỳ vọng toán là đặc trưng xác định vị trí của phânphối

3.2 Mode

Mode của ĐLNN X, ký hiệu Mod(X) là giá trị của X :

+ tương ứng với xác suất lớn nhất nếu X là ĐLNN rờirạc

+ tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại nếu X liên tục

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN

Chú ý: Một ĐLNN có thể có nhiều giá trị mode

+ Nếu X là ĐLNN rời rạc:

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN

3.3.1 Định nghĩa

2 2

2

.

) (

)

i

i i

i

i

x X

Var

+ Nếu X là ĐLNN liên tục:

2 2

2

)()

(]

[)

x f x

X Var

Tính chất 1: Var(C) = 0 với C = const

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN

3.3.2 Tính chất của phương sai

Tính chất 2: Var(C.X) = C2.Var(X) với C = const

Tính chất 3: Nếu X, Y là hai ĐLNN độc lập

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)Hai ĐLNN X và Y được gọi là độc lập nếu việc nhận haykhông nhận giá trị của đại lượng này không ảnh hưởng đến việcnhận hay không nhận giá trị của đại lượng còn lại

Chương 2

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN

3.3.2 Tính chất của phương sai

Tính chất 4: Nếu X1, X2,… ,Xn là các ĐLNN độc lập có cùngphân phối

 

n

X Var n

X X

X Var X

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

THÔNG DỤNG

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

1 Quy luật phân phối nhị thức B(n,p).

2 Quy luật phân phối Poisson P(λ).

3 Quy luật phân phối Chuẩn N(,2).

4 Quy luật phân phối Khi Bình Phương.

5 Quy luật phân phối Student T(n).

6 Quy luật phân phối Fisher - Snedecor F(n1,n2).

7 Luật số lớn.

• Một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ

có có thể xảy ra hai khả năng hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p.

• Dãy thỏa mãn các điều kiện trên gọi là dãy phép thử

Bernoulli.

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

1.1 Dãy phép thử Bernoulli

1.1.1 Định nghĩa

Chương 3

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

Cho dãy n phép thử Bernoulli về cùng biến cố A với p(A) = p luôn không đổi Khi đó xác suất để có đúng k lần biến cố A xảy ra trong n phép thử được tính:

1.1.2 Công thức Bernoulli

k n k k n

n ( k ) C p q

n k

p

q  1  ;  0 , 1 , 2 , ,

Trong đó:

1.2 Quy luật phân phối Nhị thức B(n,p)

• ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật nhịthức với các tham số n và p, ký hiệu X~B(n,p) nếu nó nhậnmột trong các giá trị có thể có 0,1,2 n với các xác suất tươngứng được tính theo công thức:

1.2.1 Định nghĩa

k n k k n

n ( k ) P ( X k ) C p q

n k

p

q  1  ;  0 , 1 , 2 , ,

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

Chương 3

Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật nhị thứcB(n,p) Khi đó:

§1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n,p)

1.2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Nhị thức

1 E(X) = np

2 Var(X) = npq

3 Mod(X) = k0 sao cho:

(n+1).p – 1 ≤ k0 ≤ (n+1).p với k 0 N

Chú ý: Trong trường hợp n=1 ĐLNN X phân phối theo quy

luật không – một, ký hiệu A(p) Bảng phân phối xác suất của

Chương 3

2.1 Định nghĩa

ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luậtpoisson với tham số λ>0, ký hiệu X~P(λ), nếu nó nhận các giátrị có thể có 0,1,2… với các xác suất tương ứng được tínhtheo công thức:

2 , 1 ,

e k

X P

Cho X là ĐLNN phân phối theo quy luật Poisson Khi đó:

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)

2.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối Poisson

1 E(X) = λ

2 Var(X) = λ

3 Mod(X) = k0 sao cho:

λ– 1 ≤ k0 ≤ λ với k 0 N

Chương 3

§2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON P(λ)

2.3 Mối quan hệ giữa quy luật Nhị thức và quy luật Poisson

Nếu n khá lớn, p khá bé (<0,1) thì phân phối Nhị thứcB(n,p) sẽ xấp xỉ phân phối Poisson P(λ) với λ=n.p

!

),

(

k

e q

p C p

n p

k p

n k k n k

3.1 Định nghĩa

ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên R được gọi là phânphối chuẩn với tham số µ và σ > 0, ký hiệu X~ N(µ ,σ 2), nếuhàm mật độ xác suất của nó có dạng:

2

2

2

) (

2

1 )

f

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

• Hàm mật độ của phân phối chuẩn nhận đường thẳng x=µ

làm trục đối xứng và đạt cực đại tại x=µ

Nhận xét:

Cho X ~ N(µ,σ 2) Khi đó:

1 E(X) = µ

2 Var(X) = σ 2

3 Mod(X)= µ

3.2 Các số đặc trưng của ĐLNN phân phối chuẩn N(µ,σ 2)

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

Chương 3

• Khi µ=0 và σ=1 ta nói X có quy luật phân phối chuẩn hóaN(0,1) và hàm mật độ xác suất có dạng (hàm Gauss):

Nhận xét:

• Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phối chuẩn:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ 2 )

dt e

x F

2

1 )

Nhận xét:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

X a

Tính chất:  (  x )    ( x )

5 , 0 )

 x

Khi x > 5 ta lấy

3.3.1 Công thức P(a<X<b)

3.3.2 Hệ quả:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

) 1 5 (

2 )

5 , 0 )

( )

X P b

X P

a P X

a

0 )

2 (

0 )

3 (



• Các quy tắc cho ta thấy 95.44% giá trị của ĐLNN X cóphân phối chuẩn nằm trong khoảng (µ - 2σ; µ + 2σ) và hầu chắc chắn (99,73%) giá trị của X nằm trong khoảng (µ - 3σ; µ + 3σ)

Nhận xét:

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

• Nếu trong thực tế ĐLNN X thỏa mãn quy tắc 2σ và 3σ thì

ta có thể coi nó có phân phối xấp xỉ chuẩn

Chương 3

Cho U ~ N(0,1) và 0<  <1 cho trước Khi đó, giá trị uthỏa mãn:

P(U> u) = được gọi là phân vị chuẩn mức 

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

y N(0,1)



u

Chương 3

• Định lý 1: Cho các ĐLNN X 1 ,X 2 ,… ,X n độc lập, X i ~N (µ i ,σ i 2 )

thì ĐLNN X=∑X i ~N( µ,σ 2 ) với µ= ∑µ i ; σ 2 = ∑ σ i 2

3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ 2 )

• Định lý 2: Cho các ĐLNN X 1 ,X 2 ,… ,X n độc lập, X i ~N ( µ i ,σ i 2 )

thì ĐLNN X=(∑a i X i +b)~N( µ,σ 2 ) với µ= ∑ai µ i +b; σ 2 = ∑a i 2 σ i 2

3.6 Tổng của các ĐLNN độc lập cùng phân phối chuẩn

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

• Định lý 3: Cho các ĐLNN X 1 ,X 2 ,… ,X n độc lập cùng phân phối N(µ,σ 2 ) ta có:

) ,

~ n

X U









q p C p

Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1 (0,1 < p < 0,9) ta

có X có phân phối xấp xỉ chuẩn N(µ,σ2) với µ = np; σ2 = npq

3.7.2 Định lý giới hạn tích phân

§3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ )

) ( )

( 2

1 )

2 1

2 1

2

x x

dt e

k X

xi i

Chương 3

4.1 Định nghĩa

§4 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG

) (

2 n



Nếu X1, X2,…, Xn là các ĐLNN có phân phối chuẩn

theo quy luật khi bình phương với n bậc tự do

) ( 2 1

2 2

Nhận xét

§6 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG 

•Nếu X1, X2,…, Xn là các ĐLNN có phân phối chuẩn N(µ,σ2)

i X





• Nếu là các ĐLNN có phân phối Khi bình phương với

n1 và n2 bậc tự do thì có phân phối Khi bình phươngvới n1 + n2 bậc tự do

,

2 1

 22

2 2

2

Chương 3

4.2 Các số đặc trưng chính của quy luật Khi bình phương

§4 QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG

) (

P

) (

2 n





5.1 Định nghĩa

§5 QUY LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT T

Cho ĐLNN  2 ~  2(n) và U~N(0,1) thì ĐLNN T với:

n

U T

Var T

E