Đối với học sinh lớp 10 mới tiếp xúc với khái niệm vectơ và làm quen với hình học vectơ thì các em còn thấy nhiều bỡ ngỡ và trừu tượng,bài toán phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng[r]
Trang 1A
C M
M1 M2
Rèn luyện cho phọc sinh kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
Mở đầu:
Đối với học sinh lớp 10 mới tiếp xúc với khái niệm vectơ và làm quen với hình học vectơ thì các em còn thấy nhiều bỡ ngỡ và trừu tượng,bài toán phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương là một bài toán khó và kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là một kỹ năng rất quan trọng trong giải toán hình học vectơ Để giúp các em tháo gỡ bài toán này bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi mạnh dạn trao đổi cùng với các em và quý đồng nghiệp một số bài toán nhằm củng cố và rèn luyện cho học sinh kỹ năng này
A Cơ sở lí thuyết.
Định lí 1 Cho hai vectơ
vµ
0
b
Điều kiện cần và đủ để
a cùng phương với
b là tồn tạị số thực k sao cho
Hệ quả: Nếu
µ
a k b
Nếu a b thì
a k b
; nếu a b thì
a k b
Đặc biệt:
AB AC thì
AB
AB AC thì
AB
Định lí 2 Cho hai vectơ không cùng phương
,
a b Khi đó với mọi vectơ
c đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ
,
a b nghĩa là tồn tại duy nhất một cặp số x y , sao cho r c = xa r + yb r
Đặc biệt: *,Tứ giác ABCD là hình bình hành ta có: uuur AC = uur AB + uuur AD
*, Với
uuur
AM là trung tuyến của tam giác ABC ta có: uuur = 1 uur + 1 uuur
B Một số bài tập.
Bài 1 CHo tam giác ABC Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm M sao cho 2 uuur MB + 3 uuur MC = 0 r Hãy phân tích vectơ
uuur
AM
theo
uur uuur
vµ AC
Bài giải:
Cách 1 Vẽ hình bình hành AM1MM2, ta có uuur AM = uuuur uuuur AM1+ AM2 Từ giả thiết 2 uuur MB + 3 uuur MC = 0 r
Ta có 2 = = 3 1 = = 2
,
AC BC AB BC Do đó:
uuuur uur uur uuuur uuur uuur
;
Vậy: uuur = 2 uur + 3 uuur
Cách 2 Ta có:
( )
uuur uur uuur uuur uur uuur1
( )
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
AM AC CM AM AC CM Cộng (1) và (2) theo vế ta được
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur
5 AM 2 AB 3 AC 2 AM 3 BM 2 AB 3 AC
.Û uuur = 2 uur + 3 uuur
Cách 3.Theo giả thiết ta có: 2 uuur MB + 3 uuur MC = Û 0 r 2 ( uuur uur MA + AB ) ( + 3 uuur uuur MA + AC ) = Û 0 r ( 2 uuur MA + 3 uuur MA ) ( + 2 uur AB + 3 uuur AC ) = 0 r
Û 5 uuur = 2 uur + 3 uuur Û uuur = 2 uur + 3 uuur
Nhận xét: *,Với cách thứ nhất giúp học sinh thấy được ý nghĩa của quy tắc hình vình hành trong bài toán phân tích vectơ.
Trang 2B C
M
M1
M2
*,Với cách thứ hai rèn luyện cho học sinh cách phân tích một vectơ theo nhiều hướng khác nhau nhờ kĩ thuật xen điểm
*,Với cách thứ ba rèn luyện cho học sinh một kĩ năng phân tích vectơ bằng cách khai thác giả thiết và kĩ thuật xen điểm Bài 2 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho uuur MB = 3 uuur MC Hãy phân tích vectơ
uuur
AM theo
uur uuur
vµ
Bài giải.
Cách 1 Vẽ hình bình hành AM1MM2 Ta có:
uuur uuuur uuuur
AM AM AM Từ giả thiết uuur MB = 3 uuur MC ta có
+
1
2
;
AC
hay
Do đó: uuuur1 = - 1 uur uuuur ; 2 = 3 uuur
.Vậy:
uuur 1 uur 3 uuur
Cách 2 Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
uuur uur uuur uuur1 uuur uuur uuur uuur uuur2
AM AB BM AM AC CM AM AC CM Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 2 uuur AM = - uur AB + 3 uuur AC Vậy
uuur 1 uur 3 uuur
Cách 3 Từ giả thiết uuur MB = 3 uuur MC Û uuur uur MA + AB = 3 ( uuur uuur AC - AM ) Û 3 uuur AM + uuur MA = - uur AB + 3 uuur AC 2 uuuuur AM = - uur AB + 3 uuur AC Vậy
uuur 1 uur 3 uuur
Nhận xét: Trong bài toán 1 điểm M nằm giữa B và C Trong bài toán 2 điểm M nằm ngoài đoạn BC học sinh sẽ gặp khó khăn hơn
trong việc dựng hình bình hành và làm các thao tác phân tích theo cách giải 1
Bài 3 Cho tam giác ABC Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy điểm N sao cho 2NC = 3NB Hãy phân tích vectơuuur uur uuur
theo ,
Bài giải: Nhận xét điểm N nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC và 2NC= 3NB nên có hai điểm N thỏa mãn bài toán.
TH1:, Điểm N nằm trong đoạn BC, 2NC uuur + 3 uuur NB = 0 rta trở về bài tập 1 Giải hoàn toàn tương tự bài tập 1 ta được
uuur 3 uur 2 uuur
TH2: Điểm N nằm ngoài đoạn BC, 2 uuur NC = 3 NB uuur,cụ thể khi đó điểm N nằm trên tia đối của tia BC
Giải hoàn toàn tương tự bài tập hai ta có uuur AN = 3 uur AB - 2 uuur AC
Bài 4 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB=3MC, trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho 2NC=3NB
Hãy phân tích các vectơ
uuur uuur ,
AM ANtheo các vectơ
uur uuur ,
Bài giải: Bài tập 4 chính là sự kết hợp của bài tập 1 và 3 Cụ thể điểm M thỏa mãn uuur MB + 3 uuur MC = 0 r, điểm N thỏa mãn
=
uuur uuur
2 NC 3 NB Kết quả: uuur = 1 uur + 3 uuur uuur ; = 3 uur uuur
Trang 3
C
B H
M
Tổng quát: Với M là điểm thỏa mãn x MB uuur + yMC uuur = 0 r với x + ¹ 0 y thì ta có sự phân tích:
uuur x uur y uuur
*,Đặc biệt với điểm M nằm trên cạnh BC của tam giác ABC ta có:uuur AM = MC uur AB + MB uuur AC
*,Ngoài ra bài toán phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương trở nên dễ dàng hơn khi giải bài toán trong mặt phẳng tọa độ
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba vectơ a r ( - 2;3 , ) ( b r 1; 2 vµ c - ) r ( - 3; 5 - )
Hãy phân tích vectơ
theo c¸c vect¬ vµ
Bài giải:
Ta tìm cặp số thực x y , sao cho r c = xa r + yb r
Ta có xa r = - ( 2 ;3 ), x x yb r = ( y ; 2 - y )
Vậy r c = xa r + yb r
ì - + =- ì =
Vậy c r = 11 r a + 19 b r
Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết ( ) ( ) æ ö ç ç ÷ ÷
÷
çè ø
3 4;6 , 1; 4 , 7;
2
M là giao điểm của AB với Oy Hãy phân tích vectơ
uuur uur uur theo vµ
Bài giải: Trước hết ta tìm tọa đô của điểm M
Vì M thuộc Oy nên tọa độ M có dạng M( 0; y )
Ta có uuur MA = ( 4;6 - y AB ) , uur = - ( 3; 2 - )
Vì M, A, B thẳng hàng nên
.
y
y
Vậy M
æ ö ÷
çè ø
10 0;
3
Ta có
= - ç ç ÷ ÷ ÷ = - ç ç - ÷ ÷ ÷ = - ç ç ÷ ÷ ÷
,ta tìm các số thực a, b sao cho CM uuur = aCA uur + bCB uur
Ta có CM uuur = aCA uur + bCB uur
ì - =- -ïï
ïï
Û í ï
ïïïî
Giải ra ta được a = 13 , = 74
69 b 69
Vậy uuur = 13 uur + 74 uur
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =1, AC =2 Dựng điểm M sao cho AMuuur uur uuur ^ BC AM , = 2 5 Hãy phân tích vectơ
theo vµ
Bài giải.
Cách 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC
TH1: uuur AH uuur AM
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1
Trang 4y
x
H B C
Do đó: uuur = uuur = 1 uuur
5
AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: = 2 + 2 = = 2 = 4 5 = 2 = 5
ta có
uuur uuur uur 1 uuur 4 uur
TH2 uuur AH uuur AM, khi đó lấy điểm M1 đối xứng với M qua A thì ta có M1 điểm đóng vai trò như điểm M trong TH1 do đó
-uuuur uur uuur uuur uuuur uur uuur
*,Bằng cách kết hợp với tích vô hướng ta có sự phân tích vectơ
Cách 2 Ta tìm cặp số x y , sao cho AM uuur = x AB uur + y AC uuur
Ta có: AM uuur2 = ( x AB uur + y AC uuur )2 = x AB2uur2 + y AC2uuur2+ 2 xy AB AC uuruuur = x2 + 4 y2
, theo bài ra AM =
( )
2 5 nªn ta cã x y 20
Ta có: uur BC = uuur uur AC - AB, mà BC ^ AM Þ uuruuur BCAM = Û 0 ( uuur uur AC - AB x AB )( uur + y AC uuur ) = 0
( )
Û uuur2- uur2 = Û - = Û = 2
y AC x AB y x x y Thay (2) vào (1) ta được y = ± 1, x = ± 4
Vậy uuur AM = 4 uur AB + uuur AC hoÆc AM uuur =- 4 uur uuur AB - AC
Cách 3 Ta dựng hệ trục tọa độ xAy như hình vẽ
( 0; 0 , ) ( ) ( 1; 0 , 0;2 )
Trước hết ta đi tìm tọa độ của điểm M
Gọi M( x y ; )
Ta có:
1; 0 , 0;2 , BC 1;2 , ;
Theo bài ra AM = Þ 2 = 2 + 2 = ( )3
Mặt khác, vì
( )
^ Þ uuuruur = Û - + = Û = 4
Thay (4) vào (3) ta được y = ± 2; x = ± 4
TH1: x =4, y=2 ta có: uuur AM = ( 4;2 ) = 4 uur AB + uuur AC
TH2: x = -4, y = -2 ta có: uuur AM = - ( 4; 2 - ) =- 4 uur uuur AB - AC
Bài tập áp dụng.
1, Cho tam giác ABC Gọi I là điểm đối xứng của B qua C, Jlà trung điểm của AC, K là điểm trên cạnh AB sao cho
1 3
Chứng minh rằng: I,J,K thẳng hang
2, Cho tam giác ABC M,N,P là các điểm thỏa mãn
1 3
Chứng minh rằng AM,BN,CP đồng quy
3, Cho tam giác đều ABC, AB =1 M là điểm thỏa mãn AM 2, MAB 450 Hãy phân tích vectơ
theo vµAC
4 Cho tam giác ABC có AB=1,AC=2,
1200
A Dựng điểm M sao cho AM BC AM , 3 Hãy phân tích vectơ
theo vµAC
M