Chứng minh rằng:.[r]
Trang 1Phương pháp đánh giá một hạng tử ở vế trái:
+ Bắt đầu từ bài tập 396 b, c trang 53 sách Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 2 của
Vũ Hữu Bình:
Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì:
c)
Giải: (Cách giải của Tác giả):
b) Ta có:
Tương tự
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a b c
c) Ta có:
a (do b,c 0)
Tương tự:
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
+ Bài toán có một lời giải hay mà không ít các Thầy, Cô giáo và các em học sinh tự hỏi vì sao Tác giả lại có thể tìm thấy các bất đẳng thức phụ dễ dàng đến vậy? Làm thế nào
để tìm ra bất đẳng thức phụ đó? Qua các ví dụ sau đây tôi xin đưa ra cách tìm các bất đẳng thức phụ đó như thế nào:
Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: ( Toán học và tuổi trẻ) Chứng minh rằng với các số dương a, b, c thì:
a b c
Dạng bất đẳng thức trong bài toán gợi ý cho ta đánh giá một hạng tử ở vế trái, để tìm được bất đẳng thức phụ như bài 396b, c ở trên ta dự đoán, có các bất đẳng thức dạng:
Trang 2Từ đó cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta có vế phải là (x + y)(a + b +c) Nếu chọn được x, y sao cho x + y = 1 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán giải quyết
xong Ta thế y = 1 - x thì
3 3 2
xa yb
ab 3b
trở thành:
3 3 2
xa (1 y)b
ab 3b
Thử các giá trị đặc biệt của a, b ta thấy có thể chọn x = -1 thì (1) đúng và dự đoán
3 3
2
2b a
ab 3b
(2) với mọi số dương a, b Việc chứng minh (2) là vô cùng đơn giản:
2
2b a
0; a,b 0
Vậy bài toán khi giải được bắt đầu bằng:
Ta có:
3 3
2
2b a
ab 3b
Tương tự:
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: + Trở lại với bài toán 396b) của Tác giả Vũ Hữu Bình: Cho a, b, c là các
số dương, chứng minh rằng:
a b c
Dự đoán các bất đẳng thức phụ có dạng:
2
a
ax by
2
b
bx cy
2
c
cx ay
cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được vế phải là: (x + y)(a + b +c)
Nếu chọn được x, y sao cho x + y = 1 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán giải
quyết xong Ta thế y = 1 - x thì
2
a
ax by
b trở thành
2
a
ax b(1 x)
b (*) chọn x = 2 thì
(*) đúng và dự đoán:
2
a 2a -b
b , việc chứng minh bất đẳng thức này đã có ở trên.
Ví dụ 3: (Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa lớp 9 năm học 2008 - 2009):
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
3
Trang 3Cách giải: Sử dụng phương pháp trên ta đánh giá một hạng tử ở vế trái và dự đoán:
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta có vế phải là: (x + y)(a + b + c)
Vì a + b + c = 1 nên nếu chọn được x + y = 3 và các bất đẳng thức trên đúng là bài toán được giải quyết xong
Thế y = 3 - x vào (1) ta có
2
xa yb
ba 5b
3 3 2
ba 5b
Thử một số các giá trị đặc biệt của a, b ta chọn x = -1 => y = 4 Khi đó (1) đúng và có dự
đoán:
3 3
2
4b a
ba 5b
Chứng minh (*): Xét
4b a
0 a,b 0
- Với cách suy luận tìm ra bất đẳng thức phụ ở trên, ta có thể giải quyết bài toán một cách nhẹ nhàng:
+ Bài toán được chứng minh bắt đầu bằng:
Xét:
4b a
0 a,b 0
3 3
2
4b a
ba 5b
(1) Tương tự:
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có:
(4b a) (4c b) (4a b) 3(a b c)
Do a + b + c = 1 suy ra điều phải chứng minh
Trang 4Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2000
-2001) Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1
Chứng minh rằng:
b a b c c d a d 2
Giải: Vận dụng cách suy luận trên ta có cách giải sau:
Ta chứng minh với mọi a, b dương ta có bất đẳng thức:
2
Thật vậy: (*) tương đương với:
Áp dụng bất đẳng thức (*) cho các số hạng ở vế trái ta có:
Dấu "=" khi a = b = c = d =
1
4 (đpcm).
+ Với cách suy luận tìm ra bất đẳng thức phụ ở trên, ta có thể giải quyết các bài toán sau một cách nhẹ nhàng:
Bài 1: Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:
2
Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:
Bài 3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Trang 5
Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:
2
Bài 4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Để giải bài toán này ta áp dụng bài toán phụ:
2