Các bài toán về Hệ phương trình

4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: .. Biện luận số nghiệm của HPT theo m.[r]

CÁC BÀI TOÁN V Ề HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.H ệ phương trình đối xứng loại 1:

3

x y xy

78 97

x y







II.H ệ phương trình đối xứng loại 2:

2

2

xyz x y z

ztx z t x

txy t x y

  



III.H ệ phương trình đẳng cấp:

IV.H ệ phương trình vô tỉ:

128

x y



2(1)

x y x y

x y x y xy

( bp (1) )

2 2

x y

3 4

6 3



1

1 1

2

x y





   

x y y x

x y xy

  

V Gi ải HPT bằng pp đánh giá:

2

2

2

1

12

x y yz

z y xz

x z yx

z x

x y z

  

 



2

1 2

VI M ột số HPT khác:

3

2

x y x y

x y x y

y x

xy



18

x y x y

2 2 2 2 2 2

z x x y z

1

y

2

y

 



3 4

2 4

2

4





1 1

y xy



27 /

x y x



/ 9 / 2

6

xy y x

x y x y zy z y

y xy x



x y x y x y x y

5 5

6 3 18 ( 1)( 1) 6

30 32



  

  



2 2

26 5

x y y x

 

2 2 2

( 1)(3 2) 2 3

                  

xy xy x y y x







2 2

2

2 2

2

2 2





Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN

HPT có nghdn x = y = 1

Từ ĐK của HPT

Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 )

62/ Tìm GT của m để HPT sau có nghiệm thực:









3

x y xy

2



2 2 2 2 2

x y x y

75/

Từ (2) a x: 1 2cosa y; 1 2sina Thay vào (1) ta được:

(1cosasina)(3 2cosasinacosasina(cosasina) 2 37 4) 223(1,5cosasina)

Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành:

(1t)(1,5  t (1 t ) 2t 2 37 4) 223(1,5 t) 2t 39t41 0  t 1(t  2)

2cos a(  4) 1 a 2k  2 2k

        HPT có 2 nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 )

VII Bi ện luận hệ phương trình:

1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: x2 y 2xy m(1)







(1) có nghi ệm thì 2 2

S  PS  P P m P m m S   m S    m m  Để (1)

có nghi ệm ta chỉ cần đk:   m 2 3m  1 0 3m     1 m 2 0 m 8 ( do m0 t ừ pt thứ hai của hệ

2/ Giải và bl hpt:

2

2

2 2

x xy y mx

y xy x my







Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: (xy x)(   y 1 m)0

x y x m x   x m

y   m x x  m x    m m m

K ết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m1) / 3

+/ m  1 m 5: hpt có nghi ệm: x y 0;x y (m1) / 3;( 1 ; 1 )

m   m  

3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

1(1)

x xy y







Giải: Đặt 2 2

(1) : ( 1) 1

x ty y t   t (3) Vì 2

1 0

t   t v ới mọi t nên (3) luôn có nghiệm Từ hpt ta suy ra:

(t  3t 2) /(t    t 1) m (m1)t  (3 m t)   m 2 0(4)

+/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghi ệm

+/ m1: (4) có   3(m4)(m6)

T ừ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi   4 m 6





/ 3

P m

5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:

4 4

y x x ax

x y x ay







Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ;x y0 0) thì nó cũng có nghiệm (y x0; 0) do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì

x  y x  x ax  V ậy nếu hpt có nghiệm dn thì  25 4 a  0 a 25/ 4

b/ đk đủ: hpt tđ với

4

x y y ay

x y x xy y x y a





Do pt 2 2

x xy y  xy   a

x  y xy  y a có 2 2 2

'

12(3 ) 0

    do a > 25/4

V ới x = y thì hpt trở thành 2

x x  xa  Do a25/ 4  25 4 a0 nên pt ch ỉ có nghiệm x = 0 do

đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất

6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a

x y a





 



Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc: 2y xy    0 y 0 x 4 (y y0)

a/ a < 0: hpt có hai nghi ệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)

b/ a0: hpt có nghi ệm duy nhất ( a; 0)

M ỘT SỐ BÀI TẬP:

1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:

2

4

x xy y k

y xy







3

m

x y m



 



3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:

7 7





x y xy m

m

xy x y m m







5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

x xy y

m





6/ Cho HPT: xmym d( ) &x2y2 x C( ) Biện luận số nghiệm của HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm

1 1 2 2

( ;x y) & ( ;x y )hãy tìm GT của m để GTBT 2 2

- // -