SKKN toán 6 ( phương pháp tính tổng dãy số )

Bản thân Tôi là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 6 và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6, Tôi thấy học sinh khi gặp bài toán về dãy số thường là lúng túng hoặc chưa biết cách giải, c

I Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoa học tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học ) những kiến thức cơ bản, những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải bài tập toán

Kiến thức về dãy số có thể nói là trọng tâm của nội dung dạy học Toán bậc THCS đặc biệt là đối với học sinh khối lớp 6, 7 và thực tế có nhiều dạng bài toán nâng cao được khai thác từ các bài toán về dãy số

Các đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 6,7 thường xuyên xuất hiện bài toán liên quan đến dãy số có quy luật được xem như là bài toán khó của học sinh lớp 6

và 7, gây không ít khó khăn cho học sinh

Bản thân Tôi là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán 6 và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6, Tôi thấy học sinh khi gặp bài toán về dãy số thường là lúng túng hoặc chưa biết cách giải, chưa tìm ra được quy luật hoặc giải được nhưng chưa chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm Do đó, bản thân Tôi cần phải trang bị cho mình kiến thức và dạy cho học sinh giỏi có thể tự tin khi giải bài toán về dãy

em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập

có liên quan đến dãy số có quy luật

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập đặc biệt là các dạng bài tập có liên quan đến dãy số có quy luật

- Giải đáp được những thắc mắc, sữa chữa được những sai lầm hay gặp khi giải bài toán về dãy số có quy luật

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống một số phương pháp cơ bản và

áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải một số bài tập về dãy số có quy luật

- Thông qua việc giải bài toán tính tổng của dãy số có quy luật giúp học sinh thấy

rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về dãy số Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

3 Thời gian, địa điểm

- Thời gian: Từ tháng 09 năm 2018 đến hết năm học 2018 - 2019

- Địa điểm: Trường THCS Hải Tiến

4 Đóng góp mới về mặt thực tiễn

Bản thân Tôi thấy việc dạy học sinh lớp 6 giải các bài toán về dãy số có quy luật gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt là những dãy số trong phạm vi ôn luyện học sinh giỏi, việc hệ thống các phương pháp giải bài toán tính tổng các dãy số thực sự khó khăn đối với giáo viên ôn luyện chưa có nhiều kinh nghiệm Với niềm đam mê toán học cùng với sự tìm tòi của bản thân trong quá trình giảng dạy,bản thân tôi đã

ít nhiều sưu tầm và hệ thống hóa được một vài kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy bài toán tính tổng dãy số Đặc biệt khi áp dụng với các em học sinh, tôi thấy các em có sự say mê khi giải bài nên các em ham học, say mê tìm tòi hơn và chính

vì vậy các em cũng có được một hệ thống các phương pháp giải do đó khi bắt gặp các em thường đưa ra cách giải quyết một cách tương đối phù hợp Nhưng trong khuôn khổ sách giáo khoa thì chỉ đưa ra một số ít lần bài toán tính tổng thông qua giờ luyện tập Nên việc giúp các em tiếp cận với các dạng dãy số có phần khó khăn

do thời gian giảng dạy trên lớp được ít Khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho đồng nghiệp một vài điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các dãy số

Mặc dù đã cố gắng, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!

sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra

1.2 Cơ sở thực tiễn

Thực tế để nâng cao chất lượng bộ môn Toán trong đó có phần tính tổng của dãy số, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi của bộ môn này, hơn ai hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự chuyên tâm tìm tòi, nghiên cứu, phân loại dạng , mày mò và tìm ra phương pháp giải nhanh nhất, hợp lí nhất… Đồng thời phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng

Qua quá trình dạy học sinh đại trà lớp 6 và ôn thi học sinh giỏi bộ môn Toán

6, qua dự giờ đồng nghiệp tôi thấy, học sinh còn lúng túng khi giải các bài toán về tính tổng dãy số do thiếu các phương pháp giải, chưa có hoặc khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng dãy số một cách sáng tạo Trong môn Toán 6 ở THCS , những bài toán liên quan đến tính tổng dãy số chỉ được nói đến ít

ỏi thông qua tiết học luyện tập tuy nhiên trong các buổi học có chút nâng cao như lớp chất lượng cao học buổi chiều thì bài toán tỉnh tổng dãy số ngày càng được học sinh quan tâm Do đó, tôi xin đưa ra một số giải pháp của bản thân về việc giúp học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải Toán trong phạm vi kiến thức về dãy

tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có phương pháp làm bài Trong khi đó từ một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của Toán học lại có một hệ thống bài tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài là một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một khuôn mẫu nào cả Do vậy mà học sinh lúng túng khi đứng trước một đề Toán có bài toán liên quan đến tính tổng dãy số, vì vậy mà số lượng và chất lượng của bộ môn Toán

ở tường THCS Hải Tiến vẫn thấp, chưa đáp ứng được lòng mong mỏi của giáo viên , điều này nó cũng đã được thể hiện rõ nét thông qua kết quả của các kì thi học sinh giỏi Toán cấp Thành phố, cấp trường hàng năm do Phòng giáo dục tổ chức

2.2 Các giải pháp

- Trong đề tài này, ở phạm vi ngắn, tôi đưa ra một số kiến thức cơ bản về dãy số có quy luật và cách giải Đồng thời, trên cơ sở từ bài toán cơ bản, tôi đưa ra thêm bài tập khai thác phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp 6 Trường THCS Hải Tiến

- Chuyên đề '' Một số phương pháp tính tổng của dãy số cho học sinh lớp 6'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi

A Tính tổng bằng phương pháp sử dụng công thức tính cơ bản trong SGK

1 + 2 + 3 + 4 + + n Hướng dẫn giải:

Đây là một bài toán đơn giản có thể yêu cầu những HS trung bình nhận dạng: dãy số trên được viết theo quy luật nào? đây là bài toán với yêu cầu gì? số đầu là bao nhiêu, số cuối là số nào? vậy ta áp dụng theo công thức nào?

20181

( 

= 2 037 171 Bài toán 2: Tính tổng

a) A = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n + 1)

b) B = 2 + 4 + 6 + + 2n

Tương tự cho HS nhận dạng, áp dụng công thức nào?

Hướng dẫn giải a)Số số hạng: (2n + 1) - 1 : 2 + 1 = 2n : 2 + 1 = n + 1 (số hạng)

Tổng: A =  

2

)1.(

1(2n

=

2

1) (n 1) (n

= (n + 1)2 b) Số số hạng: (2n - 2) : 2 + 1 = 2.(n - 1) : 2 + 1 = n (số hạng)

B =

2

n 2)(2n 

= n (n + 1)

*) Đặt vấn đề 1: Đối với GV hay HSG ta có thể chứng minh bài toán tổng quát này theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp 6 đại trà chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại này

2

1 ) 1 ( ) 1 ( 1 2

Nên Ak + 1 = (k + 1)

2

1 ) 1 ( k   Tức là bài toán đúng với n = k + 1

Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:

An= 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n = n.(n + 1) : 2

*) Đặt vấn đề 2: từ bài toán 1 : Tính tổng S= 1 + 2 + 3 + 4 + + n Tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp bất kỳ không còn mấy khó khăn đối với học sinh, ta

có thể đặt vấn đề khai thác, phát triển sang các bài tập tương tự đối với cách tính tổng các số nguyên cách đều một cách rất tiện lợi Tôi xin đề cập đến một bài toán có thể khai thác từ bài toán 1 như sau:

Bài toán 3: Tìm số hạng thứ n trong một dãy số tự nhiên cách đều

-Ta tính tổng S như sau:

Cách 1 :

- Áp dụng công thức tìm số hạng trong một dãy số

Số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách + số đầu

(số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều)

- Số hạng thứ 33 của tổng trên là : ( 33 – 1 ).2 + 7 = 71

*) Một số lưu ý khi giải bài toán loại này:

- Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối của tổng

- Biết công thức tính số số hạng trong dãy số cách đều, từ đó suy ra được công thức tìm một số hạng thứ n của tổng các số tự nhiên cách đều đã cho;

- Hs hiểu được số số hạng trong trường hợp này chính là số hạng thứ n cần tìm ( trong bài trên số số hạng là 33)

- Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 của dãy thành số hạng có giá trị là 33 trong tổng

Bài toán 4: Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ”

= (-1)k k + (-1)k (-1).(2k + 1) = (-1)k.(k - 2k – 1) = 9-10k(-k – 1) = (-1)k(-1) (k + 1) Hay Ak + 1 = (-1)k + 1(k + 1) Tức là bài toán đúng với n = k + 1

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:

Bài tập 2: Bạn Bình đánh số trang chẵn một quyển sách bằng dãy số chẵn bắt đầu

từ số 2, biết rằng quyển sách của bạn Bình có 284 trang chẵn và khi đánh số thì mỗi chữ số mất một giây Hỏi:

a) Bạn Bình cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó

b) Trang chẵn thứ 25 được đánh bằng số nào ?

Bài tập 3: Bạn An đánh số trang lẻ một quyển sách bằng dãy số lẻ bắt đầu từ số 1, biết rằng quyển sách của bạn An có 283 trang lẻ và khi đánh số thì mỗi chữ số mất một giây Hỏi

a) Bạn An cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó

b) Trang lẻ thứ 52 được đánh bằng số nào ?

B Tính tổng bằng phương pháp khử liên tiếp ( hay tách hạng tử )

Lời giải 1:

Hs dễ dàng thực hiện phép giải thông thường

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10

= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330

Nhưng cách giải này không thể áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác

- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn

Đặt vấn đề : Ta có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau:

+ 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 Vậy B = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343400

Nhận xét: Trong câu b này, nếu giải theo cách giải 3 vẫn được, nhưng gặp khó khăn ở chỗ việc tính tổng các bình phương của dãy số cách đều sẽ gặp khó khăn, bài toán này sẽ được giải quyết ở phần tiếp theo

- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa

n (nN*)

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh

Bước 1 Với n = 1 Vế trái = 1.2 = 2 Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : 3 = 2

Suy ra vế trái bằng vế phải Vậy bài toán đúng với n = 1

Bước 2 Giả thiết bài toán đúng với n = k ( k > 1) tức là ta đã có:

Bk = 1.2 + 2.3 +….+ (k + 1) (k + 2) =

3

) 2 )(

1 ( k  k  k

Bước 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 tức là chứng minh

Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1)(k+2) =

3

) 3 )(

2 )(

1 ( k  k  k 

Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) =

3

) 2 )(

1 ( k  k 

k + (k + 1)(k + 2)

Bk + 1 = (k + 1)(k + 2)

3

) 3 )(

2 ( 10 ( 1 3

1 ( n  n 

A = 8.9.10.11 : 4 = 1980

Nhận xét: - Tương tự trong bài toán 2a trong mỗi hạng tử đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa số của tích là 1, ta đã nhân cả hai vế của A với 4 lần khoảng cách giữa hai thừa số.Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm

- Một cách khác: bài toán này ta nhân 2 vế của A với 4 ( để được tích của 4 số liên tiếp của số hạng đầu tiên) để ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài toán cần tìm)

- Vậy trong cách giải bài toán 3a ta đã đi nhân 2 vế của biểu thức với 1 số xác định là: (số các thừa số của tích+ 1) Khoảng cách giữa hai thừa số

- Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn

b) Quan sát kết quả bài toán trên ta có công thức tổng quát

1

4.3

13.2

12.1

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân

số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ

1.2  2 2.3 2 3   ;100.101 100 101 Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau

* Cách giải:

S =

101.100

1

4.3

13.2

12

1 1

1 101

1 100

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

4.3

13.2

12

11

11

11

11

4

13

13

12

12

nn

Bài toán 5: Tính tổng: P =

101.99

2

7.5

25.3

23.1

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số

đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân

số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2

3

11

15.3

2   ;

7

15

17.5

2   ; … ;

101

199

1101.99

2

7.5

25.3

23

1

7

15

15

13

13

2

101.99

2

7.5

25.3

23

2

11

7

15

15

13

13

11

11

Bài toán 6: Tính tổng B =

39.38.37

1

5.4.3

14.3.2

13.2.1

* Hướng dẫn tìm lời giải :

Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có

tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau)

Ta thấy:

3.2.1

13

.2

12.1

12

13

.2.1

23.2

12.1

14

.3

13.2

12

14

.3.2

24.3

13

1 39

38

1 38 37

1 2

1 39

38 37

2 39

38

1 38

1(

2)

2)(

1(

1)

1(

* Cách giải:

B=

39.38.37

1

5.4.3

14.3.2

13

12

1 3 2

1 2

138.37

121

1 38 37

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2

12

1 2

38

1741

740.2

1

=741

370.2

1

=741185

* Bài toán tổng quát: Tính tổng

2 2( 1).( 2)( 1).( 2) 24( 1).( 2)

1 ;

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy

1

16.11

111.6

16.1

Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy :

6.1

56

1

1

1  =>

6.1

1)6

11

1(5

Tương tự như vậy

11.6

511

16

1   =>

11.6

1)11

16

1(5

501 496

5 501

1 496

501.496

1)

501

1496

1(5

336

1176

166

16

=

501.496

1

16.11

111.6

16

1(5

16

111

1(5

501

1496

1(5

1

16

111

111

16

16

500

=501100

*) Bài toán tổng quát:

A=11.66.111111.16   (5n41)(5n1)

= )

6

11

1(5

1

11

16

1(5

)15(

14

5(

1(5

11

5

1.15

5

n

n

=

1

5nnBài tập đề nghị: Tính tổng

M =

61.59

4

9.7

47.5

A =

66.61

5

26.21

521.16

516.11

B =

100.99.98

2

4.3.2

23.2

2 )(

1 (

1

5 4 3 2

1 4 3 2

1

4.3

13.2

12

4

11.15

47.11

43.7

F =

399

2

63

235

2 15

3

17.14

314.11

311.8

a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102

b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002

c) Viết công thức tổng quát của bài toán trên

Giải a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102

Cách 1.Giải theo quy tắc thực hiện thứ tự phép tính