Tìm điều kiện để A xác định.[r]
Trang 1UBND huyện A Lưới KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1: ( 1 điểm ) Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa:
√− 7 x2+6 x +1
x2
Câu 2: ( 2 điểm ) Cho biểu thức:
A = [( 1
√x+
1
√y) 2
√x +√y+
1
x+
1
y] : √x
3
+y√x +x√y +√y3
√x3y +√xy3
a Tìm điều kiện để A xác định
b Rút gọn A
c Cho xy = 6 Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất
Câu 3: ( 2 điểm ) Giải phương trình:
√x+3+4√x − 1 + √x+8 - 6√x −1= 5
Câu 4: ( 2 điểm ) Giải bài toán cổ:
Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó Tính số trâu mỗi loại
Câu 5: ( 2 điểm ) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC);
MBC = CAB và AB = BD Hãy tính các góc của hình thang
Câu 6: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng nếu x = sin α (0 < α < 900) thì:
x2
√1 − x2=
1
cos α −cos α
………Hết………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .
HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 2Câu 1
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2 + 6x + 1 0 (1) và x 0 (2)
Để giải quyết (1) ta có: - 7x2 + 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1)
Ta có bảng xét dấu:
x -17 1
x - 1 - - 0 +
7x + 1 - 0 + +
(x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 +
- 7x2 +6x + 1 0 + 0
-Như vậy - 7x2 +6x + 1 0 ⇒ -17≤ x ≤ 1, kết hợp với (2) ta có: -17≤ x< 0 và 0 < x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 a x > 0; y > 0 b * ( 1 √x+ 1 √y) 2 √x +√y = 2 √xy= 2√xy xy * ( 1
√x+ 1 √y) 2 √x +√y + 1 x+ 1 y= 2√xy xy + 1 x+ 1 y= x +2√xy + y xy = (√x +√y)2 xy * √x
3
+y√x +x√y +√y3
x√x+ y√x+x√y+ y√y
x√xy + y√xy
= √x ( x+ y )+√y ( x+ y )
√xy ( x + y ) =
(x + y )(√x +√y)
√xy ( x + y ) =
√x +√y
√xy
Vậy A = (√x +√y)2
xy : √x +√y
√xy = (√x +√y)2
xy √xy
√x +√y=
√x +√y
√xy
c Vì xy = 16 ⇒√xy=4⇒√x√y =4
Hai số dương √x, √y có tích √x√y = 4 không đổi nên tổng √x+√y
Có giá trị nhỏ nhất khi √x=√y=2⇒ A=2+24 =1
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 3
Ta viết x + 3 + 4√x −1=¿ x - 1 + 4√x −1+4
Với nhận xét (√x −1)2 = x - 1
Ta có: x - 1 + 4√x −1+4 = (√x −1)2 + 2.2√x −1 + 22
⇒ x + 3 + 4√x −1 = (√x −1 + 2)2
Tương tự ta có: x + 8 - 6√x −1 = (√x −1 - 3)2
Phương trình trở thành:
√(√x −1+2)2+√(√x − 1−3)2=5 , x ≥ 1
⇒√x − 1+ 2+|√x −1 −3|=5 , x ≥ 1
- Với √x −1 −3 ≥ 0 ⇒ x − 1≥ 9 ⇒ x ≥10
Phương trình trở thành: √x −1+2+√x −1− 3=5
0,25 0,25 0,5
0,25
Trang 3⇒√x − 1=3 ⇒ x=10 (1)
- Với √x −1 −3 < 0 ⇒ x −1 < 9 ⇒ x < 10
Phương trình trở thàmh: √x −1+2 −√x −1+3=5
⇒ Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2)
Từ (1) và (2) và điều kiện x 1 ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho là
1 x 10
0,25
0,25 0,25
Câu 4
Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều
kiện 0 x ; y ; z ≤ 100 và x, y,z Z, ta có hệ:
Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được phương
trình 14x + 8y = 200 ⇔ 7x + 4y = 100 (3)
Đặt x = 4t ta tính ra y = 25 - 7t; t Z
Đem thế các giá trị của x, y theo t vào phương trình (2) ta tính được
z = 3t + 75
Rõ ràng cho t một giá trị nguyên thì x, y và cả z đều nhận giá trị nguyên
và thỏa mãn hệ đã cho
Vậy nghiệm nguyên của hệ đã cho là:
Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ 257 ⇒ t = 0; 1; 2; 3
Từ đó ta có kết quả:
t 0 1 2 3
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5.x + 3y + 3z=100
x + y +z = 100
15x + 9y + z = 300 (1)
x + y + z = 100 (2)
x = 4t
y = 25 - 7t;
z = 3t +75
0 ≤ 4t ≤ 100 0 ≤ t ≤ 25
0 ≤ 25 - 7t ≤ 100
0 ≤ 3t + 75 ≤ 100
−75
7 ≤ t ≤
25 7
-25 ≤ t ≤
3 25
Trang 4x 0 4 8 12
y 25 18 11 4
z 75 78 81 84
Vậy ta có 4 đáp số:
(I) (II) (III) (IV)
0,25
Câu 5 Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK AD tại K
Ta lại có: DAB❑ = CBA❑
( ABCD là hình thang cân)
mà CAB❑ = CBM❑
⇒ MBA ❑
= DAC❑
;
mà KM // AC nên DKM❑ = DAC❑ (đồng vị)
⇒ DKM❑ = MBA❑
⇒ ABMK nội tiếp
⇒ AKB❑ = AMB❑ = 900 ⇒ MBA❑ = 450 (1)
ABCD là hình thang cân có MC = MD ⇒ MA = MB vậy ABM vuông
cân tại M Kẻ MI AB ⇒ MI = 12AB = 12AC, lại kẻ CH AB
⇒ CH = MI = 12AC
ACH vuông tại H có CH = 12AC nên là nửa tam giác đều cạnh AC
⇒ CAB❑ = CBM❑ = 300 (2)
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
Loại
K
Trang 5Từ (1) và (2) ⇒ CBA = DAB = 750
Vậy ADC❑ = BCD❑ = 1050
0,25 0,25 0,25
Câu 6
Ta có x
2
√1 − x2=
sin2α
√1 −sin2α=
sin2α
√cos2α
= sin2α
|cos α|=
1 −cos2α
cosα ( vì 0 < α < 900 nên cosα > 0)
= cos α1 −cos α (đpcm)
0,5 0,25 0,25