Sử dụng ph−ơng pháp quy nạp toán học để chứng minh dy số trên là cấp sè céng víi phÇn tö ®Çu tiªn lµ u 1 vµ c«ng sai d.... lµ cÊp sè céng...[r]
Trang 1B i 1 Cho d y số { }, =0,1,2,3, xác định như sau:
= +
=
= + 1 , 0,1,2,
1
1 0
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:
6
7 1
0 4
<
∑
=
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
=1 đúng
Xét >1:
1 ,
2
1 1
1
+
ư
ư
Từ đó ta có:
2
2 2
2 2
2
1 + > + > > + ư = +
>
ư
ư
+
ư +
<
+
<
⇒
3 2
1 1 2
1 2
1 2
2
1 1
2 4
10
1 3 2
1 5
1 2
1 1
2 4
<
+
ư
<
=
6
7 6
1 1 80
13 1 10
1 16
1 1 1
0 4
= +
<
+
<
+ +
<
=
B i 2 Cho d y số { }, =0,1,2,3, xác định như sau:
= +
=
>
+ 1 , 0,1,2,
1
1 0
2
1
0
2
Nhận xét:
1= 0 < 1 < 2 < < 1 < ⇒( +1 ư )= 1 >0
( 1 + )( 1 ư ) (> + ) 1 =2
( 2 ư 2 )>2⇒ 2 ư 2 = ( 2 ư 2 )>2 ⇒ > 2 +2
Trang 2Ta có:
2
1 0
1 1 0
0 1
1
0 1
0
1
<
− +
−
⇒
<
− +
<
<
=
−
<
+ +
+ +
0
2 2
1
0
1 0
1
0
2 2
1 0
0
2 0
=
+
−
= +
2 4
1 1 2
1
2 0
2 0 2
0
<
− +
−
−
⇒
2 2
4
1 1 2
0 2
0
2 0 2
0
+
<
+ +
−
<
−
⇒
2 2
0 0
+ +
<
⇒
B i 3 Cho d y số thực không âm { }, =1,2,3, xác định nh− sau:
,
3 , 2 , 1 , 1 0 2 1 2 1 = ≤ ≥ + − ∑ = + + Chứng minh rằng 2 1 2 0≤ − + ≤ Giải ,
3 , 2 , 1 , 0 2 1 + 2 ≥ ⇒ − 1 ≥ 1 − 2 ∀ = − + + + + + ,
3 , 2 , 1 , , 1
2 1 ≥ − ≥ ≥ − ∀ = − ⇒ + + + + + − ≤ − − ≤ − − ≤ − ⇒ + + + + + + + + + 1 1 1 2 1 1 1
+
−
⇒
) 1 ( 1
1
−
≥
−
Trang 3Do , 1,2,3,
0 1 1 ∀ = ≥ ≤ ∑ = nên ta có: ) 2 ( 0 1 lim 1 0 , 1 0 1 1 = + − ⇒ ≤ − ≤ ⇒ ∀ ≤ ≤ + + +∞ → + + Từ (1) v9 (2) có: − +1 ≥0 Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) − + ≥ − + − ≥ − − ≥ − + + + + 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1
2 2 ( ) ( )( 1 ) ( )( ) ( 1 ) 1 2 2 1 1
2 1 1 + + = − + + = − + + + + ≥ ≥ ⇒ ∑ ( )( ) 2 1 2 2 1 2 < + + ≤ − ⇒ + B i 4 Cho d y số { }, =1,2,3, xác định nh− sau: > ∀ + = = − 1 , 1 0 1 1 Chứng minh rằng ∑ ≥− ∀ = , 2 1 1 1 Giải Ta có: + + = + + = = + 2 1
1 2 0
2 2
1
1
2 1
2 2
2 1
−
≥
−
=
⇒ +
=
=
=
1 1
1
2
2
1 1
2
1 1
−
≥
⇒
−
≥
−
−
Trang 4B i 5 Cho d y số { }, =0,1,2, xác định như sau:
= +
=
=
=
ư + 1, 1,2,3,
1
1 1
1 0
Chứng minh rằng không chia hết cho 4 với mọi
Giải
Tính một số giá trị cụ thể để định hướng:
,
2 132176
4 528706 ,
3 852 4 3411
, 3 38 4 155 ,
2 5 4 22 ,
3 1 4 7 ,
3 ,
2
8 7
6 5
4 3
2
+
=
= +
=
=
+
=
= +
=
= +
=
=
=
=
Định hướng:
Nếu =3 +2 thì =4 +2, , ∈
Nếu ≠3 +2 thì =4 +3, , ∈
nếu
nếu
∈
+
≠ +
+
= +
2 3 3
4
2 3 2
4
Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp toán học theo k:
Ta có (1) đúng với =0,1,2,3,4,5,6,7,8
TH1: Giả sử (1) đúng với =3 +2, khi đó ta có:
3 3 1 2 3
1= + + = +
Ta chứng minh +1 =4 +3
2
3 +
= có dạng 3 +2⇒ =4 1 +2
1 3 1 2 3
1= + ư = +
Ta có: +1 = ư1 +1
(4 1 +2)(4 2 +3)+1
=
4 1 2 + 1 + 2 + +
TH2: Giả sử (1) đúng với ≠3 +2
TH2.1 Nếu
+
ư
=
ư
=
ư
+
≠ +
= +
⇒
=
2 1 3 1 3 1
2 3 1 3 1 3
Ta có:
+
=
+
=
3 4
2 1
1
(4 3)(4 2) 1 1
4 1 2 + 2 + 1 + +
TH2.2 Nếu
+
≠
=
ư
+
= +
⇒ +
=
2 3 3 1
2 3 1 1
3
Trang 5Ta có:
+
=
+
=
3 4
2 1
1
(4 3)(4 3) 1 1
4 1 2 + 2 + 1 + +
=
Vậy (1) đúng với mọi
B i 6 Cho d y số { } xác định nh− sau:
, 2 , 1 , 0 , 3
2
3 2 3
2
=
−
− +
= a) Chứng minh rằng ∈ ,∀ =0,1,2,
b) Tìm tất cả các số hạng của d y chia hết cho 3 Giải
3 2
3 2 β
; 3 2
3 2
=
+
β
α−
=
3 2
3 2 3
1
+ +
+
−
− +
=
=
3 2
3 2 3
2
+ +
+
−
− +
=
3 2 β 3 2
=
=
= Thay , +1 v9o +2 ta có:
−
Bằng cách tính trực tiếp ta có: 0 =0, 1 =1
Vậy, d y số trên có thể xác định bởi công thức sau:
=
−
=
=
=
+
1 ,
0
1 2
1 0
Từ đó ta có ∈ ,∀ =0,1,2,
Trang 6b) Bằng cách tính trực tiếp ta có 8 số hạng đầu khi chia cho 3 cố số dư l9: 0,1,1,0,2,2,0,1
3 ,
3
3 ,
3
≠
≠
=
=
nếu nếu
Ta đi chứng minh (1) đúng bằng phương pháp quy nạp toán học:
Ta có (1) đúng với 8 số hạng đầu
Giả sử (1) đúng với , ta chứng minh (1) đúng với +1
TH1 Nếu =3 , ta cần chứng minh +1có dạng ≠3 Ta có:
( + )+
=
ư
=
⇒
<
<
+
=
=
+
ư
=
ư
=
ư
ư +
ư
' 3
4 3
0 , ' 3 3
2 1 3 1 3 1
1 1
1
có dạng ≠3 TH1 Nếu =3 +1, ta cần chứng minh +1có dạng ≠3 Ta có:
( + )+
=
ư
=
⇒
<
<
+
=
=
=
ư
ư +
3 0
, ' 3 3
3 1
1 1
TH1 Nếu =3 +2, ta cần chứng minh +1có dạng 3 Ta có:
<
<
+
=
+
=
+
=
ư
ư
3 ' , 0 , 3
' ' 3
1 3 1
(3 ) (3 ' ') 4
=
Ta chứng minh = ' Ta có:
"
3 3
(3 ' ') 3 " 3(4 ' " ') ' 4
4
'
=
⇒ , thay v9o (2) ta có: +1 =3(4 ư '+ ) có dạng 3
Vậy (1) đúng với mọi , hay chỉ có mọi số hạng của d y có dạng 3 , =0,1,2, chia hết cho 3
B i 7 Cho d y số { } xác định như sau:
,
3 , 2 , 1 , 10
1
=∑
=
ư
Tìm trong d y những số chia hết cho 7
Giải
Định hướmg: tính một số giá trị đầu của d y
11111 ,
1111 ,
111 ,
11 ,
7 111111
6 = ⋮ Dự đoán 6 ⋮7
Trang 7Xét với ≥ , coi6 =6 + , ≥1,0≤ ≤5 Khi đó ta có:
∑+
=
ư + =
1
1
10
10 10 10
10 10 + + + ư + + + + + + ư = (10 10 10 ) 10 106 0 1 6 6 6 + + + + = + = ư trong đó nếu =0 thì = thì 0 = Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp0 toán học theo số : Nếu = 0 thì = 6 ⋮7 v9 nếu ≠ thì0 = 6 + không chia hết cho 7 bằng cách sử dụng công thức biến đổi trên Kết luận: Các số có dạng 6 ⋮7 B i 8 Cho d y số nguyên dương { } xác định như sau: = ư = = = ư ư , 2,3,4,
6 17 , 3 2 1 1 0 Chứng minh rằng 2 ư chia hết cho 2 v9 thương l9 số chính phường với1 ,
2 , 1 , 0 = ∀ Giải Từ cách xác định d y số ta có: 2 1 1 3 3 ư = ư ư ư ư ( ) ( )2 2 1 2 1 3 3 ư = ư ư ư ư ⇒ 2 , 6 6 1 1 2 2 2 2 ư =ư + ∀ ≥ ⇒ ư ư ư ư Từ đó ta có: + ư = ư + ư = ư + ư = ư ư ư ư ư 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 3 2 0 0 1 1 2 2 2 6 6
6 6
6 6
8 6
2 1
8 6
9 2 ư 1 + 2 1 = 2 ư
(3 ư 1 )2 =8( 2 ư1)
) 1 (
3 1
2 1
=
ư
⇒
Trang 8Từ công thức xác định d y số ta có ∈ ,∀ nên từ (1) ta có:
(3 ư ư1 )2⋮8⇒(3 ư ư1 )⋮4⇒3 ư ư1 =4 , ∈
(Dễ d9ng chứng minh chia hết cho 4 bằng phản chứng)
Thay v9o (1) ta có: ( )2 2
21
2 8
4
ư Hay 2 ư chia hết cho 2 v9 có thương1 l9 số chính phương
B i 9.Cho d y số { } xác định như sau:
=
ư +
=
=
=
ư + 4 5 1976, 2,3,4, (1)
100 ,
20
1 1
2 1
Chứng minh rằng có ít nhất một số của d y chia hết cho 1996
Giải
Đặt =1996 + , , ∈ ,0≤ ≤1995, =1,2,3,
Do d y số { } l9 vô hạn v9 0≤ ≤1995,∀ nên tồn số hai số nguyên dương
1 thoả m n:
) 2 (
1 1
=
=
+ + +
+
Ta chứng minh ư1 = + ư1
Từ (1) ta có:
+ +
ư
=
+ +
ư
=
+ + +
ư +
+
ư
1976 4
5
1976 4
5
1 1
1 1
⇒
ư
=
1996 ư ư + + +1 ư + +1 ⋮
=
( 1 ư 1 )1996 (5,1996)=1 (3)
Ta lại có:
1
[1996 ư1 ư + ư1 + ư1 ư + ư1 ]⋮1996
( ư1 ư + ư1 )1996⇒ ư1 = + ư1
(do 0≤ ≤1995,∀ ⇒ư1995≤ ư1 ư + ư1 ≤1995)
Trang 9Một cách tương tự ta có:
) 4 ( 20
100
1 1
2 2
1 1
2 2
=
=
=
=
⇒
=
=
+
+
ư
ư +
ư
ư
ư
ư +
ư
ư
Ta chứng minh ⋮1996
Ta có: 5 =ư4 +1 + +2 +1976
ư
1996 ư 1 + 2 + ư 1 + 2 +
[1996 ư4 1 + 2 +1996]⋮1996
(5,1996) 1
B i 10 Cho d y số { } xác định như sau:
2
3 2
+ +
=
Tìm tất cả các số của d y chia hết cho 10
Giải
Xét d y số { } tuần ho9n với chu kỳ 10 bằng cách bình phương các số tự nhiên nhỏ hơn 10: 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1,
3 2
+
chữ số tận cùng bằng 0, hay tống các chữ số tận cùng của bốn số
( ) (2 ) (2 )2
2
3 , 2 , 1
Ta có: Tổng bốn chữ số tận cùng của bốn số trên l9 tổng bốn số liên tiếp của
d y số { } Ta dễ thấy trong d y số trên chỉ có hai tổng 4 số liên tiếp có chữ số tận cùng bằng 0 l9: 1+4+9+6=6+9+4+1=20, hay để ⋮10 thì n phải có chữ số tận cùng bằng 1 hoặc 6, hay có dạng:
,
1
=
Vậy với các vị trí =5 +1, ∈ thì ⋮10
Trang 10B i 11 Cho d y số { } xác định như sau:
( ) 7, 1,2,3,
=
a) Chứng minh rằng trong 5 số hạng liên tiếp của d y có đúng một số chia hết cho 5
b) Chứng minh rằng không có phần tử n9o của d y l9 lập phương của một số nguyên
Giải
a) Ta đi tìm các số hạng trong d y chia hết cho 5
Xét d y { } được xác định bởi số tận cùng của số 3( 2 + )+7, =1,2,3,
Ta có { } tuần h9on với chu kỳ 10 v9 10 số hạng đầu tiên của d y l9: 3, 5, 3, 7, 7,
3, 5, 7, 7, 7, 2, 9, 7
Ta có ⋮5 khi v9 chỉ khi có chữ số tận cùng l9 0 hoặc 5 Từ cách xác
định d y { } ta có: có chữ số tận cùng l9 0 hoặc 5 khi v9 chỉ khi có chữ số tận cùng l9 2 hoặc 7, hay các số với =5 +2, =0,1, chia hết cho 5 Từ dó
ta có, trong 5 số liên tiếp của d y { } không có 2 số chia hết cho 5
b) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử có số ∈ sao cho: 3( 2 + )+7= 3 (1)
Do 3( 2 + )=3 ( +1) l9 số chắn nên 3 l9 số lẻ ⇒ =2 +1 thay v9o (1)
ta có:
1 2 7
1 6 12
8 7 3
3 2 + + = 3 + 2 + +
⇔
) 2 ( 8 6 12
6 3
3 2 + + ư 2 ư = 3
⇔
3 3
3 3
3 2
2
27 8 6 3 12
9 6 3
⇔
3 2
2
9 8 6 12
3
+ +
⇔
6 12
3 9 8
⇔
dễ d9ng chứng minh được vế trái không chia hết cho 3 còn vế phải chia hết cho 3
Trang 11B i 12 Cho cấp số cộng: 1 , 2 , , ; ≠0,∀ =1,2, , Chứng minh rằng : a)
1 1
3 2 2
1
1 1
1
= +
+ +
=
ư
b) Đảo lại, cho d y số 1 , 2 , , , ; ≠0,∀ =1,2, v9 thoả m n đẳng thức:
3 ,
1 1
1 1
1 1
3 2 2 1
≥
∀
ư
= +
+
+
ư
Chứng minh rằng d y số trên l9 cấp số cộng
Giải
a) Gọi công sai l9 d
TH1 Xét =0
TH2 ≠0: Tính với chú ý = 2 ư 1 = 2 ư 3 = = ư ư1
b) Bước 1 Chứng minh 1 , 2 , 3 l9 cấp số cộng
Ta có:
3 1 3 1 3 2 2 1
2 1
3 1
1
=
ư
= +
3 2 1
2 3
2 1
1 3
2 1
= +
⇒
2 1
3 + =2
⇒
hay 1 , 2 , 3 l9 cấp số cộng Gọi l9 công sai của cấp số cộng đó
Bước 2 Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh d y số trên l9 cấp
số cộng với phần tử đầu tiên l9 1 v9 công sai
Với = 4 Ta có:
4 1 4 3 3 1 4
1 4 3 3 2 2 1
3 1 3 2 2
3 1
1 1
2 1
1
= +
⇒
= +
+
= +
4 3 1
3 4
3 1
1 4
3 1
2
= +
⇒
3 1
⇒
3 3
2 4 = 3 ư 1 = 1 + ư 1 = 1 +
⇒
3
1
⇒
Trang 12Giả sử ta có: 1 , 2 , 3 , , l9 cấp số cộng, ta cần chứng minh
1 3
2
1 , , , , + l9 cấp số cộng
Do 1 , 2 , 3 , , l9 cấp số cộng, nên theo a) ta có:
−
= +
+ +
−
= +
+ +
−
−
−
−
1 1
3 2 2 1
1 1 1 2 3
2 2 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
= +
−
⇒
−
−
1 1
1 1
1
1 1
1
1 2
−
−
−
−
−
= +
−
⇒
( −2) + 1 =( −1) −1
⇒
( −2) =( −1) 1 − 1 =( −1) ( 1 +( −2) )− 1
( −2) [ 1 +( −1) ]
=
( 1)
=
⇒
hay 1 , 2 , 3 , , l9 cấp số cộng
Vậy 1 , 2 , 3 , , , l9 cấp số cộng
B i 13 Cho 0 , 1 , 2 , , , l9 d y số thoả m n:
,
3 , 2 , 1 ,
, 2
1
+
Chứng minh rằng:
− +
−
≤
Giải
Từ cách xác định d y số ta có:
1 ,
2
1
+
hay ta có:
( 1)
2
2 2
1 2 0
Xét d y số 1 , 2 , đ−ợc xác định nh− sau:
( 1) , 1,2,3,4, (1) 2
−
Trang 13Ta có: 1 ≤ 2 ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤ + + + ⇒ 1 2 +1
≤ + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ⇒ +
2 1 1 2 1 2 1 2 1 ( + − ) + + + ≤ + + + + + + ⇒ 1 2 1 2 +1
+ + + ≤ + + + ⇒ 1 2 1 2
) 2 (
1 2 2 1 + + + ≤ + + + ⇒ Thay (1) v9o (2) ta có: ( ) [ ] [ ( ) ] [ ( ) ] ≤ − + − + + − + − + − + − 0 2 1 1 2 1 2 2 1 −1 2 1 1 ( ) [ 1 − 0 +2 1−1 ]+[ 2 − 1 +2.(2−1) ]+ +[ − −1 +2.( −1) ] ( 1) 0 ( 1) 0 − + − ≤ − + − ⇔ ( 1) 0 ( 1) 0 + − ≤ − + − − ⇔ ( − ) + ( − ) + ≤ ⇔ 0 ( − ) + − + ≤ ⇔ 1 0 B i 14 Cho d y số 1 , 2 , đ−ợc xác định nh− sau: = + = = + 1 , 1,2,
1 2 1 1 Chứng minh rằng: 3 3 +2< <3 7 −6, =2,3,
Trang 14Nhận xét d y số trên l9 tăng:
2
+
) 1 (
1= 1 > 2 > > >
⇒
Từ cách xác định d y số ta có:
2 1
1 +
=
+
) 2 ( 1 3 3
6 3
3 3
Từ (1) ta có:
2 ,
3
3 0
3
3 0
6
3
≥
∀
<
<
<
<
Do đó kết hợp với (2) ta có:
2 ,
7
3 + < + < + ∀ ≥
Từ (3) ta có:
+
<
<
+
+
<
<
+
+
<
<
+
+
<
−
7 3
7 3
7
3 1 3
3 1
3 3
3 4
3 3
3 2
3 3
3 2
3 1
2 2
3
2 + − < < + −
⇒
3 1 3
6 1
3 1
3
1 + + + + − < < −
⇒
3 3
3
6 7 2
3 6
7 2
3 + < < − ⇒ + < < −
⇒
Trang 15B i 15 Cho hai d y số { } v9 { }xác định như sau:
= +
=
+
=
=
=
ư
ư
ư
ư
ư
ư
,
3 , 2 ,
2
; 2
1995
; 1997
1 1
1 1 1
1
1 1
2
22 1
Giải
Từ cách xác định các d y số { } v9 { } ta có: >0, >0,∀ ≥1(1)
Ta chứng minh +1 ư +1 ≥0,∀ ≥1 Ta có:
2
2 2
2 1
+
ư
= +
ư
+
=
+
) 2 ( 1 ,
0 1
Từ (1) v9 (2) ta có:
2
+
ư
≤
2
2 1
+
ư
= +
ư
=
ư
hay ta có:
1 1997 1995
2
4 2
1 1
2 1 1 2 2 1
+
= +
ư
=
ư
≤
≤
ư
≤
ư +
+
Ta dễ d9ng chứng minh được bằng phương pháp quy nạp toán học bất đẳng thức:
1 ,
1 2
22
≥
∀
Từ đó kệt hợp với (3) ta có:
) 4 ( 1 ,
2
22
1
1ư + < ∀ ≥
+
Với = 0, ta có:
) 5 ( 2
2 2
0
2 1
1
0
=
=
ư
2 1
+
Trang 16B i 16 Cho d y số { } thoả m n:
) 1 ( , ,
1 ∀
≤
ư
ư + Chứng minh rằng: ư < 1+1,∀ , ∈
Giải
Phân tích b9i toán:
Cần chứng minh: ư < + , từ đó suy ra cần lmf xuất hiện , Khai thác giả thiết:
1 1
) 1
Đi chứng minh: ư( ư1)≤ ≤ +( ư1),∀ , ∈ * (2)
Chứng minh (2) bằng phương pháp quy nạp toán học theo
Giả sử (2) đúng với = , ta có: ư( ư1)≤ ≤ +( ư1) (3)
Ta cần chứng minh: ( +1) ư ≤( +1) ≤ ( +1) +
Kết hợp (3) ta có:
( ư1)+ ≤( +1) = + ≤ +( ư1)+ (4)
ư
Từ (1) ta có:
1 1 1
1 1
1 1
ư
=
ư
ư
ư
≤
ư
ư +
+
= +
ư +
≤
ư + +
+ +
+ +
Từ (4) v9 (5) ta có (2) đúng với = + 1, hay (2) đúng
Đỏi vai trò của v9 ta có:
, , 1
ư
ư
( ư1)≤ư ≤ư +( ư1),∀ , ∈ * (6)
ư
ư
⇔
Từ (2) v9 (6) ta có:
, , 1 1
1
ư
ư
, , 2
ư
+
ư
⇔
* ,
, 1 1
∈
∀ +
<
ư
⇔ +
<
ư
⇒
Trang 17B i 17 Cho d y số 0 , 1 , , +1 thoả m n các điều kiện sau:
=
≤ +
ư
=
=
+
ư
+
, , 2 , 1 , 1 2
0
1 1
1 0
1 , , 1 , 0 , 2
1
+
=
ư +
≤
Giải
Ta cần chứng minh:
) 2 ( 2
1
) 1 ( 2
1
+
=
ư +
≤
ư +
ư
≥
Ta chứng minh (2)
Xét d y số { } được xác định:
1 , , 1 , 0 , 2
1
+
=
ư +
ư
=
Ta cần chứng minh ≤0, =0,1, , +1 Thật vây, do d y { } l9 hữu hạn nên tồn tại số ≥ l9 số nhỏ nhất sao cho0 =max{ , =0,1, , +1}
Nếu = 0, ta có 0 = nên (2) đúng.0
Nếu > , ta có:0
1 1
1
1
+
≥
>
Hay ta có:
2
1 1 1
1 1 1
2
1 2
ư +
>
ư +
1
2 > 1 + 1 +
) 3 ( 1
Từ giả thiết ta có:
) 4 ( 1 2
Từ (3) v9 (4) suy ra điều vô lý, hay = 0
Vậy (2) đúng
Chứng minh một cách tương tự ta có (1) (thay giá trị lớn nhất bởi giá trị nhỏ nhất)
Trang 18B i 18 Cho 1 < 2 < < l9 d y các số tự nhiên đơn điệu tăng.
Chứng minh rằng:
2 1
3
2 3 2
1
3
1 2
1 1
+
ư +
Giải
Từ giả thiết ta có:
1 ∈
) 1 (
1
1 1
1
1 1
hạng số
ư
ư
ư
ư
⇒
Do
<
∈
+ 1 nên ta có:
) 2 (
1
2
1 1
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
+ + +
+ +
≤ + + +
⇒
≤
+
≤
+
≤
ư
ư
ư
ư
ư
ư số hạng
Từ (1) v9 (2) ta có:
,
3 , 2 ,
1
2
1 1
1
1 1
+
+ +
≤
ư
ư
ư
ư
) 3 (
1
1
2
1 1
1
2 1
1 2
+
+ +
≤
ư
⇒∑
=
ư
Nếu ≤ 2, từ (3) ta có:
2 2
1 1
2
1
2
1 1
1
1
2
1 1
1
+ + + + +
<
+ + + + +
+ +
≤
ư
∑
=
ư
Nếu > 2, tương tự ta có:
1 1
1 2
1 1
2
1
1
1
1
2
1 1
ư
=
+ +
ư +
ư + + + + +
+ +
≤
ư
∑
) 4 (
1
3
1 2
2
ư
+ +
ư +
+ + +
<
Trang 19Ta cã:
) 5 ( 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
1
<
−
<
− +
+
−
⇒
<
=
<
−
<
=
<
−
<
=
<
−
−
−
−
+ +
+ +
+
−
Tõ (4) v9 (5) ta cã:
2 2
1
2
1
<
−
∑
=
−