Chuyen de the tich khoi da dien va khoi tron

X¸c ®Þnh c¸c kÝch th­íc cña khèi trô ®Ó thÓ tÝch cña khèi trô nµy lín nhÊt.. TÝnh thÓ tÝch cña khèi nãn..[r]

http://violet.vn/kinhhoa 1

Phần 1 Thể tích khối đa diện

A Lý thuyết

1 Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện ( Xem sgk 12)

2 Các công thức tính thể tích của khối đa diện

Sđáy h , h: Chiều cao của khối chóp

c) Thể tích của khối lăng trụ

V= Sđáy h , h: Chiều cao của khối lăng trụ

B bài tập

VẤN ĐỀ 1 TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:

SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam gi¸c vu«ng SOA cã:

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3

2a2

3)2 = 2

2 2

VËy VSABC = S∆ABC SO = 31 .

4 3

Gäi A’ lµ trung ®iÓm BC

DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α

Tam gi¸c vu«ng SOA cã:

SO2 = l2 - OA2 = l2 - 9

4AA’2Tam gi¸c vu«ng SOA’ cã:

a

 AA’2(sin2 α + 4) =9l2 

4 sin

3 4

sin

3 2

1 2

1

2 2 2

2 .

l

BC AA

4 sin

sin 4

sin

3 3

2 2

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A,

AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC tính VA’ABC theo a?

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 41 (a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3

2a

C'A'

⇒VA’ABC = 31 S∆ABC A’H = 31 21 2 2

23 3

Bài 3 Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có

AB = BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC

a

a

B' C'

B

b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SB

B’S = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA

http://violet.vn/kinhhoa 4

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)

AC’ ⊥ SC C¸ch 1

2

2 2

.a a  a

Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC,

AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ = BD SB (2)

http://violet.vn/kinhhoa 5

Từ (1) (2) ⇒ cos  sin  sin 

2

2 a AB BD

2

a AB

2 2

sin cos

sin sin

cos

cos cos

SA = AB tan α = 2  2

sin cos

sin 3 1

sin cos

cos sin



a

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và

ở cùng một phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm

N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích của hình chóp BAMNC

*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định

đựơc vị trí chân đường cao trên đáy

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α Tính VSABC

-Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

-Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC -Ta có: ∆ABC = 12 AB AC sin  mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) =

a2 ⇒ AB = a 1cos2  ⇒ S∆ABC = 21 2 sin 21 22 1sincos 42 cos2

cot cos

2 2 4 3

1 3

3 2

.cot

http://violet.vn/kinhhoa 7

C

O D

2 3 2 2

1 x  x  ⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC

vu«ng c©n t¹i S ⇒ SO = 21 AC  1 ⇒ VSABCD = 31 3 .1 33

Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o

a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng

S

C a

60 ⇒ AB = a Tam gi¸c vu«ng SBC cã BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

- ∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 21 ) =3a2

- ∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vu«ng t¹i B

b) H¹ SH ⊥ (ABC)

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o

∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 Tính thể tích khối chóp

SABCD

Đáp số: VSABCD = 46 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, BC

= 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

Giải

2a

3a

CD

HK

-Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

-Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H

là tâm đường tròn nội tiếp đáy

-Gọi K là hình chiếu của H lên AD Ta có HK = AD2  a

-Tam giác vuông SHK có HK = a

http://violet.vn/kinhhoa 9

2 3

2 5

Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,

SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N - Trung ®iÓm AB, BC TÝnh VSBMDN

∆SAB h¹ SH  AB (SAB)  (ABCD) ⇒SH  (ABCD) ⇒ SH  (BMDN)

S∆CDN = S∆MDA = 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 2

1

S⋄ABCD = 2

12a.2a = 2a2

∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S

4 3

1 1 1

1

1

a a

a SB SA

2 2

1

SD SH

hay

2 2

2

225

1 64

1

1

a a

S

H

15a 8a

C B

http://violet.vn/kinhhoa 10

a a

∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ 21 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = a

3 17

S∆BCD = 21 2 21 2893 2 23 289123

2

.

ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD

⇒AB  (SKH) ⇒ AB  SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S

DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α ∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α

∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα

⇒VSABCD = 3SH1 .S ABCD  32 a3 sin2α

Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA(ABC) ACB =60o,

BC = a, SA = a 3, M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC

B a M

http://violet.vn/kinhhoa 11

S∆ABC = tan 60 21 2 3

2 1 2



 SM SB V

⇒Vmabc = 41 a3

Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD),

AB = a, SA = a 2 H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh rằng SC  (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK

Gọi F = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE b (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 2

1

CN Tam giác vuông SAD có 2 2 2

1 1 1

AD AS

3

2

2 2

a

a a AD AS AD

2

HK = 32 BD = 32a 2

A

C O

H

a

N F E

⇒OE=

2

1SN=

2 ( a a

3

2,3

2,0( a a

2

, 2 (a a

AO 

[AH , AK] =(

9

4 , 9

2 2 , 9

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2,

SA = a, SA (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AD và SC I = BM ∩ AC

2 6

2 2 3

1.a.a2  a3

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)

(ABCD) ∆SAD đều M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD tính thể tích

hình chóp CMNP

a K

O C

D

a N

I

B

http://violet.vn/kinhhoa 13

Giải

- Gọi E là trung điểm AD

(CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD (SAD)  (ABCD)⇒SE  (ABCD)

-Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB và F là

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối

xứng với A’ qua O’, H là hình

P

B M

F E

S

y

x z

B

A A' O'

O H D

http://violet.vn/kinhhoa 14

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA 

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 (BCM) ∩ SD



⇒SBCMN=

3 3

10 ).

(

2

BM BC

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o;

AB = BC = a; AD = 20; SA  (ABCD); SA = 2a M, N lần lượt là trung điểm SA

,MN//AD , MN= AD

2

1 ⇒BC

N M

H

S H

http://violet.vn/kinhhoa 15

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a;

AA1 = a 2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà

∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung

điểm AB

S∆ABC=

x x x

AB

CC' 4 x 41 4 2

4 2

1 1

4 cos sin 4 sin

x x

C x

x x C C

4 3 2 4

1 3 1 3

S∆ABM = 21 MC’.AB =

2 4

2 2 2

http://violet.vn/kinhhoa 16

VABCD = x 3 x2 121 3 x2 x

4 3

b) SACD=

4

3 ⇒d(B,(ACD))=

1 3  x2x2 

x x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = 23 và thể tích lớn nhất là

8 1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

2 2

x a

2 2

2 2

x a

a h

AH SA

2

4 2

2 2

x a

ax x

a

a a

AH AB

x a

x a



VSABH=

2 2

3

6

1 3

1

x a

xh a SA

6

1





Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với

đáy ABC và SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB.Đặt góc ACM bằng 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

2 sin

2 3

S

M D

B

H

http://violet.vn/kinhhoa 17

Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành

các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a,

Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tiết diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện

S∆SEC.(AE+BE) = 31S∆SEC.AB

Tính S∆SEC = ? ∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC ⇒FBC = 3



Tam giác vuông EBC có CE = 2 tan

Tam giác vuông FBC có BC = CE 2 EB2  (cosEB  cosa2)  2cosa

C A

Q

R B

http://violet.vn/kinhhoa 18

Sin 2 = BC FC ⇒ FC = BC sin2 = 2cos sin2



a

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2 - FC2 = 4 tan2 4cossin 4 cos12 (sin2 sin2 2

2 2

2 2 2 2

2 cos

2 2 sin sin sin

2 cos

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC =4, BD = 2, A cắt

BD tại O SO (ABCD), SA = 2 2 Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại

2 8 2

1.

 SN SD SC

SM V

⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2

Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA,

tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0;

D A

S

M N

O S

A

N M

B z

x y

VSABM = 61 [SA, SM ].SB = 232 VSAMN = 61 [SA, SM ].SN = 32

VSABMN = VSABM + VSAMN = 2

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c

a)Tính thể tích A’C’BD b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD

1 2

1 3

1 '.

1V=

3

1abc Cách 2: dùng phương pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

2

c

)

) 0

BM ,BA'  ( a; 0 ;c); [BD, BM]= ; )

2

; 2 (bc ac ab

3 6

M

http://violet.vn/kinhhoa 20

Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’

Giải

Gọi O là tâm ABC⇒ OA=OB=OC

A’A= A’B= A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC) (AA’,(ABC)) = (AO,

AA’) = 600, A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vuông A’OA có OA’=OA

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2=

AC’2- AC2= 9b2- b2=8b2

⇒CC’ = 2 2b =AA’ S∆ABC = 2

1CA.CBsin6oo = 32

A'

O a

C

C' A'

A

B

B'

b b'

' '

SC SB SA V

V

C B SA

-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM

⇒ I ∈ (P)

C A

B B' C' A'

2 3

2 2

1 2

1 '

SD CSB

SB SC

2 3 2 ' '

13

29

49

2

' '

' ' '

'

2 1 ' '

MD SAB SABCD

MD SAB D

SAB D

SMB

V

V V

V V

V V

V

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA b (ABCD) (SC, (SAB)) = α

Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số

SN V

1

SC SB

SA SB

SA SC

)2sin1(

Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB

 (SDC) chia chóp làm hai phàn Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’ tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương

D

A

B Q M

C'

B' D'

A'

P

E

C

Giải

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF

// NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS,

V2 = VMNEFAB V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

9

2 3

2 3

1  

 

 SM SA

SA

SE SE

S S

S S

S

V

V

ABC CEA CEA FEA ABC

4 3

1 

  SN SB  92

SA

SM V

V

SABE SMNE

3 1

S S

S S

S V

V

ABC CEA CEA ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE = 272 V ⇒ V1 = 92 V + 274 V + 272 V = 94 V V V21  54

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra

Giải

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết

diện là ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần

trên và phần dưới của thiết diện, ta có

V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V2 = VNFA’E

A'C

A

BE

M

N A'

I

http://violet.vn/kinhhoa 25

* VẤN ĐỀ 3 : Phương pháp thể tích

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC

khoảng cách dựa vào thể tích

Bài 1: SABC có SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o

2

a a

2

3 3 3

3

S

C

M

a 3 2a

http://violet.vn/kinhhoa 26

d(A, (SBC)) = 5

3

3 3

2 2 3 5

3 2 3





a S

B

D

4

5 3

M 5

DÔ thÊy ∆ABC vu«ng t¹i A S∆ABC = 21 AB.AC = 6 VDABC = 3

S∆AMN =

2 2 2 4 2

http://violet.vn/kinhhoa 27

VABCD = 2 VBCMA = 2.31CM.S∆ABM = 2 2 2

12 2 2 2 4 2 3

2 4

2 2 2 4

4

4 4

.

4 3

b c a b c b

c

a b c S

V

ab

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1

a)tính thể tích tứ diện ABCD theo x

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và

BAC = 120o Gọi m là trung điểm của cạnh CC1

Chứng minh rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng

(A1BM)

Giải

Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như

hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hướngtheo

A

A1

Trục A1y hướng theo A1C1 Trục A1x

tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP

2a

y x

http://violet.vn/kinhhoa 28

15 2

15 2

2 5 9 2

3 6

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua

M // với OA, OB OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1

Chứng minh rằng: MA OA1  MB OB1  MC OC1  1

Giải

Nối M với các đỉnh O,A,B,C Khi đó

VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1= MOAB OABC MOBC OABC V MOCA OABC

V V

V V

OABC

Vậy MA OA1  MB OB1  MC OC1  1

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD Các đường thẳng MA,

MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1

1 1 1

1 1

1 1

1  MB BB  CC MC  MD DD 

AA MA

Giải

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:

V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

V V

V V

MK V

http://violet.vn/kinhhoa 29

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các

điểm A1, B1, C1 sao cho 3

1 1 1 1

SC SD

SD SA

SA

VSADC

V SA D C

1 1

1 1

V SA B C D

1 2

SD SB

SB SA

SA VSABD

V SA B D

1 1

1 1 1

1

SD SD

SD SC

SC SB

SB VSBCD

V SB C D

1 1

1 1 1

V SA B C D

1 2

1   ⇒ SD SD1  52

S

C D

C 1

D 1

A 1

B 1

a)Thể tích khối cầu V = 34 R3, R: bán kính mặt cầu

b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31 Sđáy.h , h: chiều cao

O'

A 1

A 1 ' B'

3 3

3

http://violet.vn/kinhhoa 31

V= (4 2 3 2) 2 1813.(4 2 3 2) 2

3 3 8

1 3 4 3 3

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b

(ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD))

= SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA

⇒ SI = SM SO SA

Với AO = a22 , AS = 2 32

2 3

2 30

cos

a a

* VẤN ĐỀ 2

Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối

lăng trụ, kết hợp tớnh thể tích khối cầu

Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o Tính thể tích khối

thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o Tính thể tích khối trụ

A' B'

B

A

D C

a O

S

M

B A

I

http://violet.vn/kinhhoa 32

Giải

Gọi I, J là trung điểm của AB và CD Ta

có: OI AB;IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M

8

2 2

3a3 . a  a3

Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S=6 Xác định các kích thước của

khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất

Giải

STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2 = 3

V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇔R = 1 và h = 2

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung α và

(P) tạo với đáy một góc β Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a

a

và OE=

 sin

a

Bán kính đáy

R=OA=

2 cos sin 2

a OE

3 3

M