Tai lieu on thi cap toc GIAI PHUONG TRINH BAT PHUONG TRINH MU VA LOGARIT cua chihao

CAÙC PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:1. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.[r]

Chuyên đề 5: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT

CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

• n

n thừa số

• a 1 =a a∀

• a 0 =1 a 0∀ ≠

• a n 1 n

a

− = (n Z ,n 1,a R / 0 )∈ + ≥ ∈ { }

•

m

n m n

a = a ( a 0;m,n N> ∈ )

•

m n

n

a

a a

−

2 Các tính chất :

• a a m n =a m n+

• a m n a m n

a

−

=

• (a ) m n =(a ) n m=a m.n

• (a.b) n =a b n n

• ( ) a n a n n

3 Hàm số mũ: Dạng : y a= x ( a > 0 , a ≠ 1 )

• Tập xác định : D R=

• Tập giá trị : T R= + ( a x >0 ∀ ∈x R )

• Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a= x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a= x nghịch biến trên R

• Đồ thị hàm số mũ :

Minh họa:

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0

log N M a = ⇔dn a M =N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

≠

>

0 1 0

N a

a

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ 2 1

x

1

O O

2 Các tính chất :

• log 1 0 a =

• log a 1 a =

• log a a M =M

• a log N a =N

• log (N N ) log N a 1 2 = a 1+log N a 2

2

N

• log N a α = α.log N a Đặc biệt : log N a 2 =2.log N a

3 Công thức đổi cơ số :

• log N log b.log N a = a b

a

log N log N

log b

=

* Hệ quả:

b

1 log b

log a

a

1

k

=

4 Hàm số logarít: Dạng y log x= a ( a > 0 , a ≠ 1 )

• Tập xác định : D R= +

• Tập giá trị =T R

• Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x= a đồng biến trên R+

* 0 < a < 1 : y log x= a nghịch biến trên R+

• Đồ thị của hàm số lôgarít:

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x O

Minh họa:

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : aM = aN ⇔ M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=log2x

x y

x

y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x y

2 1

log

=

1

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M = a N (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 9 x 1+ =27 2x 1+ 2) 2x 3x 22− + =4

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3 2x 8+ −4.3 x 5+ +27 0= 2) 6.9 x−13.6 x+6.4 x =0 3) ( 2− 3 ) x+( 2+ 3 ) x =4

4) 2x2−x −22 +x−x2 =3 5) 3.8x +4.12x−18x −2.27x =0 6) 2.22x −9.14x+7.72x =0

Bài tập rèn luyện:

1) (2+ 3)x+(2− 3)x =4 (x±1)

2) 8x +18x =2.27x (x=0)

3) 125x+50x =23x+1 (x=0)

4) 25x+10x =22x+1 (x=0)

( 3+ 8 ) +( 3− 8 ) =6 (x=±2) 6) 27x+12x =2.8x (x=0)

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 2x2+x−4.2x2−x−22x+4=0

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log N a = a (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2 1

2

1 log log (x x 1)

x = − − 2) log x(x 1) 12[ − ]=

3) log x log (x 1) 12 + 2 − =

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

log 2x log x+ = 2) log log 1 5 0

2 3 2

3 x+ x+ − =

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2.log x 2 log x.log x 2 + 7 = + 2 7

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , , ≤ > ≥ )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

3 6x 4x 11

2 6x 8

1) 2 1 1

2

−

− −

+ +

>

⎛ ⎞ >

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 92x 1x 2.3 3xx

2) 5 + 5 4

< +

> +

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na < a ( , , ≤ > ≥ )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 2

log (x + − >x 2) log (x 3)+

0,5 0,5

log (4x 11) log (x+ < +6x 8)+

3

log (x −6x 5) 2 log (2 x) 0+ + − ≥

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

2

2 2

log x log x 2 0+ − ≤

VII HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình

1)

3 log (9x ) log y 3

⎪

⎨

⎪⎩ 6) ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

− +

−

−

4 ) ( log ) ( log

) 3

1 ( ) 3 (

2 2

2

y x y

x

y x y x

2)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

=

−

− 25

1

1 log ) ( log

2 2

4 4

1

y x

y x

y

7) y

3

3 4 x ( x 1 1)3

x

y log x 1

⎪

⎨

⎩

3)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

−

=

+

y

y y

x

x x

x

2 2

2 4

4 5 2

1

2 3

8)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= +

=

−

2 ) ( log

1152 2

3

5 x y

y x

4)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= +

= 3

64 4

2

y x

y x

9) x 4 y 3 0

log x4 log y 02

⎧

⎨

⎩

5)

⎩

⎨

⎧

= +

= +

4 log log

2

5 ) (

log

2 4

2 2 2

y x

y x

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

log x− +1 log x+ −1 log 7−x =1 (1)

Bài giải:

Điều kiện:

⎪ − > ⎪ >

⎪ + > ⇔⎪ > − ⇔ < <

⎪ − > ⎪ <

Khi đó:

2 2

2 2

2

1

2 1

2

⎡ =

⎢

⇔ ⎢ = −⎢⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x= 3

3

Bài giải:

Điều kiện:

⎪ − > ⇔⎪ < ⇔

⎪ + > ⎪ > −

Khi đó:

2 2

⎢

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x= ∨ = −2 x 1 33

1

2

log x+2 − +3 log x−5 −log 8=2 (1)

Bài giải:

⎧ + > ⎧ > −

⎩ Khi đó:

2

2

2

>

⎧⎪

⎡ >

⎢

⎢

⇔⎢⎧− < < ⇔ ⎢⎧− < < ⇔ ⎧− < <

⎢⎨

x

2

⎡

⎢

⎪

⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎩⎣

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

x

2

⎡ =

⎢

⎢ =

⎢

⎣

2

log x− +2 log x+ +5 log 8= (1) 0

Bài giải:

Điều kiện: x 2 0 x 2

⎩ Khi đó:

2 2

2

⎡ = − ∨ =

⎡

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là

x

2

⎡ = − ∨ =

⎢

⎢ =

⎢

⎣

Bài 5: Giải phương trình: 4( ) 2

2x 1

log + 4 2

Bài giải:

Điều kiện:

1

⎧ >

⎪

⎪ + > ⎪ > −

Khi đó:

2

x 2

⎡ = −

⎢

⎢

⎢ =

⎢⎣

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x 5

2

=

Bài 6: Giải phương trình: 4log 2x 2 −xlog 6 2 =2.3log 4x 2 2 (1)

Bài giải:

Điều kiện: x> 0

Khi đó: 4log 2x 2 −xlog 6 2 =2.3log 4x 2 2 ⇔ 41 log x + 2 −xlog 6 2 =2.32 1 log x(+ 2 )

2

t=log x⇒ =x 2 , phương trình (2) trở thành:

( )log 6 2 2 1 t( ) ( 2 )t

2

t t t

2

t t

4.4 6 18.9 4 18

18 4 0

+

⎡ ⎤

⎛ ⎞⎟ ⎢⎛ ⎞⎟⎥

⇔ − = ⇔ −⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ = ⎣⎜⎜⎢⎝ ⎠⎟⎟⎥⎦

⎡⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞

⎢⎜ ⎥ ⎜

⇔ ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ +⎜⎜ ⎟⎟ − =

⎣ ⎦

t

t

(loai)

⎡⎛ ⎞⎟

⎢⎜⎜ ⎟⎜⎢⎝ ⎠⎟ =

⎢

⎢⎛ ⎞

⎢ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎢⎝ ⎠⎟ = −

⎣ Với t= − ta được nghiệm của phương trình (1) là : 2 x 1

4

=

Bài 7: Giải phương trình: ( 3 ) 9x

3

4

1 log x

Bài giải:

Điều kiện:

3

1

9

>

⎧⎪

Khi đó:

( )

( )

Đặt t=log x (t3 ≠ −2; t≠ , phương trình (2) trở thành: 1)

⎡ = −

• Với t= − ta được pt : 1 log x3 1 x 1

3

= − ⇔ =

• Với t= ta được pt : 4 log x3 = ⇔ =4 x 81

So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là x 1; x 81

3

Bài 8: Giải phương trình: ( x ) ( x+1 )

log 3 - 1 log 3 - 3 = 6 (1)

Bài giải:

Điều kiện: 3x − > ⇔1 0 3x > ⇔ >1 x 0

Khi đó: ( ) ⇔ ( x ) ⎡⎣ + ( x − )⎤⎦ =

Đặt: = ( x − )

3

t log 3 1 , pt trở thành: ( + )= ⇔ + − = ⇔ ⎢⎡ == −

⎢⎣

• Với = −t 3: ( x − )= − ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ =

• Với t=2 : ( x − ) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ =

Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện

Vậy pt(1) có hai nghiệm là x = log3 28; x =log 103

27

Bài 9: Giải phương trình: logx 7x log x7 =1 (1)

Bài giải:

Điều kiện: ⎧⎪ >

⎨ ≠

⎪⎩

7

Đặt t=log x , pt trở thành: 7

>

⎩

2 2

• Với =t 1 : log x7 = ⇔1 x =7 (thỏa điều kiện)

Vậy pt(1) có nghiệm là x =7

Bài 10: Giải phương trình: − ( 2 + − )+ + ( − )2 =

2x 1 x 1

Bài giải:

Điều kiện:

⎧ < − ∨ >

⎪

>

≠

⎪⎩

2

1

2

1 x

x 2

x 1 1

Khi đó:

−

−

+

2x 1

2x 1

1

Đặt t=log2x 1− (x 1 , pt trở thành: + ) ⎡ =

⎢⎣

2

t 2 t

• Với t 1: = log2x 1− (x 1+ )= ⇔ + =1 x 1 2x 1− ⇔ x =2 (thỏa điều kiện)

=

⎡

⎢

⎢⎣

2 2 2x 1

x 0 (loai)

x 4 Vậy pt(1) có tập nghiệm là S={ }2;5

4

Bài 11: Giải bất phương trình: 2 − + ≥

1 2

Bài giải:

Điều kiện: − + ⎡ < <

> ⇔ ⎢ >

⎢⎣

0

x Khi đó:

<

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

2

2

2

x

x

x

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là ⎡ − ≤ <

⎢

⎢ < ≤ +

⎣

Bài 12: Giải bất phương trình: ⎛ + ⎞<

2 0,7 6

x 4 (1)

Bài giải:

Điều kiện:

− < < −

6

Khi đó:

− < < −

⎡

⎢⎣

0,7 6 0,7 6

2

x 4

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là ⎡− < < −

⎢ >

⎢⎣

Bài 13: Giải bất phương trình: 3( − )+ 1( + )≤

3

2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1)

Bài giải:

Điều kiện:

⎧ >

− >

⎩

3 x

x

x 2 Khi đó:

⇔ − ≤ ≤

2

2

2 2

3

8

So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 3 < ≤x 3

4

Bài 14: Giải bất phương trình:

−

− − ⎛ ⎞⎜ ⎟ ≤

⎝ ⎠

2

x 2x 1

Bài giải:

Ta có:

−

− − ⎛ ⎞⎜ ⎟ ≤ ⇔ − − − − ≤

⎝ ⎠

2

x 2x 1 x 2x x 2x

3 Đặt t=3x 2 − 2x (t> 0) , bpt trở thành: t2 −2t 3− ≤ ⇔ − ≤ ≤0 1 t 3

Do t>0 nên ta chỉ nhận 0< ≤t 3

Với 0 < ≤t 3 : 0<3x 2 − 2x ≤ ⇔3 x2 −2x ≤ ⇔1 x2 −2x 1− ≤ ⇔ −0 1 2 ≤ ≤ +x 1 2 Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S= ⎡⎣1− 2;1+ 2 ⎤⎦

Bài 15: Giải bất phương trình: ( x + )− < + ( x 2 − + )

log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 (1)

Bài giải:

Ta có:

( )

−

−

−

⇔ < < ⇔ < <

x x x

Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S=(2; 4 )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải bất phương trình:

+

1 2 3

2x 3

x 1

Bài 2: Giải phương trình:

x 3

Bài 3: Giải phương trình:

( + )+ 1( − )=

2

2

2 log 2x 2 log 9x 1 1

Bài 4: Giải bất phương trình:

+ − + − ≤

2x 1 2x 1 x

Bài 5: Giải bất phương trình:

− − − − − − ≤

2x 4x 2 2x x 1

-Heát -