sáng kiến kinh nghiệm toán học THPT (96)

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến : Khai thác một số bài toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 12 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 22 tháng 10 năm 2017 đến ngày 28 tháng 4 năm 2018.

Nơi công tác: Trường THPT …

2 … Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán Chức vụ: …

Nơi công tác: Trường THPT …

Nam Định, tháng 5 năm 2018

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến :

Khai thác một số bài toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 12

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 22 tháng 10 năm 2017 đến ngày 28 tháng 4 năm 2018

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phươngpháp dạy và học là một trong những nhiệm vụ hàng đầu Hơn nữa, năm học này là năm học thứhai đổi mới hình thức và phương án thi đối với môn Toán, từ hình thức thi tự luận chuyển sanghình thức thi trắc nghiệm

Tuy nhiên không có nghĩa là trong các kì thi THPT Quốc gia và học sinh giỏi các cấp, bàitoán bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biếnkhông xuất hiện Hơn nữa, bài toán đó còn phức tạp hơn dưới dạng trắc nghiệm và ở mức vậndụng cao, đòi hỏi cần hiểu rõ được bản chất và các phương pháp chứng minh hoặc tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất Băn khoăn trước những khó khăn của học sinh, chúng tôi đã tìm tòi và quyếtđịnh lựa chọn vấn đề : “ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁTRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAM NHIỀU BIẾN ” để giúp các em tiếp cậnloại toán này một cách hiệu quả nhất

Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt sau một thời gian nghiên cứu và giảng dạy cho các emhọc sinh khá, giỏi ôn thi THPT Quốc gia ,và một số em học sinh thi HSG tôi nhận thấy nếu họcsinh được cung cấp những kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; đồng thời biết đượcmột số ứng dụng cơ bản thì sẽ có thể vận dụng để giải quyết các bài tập lớn

II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n

a) Cho ,a b≥0 Khi đó ta có a b+ ≥2 ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là

b) Cho , ,a b c≥0 Khi đó ta có a b c+ + ≥33abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c= = Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản khác khá phổ biến như sau:

• a2 +b2 +c2 ≥ab bc ca+ +

n n

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho f x x( , , , )1 2 x là một biểu thức n biến số thực xác định trên miền D n

Xét bài toán tìm GTLN của biểu thức P x y( ); với giả thiết x, y thỏa mãn tính chất A Để giải bài toán dạng này thông thường ta làm theo 3 bước như sau:

Bước 1: Xác định ẩn phụ t và đánh giá biểu thức P theo hết ẩn phụ t Giả sử: P f t≤ ( )

Bước 2: Chặn điều kiên của ẩn t, giả sử t∈[ ]a b; .

Bước 3: Xét hàm số f t( ) trên đoạn [ ]a b; Từ đó suy ra GTLN của f t( ) Kết thúc bài toán.

Xử lí tình huống trong bước 1:

- Trong các bài toán hai biến đối xứng việc chọn ẩn phụ thông thường cũng có tính đối xứng Tathường đặt ẩn t là một trong các biểu thức sau: x y xy x+ ; ; 2+y2; Tuy nhiên chọn ẩn phụ là biểuthức nào còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: giả thiết của bài toán, biểu thức cần đánh giá

( );

P x y , mối liên hệ giữa giả thiết và P x y( ); , chiều đánh giá của P x y( ); , …

- Để đánh giá P f t≤ ( ) ta phải quan sát kỹ giả thiết rồi sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nhưCauchy, Bunhiacopxki và một số bất đẳng thức phụ Tuy nhiên việc đánh giá P f t≤ ( ) phải chú ý tớiđiểm rơi của bài toán

- Thông thường chỉ một phần của biểu thức P được đánh giá dựa trên các bất đẳng thức phụ.Phần còn lại để quy về biến t ta phải sử dụng phép thế giả thiết Nếu các bài toán có giả thiết làđẳng thức thì phép này thường đơn giản, còn các bài toán có giả thiết là bất đẳng thức thì phépthế này khó khăn hơn nhiều Tùy từng bài toán cụ thể ta có cách xử lí sao cho phù hợp nhất

Xử lí tình huống trong bước 2:

- Trong nhiều bài toán khi đánh giá P≤ f t( ) thì khá đơn giản nhưng đến bước chặn biến t lại rấtkhó Do đó cách chọn ẩn phụ t ở bước 1 phải dựa trên bước xác định điều kiện của t có dễ thựchiện hay không Thông thường cách đặt ẩn phụ theo tổng x, y nếu khó xác định điều kiện của ẩnphụ thì cách đặt ẩn phụ theo tích của x, y lại dễ dàng xác định được điều kiện của ẩn phụ Nênkhi thực hành ta phải linh hoạt thay đổi cách chọn ẩn phụ sao cho phù hợp với từng bài toán

- Nếu giả thiết bài toán cho x y a b, ∈[ ]; ta phải chú ý tới các kết quả (x a y a− ) ( − ≥) 0 và

(x b y b− ) ( − ≥) 0 để chặn điều kiện của t.

- Đa số các bài toán việc xác định điều kiện của ẩn phụ được thực hiện theo quy trình:

Đánh giá giả thiết A x y( ; )bởi hai biểu thức theo ẩn phụ t như sau: g t( )≤A x y( ; )≤h t( )

( ) ( )

g t h t

⇒ ≤ Giải bất phương trình này ta thu được điều kiện của ẩn phụ t.

2 Một số bài toán điển về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

2.1 Bất đẳng thức đối xứng hai biến

Phương pháp giải

 Dồn biến t =xy hoặc t= +x y;

 Tìm điều kiện của biến t

 Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN.

Chú ý: Đối với các bài toán về bất đẳng thức đối xứng hai biến chúng ta cần chú ý đến các đánhgiá thường sử dụng như sau:

1) x2+ y2 ≥2xy; đúng ∀x y; Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi x= y;

x y+ ≥ xy; đúng ∀x y; Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi x= y.

Bài 1. Cho các số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+ y2) = xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của biểu thức

P xy

+

=

+ .

Phân tích tìm lời giải

 Đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều có thể quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến

bằng nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t = xy hoặc t= +x y

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức Do đó khi tìm điều kiện của ẩn phụ ta cần chặn điều kiện cả hai phía Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

7'

14

Phân tích tìm lời giải

 Tương tự bài toán trên, đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t = xy hoặc t= +x y ;

Kết luận MaxP=26⇔ = ⇔ = =t 2 x y 1;MinP = − ⇔ = − ⇔ = = −28 t 4 x y 2.

Bài 3. Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2

1

x + y +xy = Tìm giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x y xy2 − 2

Phân tích tìm lời giải

 Đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều có thể quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến

bằng nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t =xy hoặc t = +x y ;

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức Do đó khi tìm điều kiện của ẩn phụ ta cần chặn điều kiện cả hai phía Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

Kết luận MaxS= ⇔ = −2 x 1,y =1;MinS = − ⇔ =2 x 1,y= −1.

Bài 4. Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 3 3 x3 y3 222

162

P x y

+ + .

Phân tích tìm lời giải

 Ta thấy bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng

nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t= xy hoặc t = +x y Tuy nhiên theo quan sát chúng ta thấy giả thiết bài toán khá “đồ sộ” Một cách suy nghĩ khá tự nhiên là chúng ta sẽ quy đồng mẫu số để đưa về biểu thức đơn giản hơn Ta có :

Bây giờ cần đánh giá 4 4

x + y theo xy nữa ta sẽ có kết quả Chú ý đến đánh giá quen

2

x + y ≥ xy là có thể xác định được ẩn phụ t =xy ;

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Do đó khi đánh giá P ta chú ý phải đánh

giá theo chiều " "≤ Do đó biểu thức x2+ y2 cần đánh giá theo chiều " "≥ Điều này là dễ dàng theo AM -GM : x2+ y2 ≥2xy Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

Phân tích tìm lời giải

 Quan sát thấy rằng đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi

hai biến bằng nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t = xy hoặc

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Do đó khi đánh giá P ta chú ý phải

đánh giá theo chiều " "≥

 Quan sát trong P có xuất hiện các số hạng bậc ba, ta cần lưu ý đến đánh giá

4 a +b ≥ a b+ , thật vậy theo Cauchy - Schwarzt

2 2

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt ta chứng minh được ( 3 3) ( )3

Phân tích tìm lời giải

 Đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng

nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t = xy hoặc t = +x y ;

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức Do đó khi tìm điều kiện

của ẩn phụ ta cần chặn điều kiện cả hai phía

33

333

x y

xy

x y

Phân tích tìm lời giải

 Đây là bài toán về bất đẳng thức hai biến; đối xứng Cả giả thiết và kết luận của bài toán đều quy về được tổng x y+ ; hoặc tích xy Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng

nhau Từ giả thiết bài toán chúng ta xác định ẩn phụ của bài toán là t = xy hoặc t = +x y ;

 Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức Do đó khi tìm điều kiện

của ẩn phụ ta cần chặn điều kiện cả hai phía

Minf t( )= −1 khi t =1 suy ra x= =y 1.

Bài 8. Cho các số thực dương a b, thỏa a b+ = 2ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích bài toán:

Để tìm được lời giải của bài toán, ta chỉ cần thứ tự trả lời cho các câu hỏi sau:

- Chiều đánh giá của biểu thức Q.

- Dấu hiệu BĐT phụ nào xuất hiện trong bài toán.

- Ẩn phụ là biểu thức đối xứng nào phù hợp với bất đẳng thức phụ.

- Phần không dùng bất đẳng phụ của Q có sử dụng được phép thế giả thiết để đưa về theo ẩn phụ không.

- Việc đánh giá để tìm điều kiện cho ẩn phụ có thuận tiện hay không.

- Biểu thức thu được theo ẩn phụ có thể áp dụng được công cụ đạo hàm hay không.

Sau đây ta lần lượt trả lời cho các câu hỏi này:

 Do đây là bài toán tìm GTNN nên ta cần đánh giá Q ³ f t( ).

 Từ bất đẳng thức phụ ta nhận thấy ẩn phụ sẽ là biểu thức đối xứng dạng tích theo 2 ẩn a, b

Cụ thể t ab= , hoặc t ab= +1 hay một biểu thức nào khác theo tích a, b Điều này còn phụ thuộc vào bước thế giả thiết để xác định cho phù hợp hơn.

 Phần còn lại của Q chưa được đánh giá là biểu thức 33 3 2 2 4

Đến đây thì ta thấy việc chọn ẩn phụ tối ưu nhất sẽ là t= 3ab+1.

 Việc chặn điều kiện trong bài toán này là khá đơn giản vì theo trên ta có ab³ 1Þ t³ 32.

Sau khi trả lời xong các câu hỏi ta đã hình dung khá rõ các công việc cần phải làm

Sau đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

2 (ko tm)'( ) 0

= Û ê

ê = ë

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là bằng 1 3 2+ 3 đạt được khi a b= =1

Bài 9. Cho các số thực ,x y thỏa mãn điều kiện: x y+ =2 x+ +2 3 y- 2020 2018+ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

Phân tích bài toán:

 Vì đây là bài toán tìm cả GTLN và GTNN nên ta phải sử dụng phép thế giả thiết hoặc biến đổi tương đương S f t= ( ) Đây là điều thú vị của bài toán, thoạt nhìn có vẻ phức tạp nhưng thực tế lại

+) Ta đi xác định điều kiện cho t Từ giả thiết

4 2 20192019

x y

 GTLN của S là 4080401+ 2019

2022, đạt được khi = −14; =26287

13 13

Nhận xét: So cách làm trên với cách làm trong đáp án thì phần dồn biến f(t) và xét hàm là

giống nhau, cách đánh giá trong lời giải trên của tôi làm trực tiếp không cần thông qua cặp ẩn phụ a, b Do đó tạo cho ta cảm giác đỡ nặng nề hơn khi tiếp cận lời giải bài toán.

Bài 10. Cho các số thực ,a b thỏa mãn  

Phân tích bài toán:

 Đây là bài toán tìm GTNN nên chiều đánh giá của P là P f t≤ ( ) Từ đây ta có sự lựa chọn

BĐT phụ hay đánh giá để dồn biến cho phù hợp.

 Quan sát biểu thức P ta thấy dấu hiệu của BĐT phụ chưa rõ ràng, cho nên ta đi vào bước xác định ẩn phụ trước Dấu hiệu ẩn phụ trong bài toán khá rõ ràng là t a b= + Câu hỏi đặt ra là sao ta không chọn t ab= , nguyên nhân chính là :

 Đằng trước biểu thức 3(a b+ ) có dấu " "− nên nếu đặt t a b= + thì ta không cần bận tâm tới dấu " "− đó nữa.

 Với giả thiết , 1;1

2

a b  

∈    việc chặn tổng sẽ đơn giản hơn việc chặn tích Nghĩa là việc chặn điều kiện cho ẩn phụ sẽ thuận tiện hơn.

 Từ tư tưởng ẩn phụ t a b= + ta đi xác định các bất dẳng thức phụ để đánh giá các biểu thức

+ + − Vấn đề đặt ra ở đây là đánh giá ab F a b≥ ( + ) để được BĐT thuận

chiều với việc tìm GTNN Khi đó ta nghĩ tới giả thiết chưa dùng tới là : , 1;1

2

a b  

∈   .Như đã nói ngay từ đầu, với giả thiết , 1;1

Do đó f t( )≥ f(2)= −1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −1, đạt được khi a b= =1

Bài 11. Cho các số thực ,x y thỏa mãn x>1,y>1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích bài toán:

 Chiều đánh giá của bài toán là : P ³ f t( ) Qua đó ta xác định cách chọn ẩn phụ cho phù hợp với ‘‘kết cấu’’ của bài toán.

 Cũng như ở bài toán số 3 Việc xác định bất đẳng thức phụ để dồn biến P là chưa rõ ràng

Do đó ta nên xác định ẩn phụ trước rồi qua đó xác định BĐT phụ và cách đánh giá cho phù hợp.

Ta đứng trước 2 lựa chọn t x y= + hay t xy= Sau khi quan sát ta thấy t x y= + sẽ thuận lợi hơn

vì lí do x>1,y> ⇒ >1 t 2 Nghĩa là nếu chọn t x y= + thì sẽ rất đơn giản bước chặn điều kiện

3 2

14

- ³ - nên ta có

2 2

(3 2)4

21

04

4( 2)

t

t t

f t

t t

Phân tích bài toán:

 Chiều đánh giá của bài toán là P ³ f t( ).

 Do biểu thức P =3(x2+y2 2) - 2(x y+ )2- xy xy(3 - 4) 2019+ tương đối kồng kềnh, chứa

nhiều kiểu biểu thức chưa phải đa thức dạng chuẩn tắc nên rất khó xác định ẩn phụ hay bất đẳng thức phụ cho phù hợp Do đó công việc đầu tiên là ta nên biến đổi gọn lại biểu thức này.

Với mọi số thực x, y ta luôn có (x y+ )2³ 4xy, nên từ điều kiện suy ra

1 32297min ( )

Phân tích bài toán:

 Chiều đánh giá của bài toán là P ³ f t( ).

5 1 0

3 1 0

xy xy

ìï + ³ï

Þ íï - + ³ïî

- + +

=

+Xét hàm số P t( ) 7t82 24t 1

xy

x y

ìïï ïïí

=-ïï + =ïïî

hoặc

130

xy

x y

ìïï =ïïí

ïï - =ïïî

Suy ra f t đồng biến trên ( ) é +¥ê4; ) , ( ) ( )4 71.

t M

Bài 2. Cho ,x y>0 thỏa mãn 2 2

 Dồn về một trong các biến t= + +x y z ; t =xy yz zx t+ + ; = x2+ y2 +z t2; =xyz ;

 Tìm điều kiện chặt của biến t

 Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN của hàm số mới.

Chú ý: Đối với các bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến chúng ta cần chú ý đến các đánh

giá, phân tích thường sử dụng như sau:

x + y +z ≥ xy yz zx+ + ; đúng ∀x y z; ; Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi x= =y z;

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x= = =y z 1 Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự

đoán ẩn phụ là t = + +x y z Từ giả thiết chúng ta cần lưu ý các đánh giá để đưa về

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≤ Ta

có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

Bài 2. Cho các số thực , ,x y z không âm thỏa mãn 2 2 2 4

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau; từ giả thiết ta dự đoán dấu " "= xảy ra khi x= = =y z 1

Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự đoán ẩn phụ t = + +x y z Từ giả thiết chúng ta cần

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên khi đánh

giá biến t ta cần chặn cả hai phía Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a b c= = =1 Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự đoán ẩn phụ t a b c= + + Từ giả thiết chúng ta cần lưu ý đánh giá để đưa về t a b c= + + Ta

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≤ Ta

có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

+ Từ đó suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên (0;3]

Do đó f t( ) ≤ f ( )3 ,∀ ∈t (0;3] hay f t( ) ≤176 Suy ra: 17

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau Quan sát biểu thức trong P ta dự đoán ẩn phụ t a b c= + +

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≤

1

a +b + +c cần đánh giá theo chiều " "≥ ; biểu thức

(a+1) (b+1) (c+1) cần đánh giá theo chiều " "≤ (vì phía trước biểu thức có thêm dấu " "− )

4 2

4( )

1 ( )2

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a b c= = =1 Quan sát biểu thức P ta dự đoán ẩn phụ

t abc=

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≤

Từ đó suy ra biểu thức ab bc ca+ + ; (1+a) (1+b) (1+c) cần đánh giá theo chiều " "≥ Ta có

lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

Lời giải

MaxP= , đạt được khi và chỉ khi : a b c= = =1.

Bài 6. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2 =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a b c= = =1 Quan sát biểu thức P ta dự đoán ẩn phụ

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x = =y z Trước hết ta phân tích giải thiết bài toán:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 2

f t

t

=+ trên (0;6], suy ra kết quả bài toán.

Bài 8. Cho ba số thực dương x,y,z thoả mãn x y z+ + ≥6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x= = =y z 1 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≥ Quan sát biểu thức P chứa x y z ở tử số nên 2; ;2 2

chúng ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt dạng cộng mẫu số Ta có lời giải chi tiết

cho bài toán như sau:

≥+

2

c a c b b

a− − ≤ −

)1(4

)())(

)(

(

3

c a c a c b b

⇒

Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2[(a−b)2 +(b−c)2]≥(a−c)2

và 4(a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca)=2(a−b)2 +2(b−c)2 +2(a−c)2

525

0)(3)

5

(

4

)(2)()(

4

2

2 2

2 2

2

x c

a

va

x

c a x

c a c

a ca bc ab c b

)(

x x

x c a

)('

;)2

55(5)('

x

x x

f x x

x f

52

1

2

52

2

2 2 2 2

2

b a

c b a

a c

a b

ca bc ab

c b a

c a

c b b a x

Bài 11. Cho , ,zx y là ba số thực thỏa mãn x y z, , ∈[ ]0; 2 và x y z+ + = 3

Vậy, GTNN của P là 3 6 4+ ln khi a= = =b c 1.

2.3 Bất đẳng thức ba biến không đối xứng

Bài toán 1. Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến Quan sát biểu thức trong P

ta dự đoán ẩn phụ t a b c= + + .

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≥

Từ đó suy ra biểu thức 13a+ 12 ab+ 16 bc cần đánh giá theo chiều " "≤ và cần có đánh giá biểu thức 13a+ 12 ab+ 16 bc ≤α(a b c+ + ) Vấn đề ở đây là làm thế nào để xác định được α?

phương” của các biểu thức trong căn ta xác định được m=1;n=4;p=1;q=4.

Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau:

Phân tích tìm lời giải

 Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến Quan sát biểu thức trong P

ta dự đoán ẩn phụ t a b c= + + .

 Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều " "≤

Từ đó suy ra cần đánh giá biểu thức a2 +b2 + +c2 22 theo chiều " "≥ Điều này có được nhờ bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt ta có

a b+ + c Như vậy chúng ta cần thêm 3 a b( + ) nữa mới đảm bảo có nhân tử (a b c+ + ) , trong

khi đó biểu thức ngoài dấu căn chỉ có 1 a b( + ) Do đó ta cần nhân thêm hằng số 3 vào trước

biểu thức Ta có đánh giá quan trọng như sau: