VẬN DỤNG các ĐỊNH LUẬT bảo TOÀN TRONG một số bài tập cơ học vật rắn

Các Định luật bảo toàn (ĐLBT) có một vị trí quan trọng trong các bài toán vật lý, khi đối diện với một bài tập cơ học thường ta hay nghĩ ngay đến một trong hai phương pháp là “Động lực học hoặc các Định luật bảo toàn”. Tuy nhiên trong một số trường hợp các thông tin về động lực học không rõ ràng thì áp dụng các ĐLBT lại tỏ ra hữu hiệu và rất thuận tiện. Trong chuyên đề này chúng ta cùng vận dụng các ĐLBT để giải quyết các bài tập về cơ học vật rắn.

Chuyên đề

VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ

HỌC VẬT RẮN

A.

MỞ ĐẦU.

- Các Định luật bảo toàn (ĐLBT) có một vị trí quan trọng trong các bài toán vật lý, khi đối diện với một bài tập cơ học thường ta hay nghĩ ngay đến một trong hai phương pháp

là “Động lực học hoặc các Định luật bảo toàn” Tuy nhiên trong một số trường hợp các thông tin về động lực học không rõ ràng thì áp dụng các ĐLBT lại tỏ ra hữu hiệu và rất thuận tiện Trong chuyên đề này chúng ta cùng vận dụng các ĐLBT để giải quyết các bài tập về cơ học vật rắn

B NỘI DUNG:

I/ LÝ THUYẾT:

1 Động lượng:

Động lượng ⃗P của một vật là một véc tơ cùng hướng với vận tốc của vật và được xác định bởi biểu thức ⃗P=m.⃗v Đơn vị của động lượng kg.m/s

Khi một lực ⃗F (không đổi) tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian Δtt thì tích ⃗F Δtt được định nghĩa là xung của lực ⃗F trong khoảng thời gian Δtt ấy

ĐLBT động lượng: Véc tơ động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn ⃗P=⃗ P ' Nếu hệ không cô lập nhưng các ngoại lực có cùng phương Oy thì hình chiếu của tổng động lượng trên phương Ox vẫn bảo toàn: P1x + P2x = const

Chuyển động bằng phản lực là chuyển động theo nguyên tắc : nếu có một phần của

hệ chuyển động theo một hướng, phần còn lại của hệ phải chuyển động theo hướng khác

2 Công cơ học:

Nếu lực không đổi ⃗F có điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công của lực ⃗F được tính theo công thức:

A = F.s.cos α

Đơn vị của công là Jun (J) 1 jun = 1N.m

Nếu α < 900 , A > 0 : công phát động

Nếu α > 900 , A < 0 : công cản

Nếu α = 900 , A = 0 : công bằng không

Công suất đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian

P= ΔtA Δtt

Đơn vị của công suất: Oát (W) 1WW = 1J/s

Biểu thức khác của công suất: P=⃗F ⃗v

Hiệu suất của máy: H=

A '

A hay H=

P ' P

Với A’ là công có ích và P’ là công suất có ích

* Công của trọng lực: A = m.g.h

Với h = h1 – h2 ( h1 , h2 là điểm đặt lực lúc đầu và lúc cuối )

* Công của lực đàn hồi: A=

1

2k[x12−x22]

k là hệ số đàn hồi (độ cứng) x1, x2 là độ biến dạng lúc đầu và lúc cuối

3 Động năng:

Là dạng năng lượng của một vật có được do nó đang chuyển động:

ƯW đ= 1

2m.v

2

Đơn vị của động năng: Jun

* Định lí động năng: Độ biến thiên động năng của một vật trong một quá trình bằng tổng công thực hiện bởi các ngoại lực tác dụng lên vật trong quá trình đó:

1

2mv 2 2− 1

2mv 1 2=A

* Động năng có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu Thông thường được hiểu là động năng được xét trong hệ quy chiếu gắn với Trái đất

4 Thế năng:

Là năng lượng của một hệ có được do tương tác giữa các phần của hệ thông qua lực thế

Đơn vị của thé năng là Jun

Thế năng trọng trường: (thế năng hấp dẫn) của một vật là dạng năng lượng tương tác của Trái đất và vật, ứng với một vị trí xác định của vật trong trọng trường

Biểu thức thế năng trọng trường tại một vị trí có độ cao z:

Wt = m.g.z - Nếu trọn mốc thế năng tại mặt đất

Thế năng đàn hồi là dạng năng lượng của một vật chị tác dụng của lực đàn hồi Biểu thức thế năng đàn hồi của lò xo ở trạng thái có biến dạng Δtl :

ƯW t= 1

2k(Δtl)

2

5 Cơ năng:

Cơ năng của vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực bằng tổng động năng của vật và thế năng trọng trường của vật

Cơ năng của vật chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi bằng tổng động năng của vật

và thế năng đàn hồi của vật

* Định luật bảo toàn cơ năng: Nếu không có tác dụng của lực không phải là lực thế thì trong quá trình chuyển động cơ năng của vật được bảo toàn Động năng có thể chuyển hóa thành thế năng và ngược lại

* Khi vật chịu tác dụng của lực không phải là lực thế, cơ năng của vật không bảo toàn và công của lực này bằng độ biến thiên cơ năng của vật

6 Mômen lực và mômen động lượng :

a) Mụmen lực :

- Mụmen của một lực F⃗ đối với một điểm gốc O chọn trước nào đú, là một vộctơ M⃗ được xỏc định bằng biểu thức : M⃗ = ⃗r  F⃗ (1)

Với ⃗r là bỏn kớnh vộctơ vạch từ O đến điểm đặt của lực F⃗

- Mụmen của lực F⃗ đối với một trục OZ nào đú là thành phần Mz trờn trục OZ của vộctơ mụmen lực đối với điểm O

- Trong một hệ chất điểm hay vật rắn, mụmen của cỏc nội lực đối với một điểm bất

kỳ luụn bằng khụng: M = 0

- Công mà mômen lực thực hiện đợc khi làm vật quay một góc  là: A = M 

b) Mụmen động lượng :

- Mụmen động lượng của một chất điểm cú khối lượng m, chuyển động với vận tốc v⃗ đối với một điểm O nào đú là một vộctơ được xỏc định bởi biểu thức : L⃗   ⃗r P⃗ ⃗r mv⃗ (2)

- Mụmen động lượng đối với một trục OZ nào đú là thành phần Lz trờn trục OZ của vộctơ mụmen động lượng đối với điểm O

- Đối với hệ chất điểm hay vật rắn :     

7.Định luật biến thiờn và bảo toàn mụmen động lượng :

- Ta cú: 

⃗ dL

dt M⃗ (4) (Độ biến thiờn mụmen động lượng trong 1 đơn vị thời gian bằng mụmen lực)

- Khi M⃗ = 0⃗ thỡ

dL dt



⃗ 0

⃗  L⃗ = const  t ( 5 )

- Định luật bảo toàn mụmen động lựợng : Mụmen động lượng của một hệ chất điểm hay

một vật rắn đối với một điểm cố định O, khụng thay đổi theo thời gian, nếu mụmen ngoại lực đối với điểm O đú bằng khụng.

Chỳ ý: khi ỏp dụng định luật biến thiờn và bảo toàn mụmen động lượng thỡ phải ỏp dụng

trong hệ quy chiếu quỏn tớnh

8.Mụmen động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định :

- Xột chất điểm cú khối lượng m quay theo đường trũn tõm O bỏn kớnh r với vận tốc v, khi đú mụmen động lượng của chất điểm đối với trục quay  vuụng gúc với mặt phẳng quỹ đạo là: L = mr2 ( 6 )

- Với hệ chất điểm thỡ mụmen động lượng của hệ chất điểm đối với trục quay  là :

L =

2

i i i

m r 



= 

2

i i i

m r



= I ( 7 ) Trong đú I =

2

i i i

m r



là mụmen quỏn tớnh của hệ đối với trục 

- Ta cú 

dL M

dt là mụmen ngoại lực đối với trục quay  ( 8 )

 M =

d( )

dt



=  ( 9 )  là gia tốc góc của chuyển động

9 Mômen quán tính của các vật :

- Đối với vật mà vật chất phân bố rời rạc : I =

2

i i i

m r



( 10 )

- Đối với vật mà vật chất phân bố liên tục : I = d =

2 V

r dV





( 11 )

10 Định lý Stennơ - Huyghen :

Mômen quán tính của một cơ hệ ( vật rắn ) đối với một trục nào đó bằng mômen

quán tính của nó đối với trục đi qua khối tâm cộng với tích của khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách a giữa hai trục

   A G ma2 ( 12 )

11 Động năng của vật rắn :

- Vật rắn chuyển động tịnh tiến : Mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc như vG của khối tâm : Wđ = T =

2

G

v

( 13 )

- Vật rắn chuyển động quay quanh một trục :

          

(14 )

- Vật rắn chuyển động tổng quát :

2 mv G 2

   

(15)

- Định lí kơních về động năng : động năng của một vật trong chuyển động đối với hệ

quy chiếu cố định O bằng tổng động năng khối tâm G mang tổng khối lượng cộng với động năng của vật trong chuyển động tương đối quanh G

2

1 2

T  mv  T (16)

12 Cơ năng của một vật rắn và định luật bảo toàn cơ năng :

- Cơ năng của một vật rắn : E = Eđ + Et , với Et là thế năng của vật

- Từ định nghĩa Et = m gh i i , ta suy ra Et = Mgh0 ( 17 )

- Khi không có ma sát và lực cản của môi trường thì cơ năng của vật được bảo toàn

13 Định luật biến thiên động năng :

- Dạng vi phân : d  dAik dAek ki ke

d

dt



 

trong đó dAik; dAek là tổng công nguyên tố của nội lực và ngoại lực, W ki; W ke là tổng công suất của nội lực và ngoại lực

- Dạng hữu hạn : 0

     trong đó T; T0 là động năng của hệ tại thời điểm

ban đầu và thời điểm t; Aik Aek là tổng công của nội lực và ngoại lực.

II/ MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1:

Ở thời điểm ban đầu, 1 đồ chơi hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R, momen quán tính đối với trục J =

1

2mR

2

, nằm ở cạnh a của 1 cái giá Cạnh của giá song song đường sinh của hình trụ Dưới ảnh hưởng của vđầu không đáng kể, đồ chơi hình trụ rơi xuống Kí hiệu f là hệ số ma sát trượt giữa đồ chơi và cái giá ở độ nghiêng α 0 nào,

độ chơi bắt đầu trượt trên cạnh A của giá trước khi rơi khỏi giá

Lời giải

- Trong bài này nếu chúng ta chỉ vận dụng các kiến thức động lực học thì không giải quyết được vì vậy ta phải kết hợp thêm các ĐLBT

*) Theo định luật II Newton có :

 

 

,, ,2

ms

 

 

*) Phương trình ĐLH :

sin

I

R

Thế vào (1) có : F ms=

1

3mg sin α (3)

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng có : −ΔtE t=ΔtE d

R

- Thế vào (2) ta được : N=

1

3mg(7cos α−4) (4) +) Đồ chơi bắt đầu trượt (α=α0) khi : N ¿ 0  7 cosα0−4 >0

Fms = f.N sin α0 =(7 cosα0 −4)f

α0 <55 , 150



sin 0

f



+) Giải phương trình (*) : Đặt

7 7 1

f

  

 sin

7 1

f

 



cos

1 7 1

f

 



mg

ms  I

C N

(*) Trở thành

4 (sin cos 0 sin 0cos )

1 2 2

f



 sin

1

f

     



(**)

Ta có 900 < ϕ < 1800

α0 <55 , 150 ⇒ ϕ−α>44 ,850

- Phương trình (**) ta lấy nghiệm sau :

sin ϕ0= 4

√49+ 1

f2

< 4 7

(Với 0 < ϕ 0 < 900)  00 < ϕ 0 < 38,850 < ( ϕ - α0 )

Do đó : ϕ - α0 = 1800 - ϕ 0 => α0 = ( ϕ + ϕ 0 - 1800)

*) Giải lại phương trình (*) : Đặt tg ϕ=−

1

7 f

 sin ϕ= 7

f√49 f +1

cos ϕ=− 7

f√49f +1

4

49f 1



 cos( ϕ + α0 ) = cos ϕ 0  ϕ + α0 =  ϕ 0 ( Với 0 < ϕ 0 < 900)  α0

= - ϕ  ϕ 0

Đối chiếu với điều kiện   0 55,150 , chọn 1 nghiệm thoả mãn

Bài 2:

Một quả bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R Bóng bay tưói va chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v và vận tốc góc  Chỗ mà quả bóng tiếp xúc với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc không trượt Do có ma sát nên va chạm là không đàn hồi Tuy nhiên, có thể bỏ qua sự biến thiên của thành phần pháp tuyến vy và

độ biến thiên động năng bóng

a/ Xác định thành phần tiếp tuyến vx’ của v’ và  ’ của quả bóng sau va chạm theo vx và

 trước va chạm? Biện luận?

b/ Tính vận tốc điểm tiếp xúc A của bóng trước và sau va cham? Giải thích kết quả? c/ Xét  = 0 và vx > 0

Lời giải

*) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có:

dL = Mdt = FmsRdt = dPxR  Id  = mRdvx

 I

'

vx





    I(  ’-  ) = mR(vx’ - vx) (1)

Ta có vy’= - vy

*) Theo định luật bảo toàn động năng ta có:

 m(v2x  v' )2x I( ' 2 2) (2)

*) Thay (1) vào (2) rút ra  ’=

1

3 10 7

vx R



   

vx’ =

7

v x R

*) Biện luận:

+)  ’ < 0 siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm

+) vx’ > 0, vx >

4

3R

+) vx’ = 0  vx =

4

3R

+) vx’ < 0  vx <

4

3R

b) Ban đầu (trước va chạm): A: vAx = vx +R

vAy = vy

Sau va chạm: v’Ax = v’x + ' R= - (vx +R)

 v’Ay = v’y = - vy

v A'   v A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Như vậy: Vận tốc điểm A trước và sau va chạm có độ lớn bằng nhau, chiều ngược nhau

Bài 3:

Thanh ABC khối lượng M, chiều dài 2L, gấp lại tại trung điểm B đặt trên mặt phẳng nằm ngang Vật m chuyển động với vận tốc v 0

trên mặt phẳng nằm ngang theo phương vuông góc với BC, va chạm với thanh tại C Coi va chạm là đàn hồi, bỏ qua ma sát Tìm điều kiện của v0 để sau va chạm vật bị bật ngược trở lại

Lời giải:

áp dụng ĐL BT ĐL và mômen động lượng đối với G:

mvo = mv1 + Mv2 (1)

mv o.

3 l

4=mv 1.3l

4 +Iωω (2)

- ĐL BT CN:

mv 0 2

2 =

mv 1 2

2 +

Mv 0 2

2 +

Iωω2

2 (3)

A

B

L

L

N

C

m M

G

Với :

2

2

M

- Giải hệ phương trình ta được:

5 24 ( o )

 

 

- Điều kiện m bị bật ngược trở lại là v1 < 0

Rút ra:

M

m<

5

29

Bài 4:

1 Hai thanh AB, BC, mỗi thanh có chiều dài l khối lượng

m, được nối với nhau bằng chốt ở B và có thể quay không

ma sát quanh B Thanh ghép được đặt trên một mặt phẳng

nằm ngang rất nhẵn và tạo thành góc vuông ở B Đầu A chịu một xung X nằm trong mặt

phẳng và vuông góc với AB (xung là tích Fdt của lực và chạm rất lớn F và thời gian va

chạm rất nhỏ dt, nó là một động lượng được truyền toàn vẹn cho thanh).

Tính theo X các đại lượng ngay sau va chạm sau đây:

a) Các vận tốc v1, v2 của các khối tâm của hai thanh

b) Các vận tốc góc ω1, ω2 của hai thanh quay quanh khối tâm của các thanh đó

c) Động năng K của thanh ghép (Momen quán tính của mỗi thanh đối với đường trung trực là I =

2 12

ml

Ta không biết công của lực va chạm)

2 Thanh ghép được đặt cho AB, BC thẳng hàng (H2) và cũng

chịu xung X vuông góc với AB như trên Tính theo X:

a) Các vận tốc v1, v2

b) Các vận tốc góc ω1, ω2 của hai thanh quay quanh khối tâm

của các thanh đó

c) Vận tốc vG của khối tâm G của thanh ghép và vận

tốc vB của chốt B; vG bằng hay khác vB và tại sao? Lấy chiều

dương của xung và vận tốc góc như trong hình 2

Lời giải

1 Sử dụng các ĐLBT ta lập hệ:

X + X’ = mv1 (1)

2

• 1

A

C

• 2

• B

• 1 A +

(X – X’) 2

l

=

2 1 12

ml

 (2)

- X = mv2 (3)

vB = v2 = - 2

l

ω1 + v1 (4)

Vì BC chỉ tịnh tiến ω2 = 0, giải hệ ta được:

a) v1 =

7

5

X

m ; v2 =

-2 5

X m

b) ω1 =

18

5

X

ml ; ω2 = 0

c) KBC =

2 Tương tự ta có hệ:

X + X’ = mv1 (1)

(X – X’) 2

l

=

2 1 12

ml

 (2)

- X’ = mv2 (3)

- X 2

l

=

2 1 12

ml

 (4)

- Tính theo hai cách vB = v1 -

1

2 ω1 = v2 +

1

2 ω2 (5) (B quay quanh 1 có vận tốc ngược chiều v1 nhưng quay quanh 2 thì có vận tốc cùng chiều v2)

- Giải hệ 5 phương trình để tìm ẩn X’, v1, v2, ω1, ω2, ta có (1) và (3) cho: mv2 = X – mv1

- Viết lại (2): X + mv2 = 2X – mv1 = 6

ml

ω1 hay ω1 =

6

ml (2X – mv1) (6)

Từ (3) và (4) cho ω2 = -

6

6 'X v2

ml  l (7) Đưa (6) và (7) vào (5): v1 -

6 2

l

ml (2X – mv1) = v2 +

4 2 2

l

v



4v1 -

4

m  m    m   m a) v1 =

5

4

X

m ; v2 = - 4

X

m b) ω1 =

9

2

X

ml ; ω2 =

3 2

X ml



c) vB =

-X

m ; vG =

1 ( 1 2)

X

v v  m vB

Vì G chỉ trùng với B khi hai thanh nằm yên thẳng hàng

Bài 5:

Một khung có thể biến dạng gồm ba thanh cứng đồng chất,

một thanh có khối lượng m, chiều dài l, được nối bằng các

chốt A, B và treo trên trần bằng các chốt O, O’ (OO’ = l).

Các chốt không có ma sát Khung đang đứng cân bằng thì

đầu A của thanh OA chịu một xung lực X đập vào (X có

chiều từ A đến B) Khung bị biến dạng và các thanh OA, O’B

quay tới góc cực đại φ (H.23.1)

1.Tính vận tốc V (theo X và m) của trung điểm (khối tâm) C

của thanh O ngay sau va chạm

2.Tính động năng của khung ( theo X và m) ngay sau va chạm

3 Tính góc φ theo X, m, l và gia tốc trọng trường g.

4 Nếu xung lực X là do một quả cầu có khối lượng m và vận tốc v0 có chiều từ A đến B gây ra thì sẽ có tối đa bao nhiêu phần trăm động năng của quả cầu chuyển thành nhiệt?

Cho momen quán tính của thanh có chiều dài l, khối lượng m đối với trục vuông góc với

thanh và đi qua một đầu là I =

2 3

ml

Giải:

1 Biến thiên momen động lượng của hệ (đối với tâm O) bằng momen của xung lực.

- Kí hiệu ω là vận tốc góc của OA ngay sau va chạm, thì

2V l

 

- Momen động lượng của OA (hoặc O’B) là:

ml

I    mlV

- Momen động lượng của AB, với VD = 2V, là 2mVl

Từ đó:

2

X

m

2 Động năng của một thanh quay quanh O là

2

I

mV

 

- Động năng của thanh AB là:

2

m

V D  mV

- Động năng của cả khung:

2

2

X

m

3 Động năng này chuyển thành độ tăng thế năng Khối tâm của khung từ vị trí G cách trần một đoạn

2 3

JG l

được chuyển t ới vị trí G’ cách trần một đoạn

2 (1 cos ) 3

JH  l  

Thế năng tăng một lượng: 3mg

2

3l (1 – cosφ) = 2mgl(1 – cosφ)

O

X φ

O’

•

•

•

•

•