Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát [r]
Trang 1CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1 Các định nghĩa:
n
n thua so
a a.a a
(n Z ,n 1,a R)
a 1 a a
a 0 1 a 0
n n
1 a
a
(n Z ,n 1,a R / 0 )
m
n m n
a a ( a 0;m,n N )
m n
n
a
a a
2 Các tính chất :
a a m n a m n
m
m n n
a
(a ) m n (a ) n m a m.n
(a.b) n a b n n
n n n
( )
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị : T R
( a x 0 x R )
Tính đơn điệu:
* a > 1 : y a x đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số mũ : y y=ax
x
1
0<a<1
x
1
Trang 2Minh họa:
II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0
a
Điều kiện có nghĩa : loga N có nghĩa khi
a>0
a ≠ 1
N >0
¿{ {
¿
¿
2 Các tính chất :
log 1 0 a log a 1 a
M a log a M a log N a N
log (N N ) log N a 1 2 a 1log N a 2
1
2
N
Đặc biệt : log N a 2 2.log N a
3 Công thức đổi cơ số :
log N log b.log N a a b
a b
a
log N log N
log b
* Hệ quả:
a
b
1 log b
log a
và a k a
1
k
4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định :
D R
Tập giá trị T R
Tính đơn điệu:
* a > 1 : y log x a đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R
Đồ thị của hàm số lôgarít:
a>1
0<a<1
y=logax
y
O
a>1
y=logax
1
y
x
O
Trang 35 CAÙC ẹềNH LYÙ Cễ BAÛN:
1 ẹũnh lyự 1: Vụựi 0 < a 1 thỡ : aM = aN M = N
2 ẹũnh lyự 2: Vụựi 0 < a <1 thỡ : aM < aN M > N (nghũch bieỏn)
3 ẹũnh lyự 3: Vụựi a > 1 thỡ : aM < aN M < N (ủoàng bieỏn )
4 ẹũnh lyự 4: Vụựi 0 < a 1 vaứ M > 0;N > 0 thỡ : loga M = loga N M = N
5 ẹũnh lyự 5: Vụựi 0 < a <1 thỡ : loga M < loga N M >N (nghũch bieỏn)
6 ẹũnh lyự 6: Vụựi a > 1 thỡ : loga M < loga N M < N (ủoàng bieỏn)
III CAÙC PHệễNG PHAÙP GIAÛI PHệễNG TRèNH MUế THệễỉNG SệÛ DUẽNG:
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
16 0,125.8
Baứi taọp reứn luyeọn:
a, 32
x +5
x − 7=0 , 25 128
x+17
x −3 (x=10) b, log (2 2 2 3 5) log (3 4 5)2
2 3 x x 7 4 3 x
c,
2 1
x x
d,
2 1 1
2
3
0,12 5
x x
x
x
2 Phửụng phaựp 2: ẹaởt aồn phuù chuyeồn veà phửụng trỡnh ủaùi soỏ
các dạng toán cơ bản sau:
4 a+b a-b
c c
1) 3 2x 8 4.3 x 5 27 0
2) 6.9 x 13.6 x6.4 x 0 3) ( 2 3 ) x( 2 3 ) x 4 4) 2x2
− x
− 2 2+ x− x2=3 5) 3 8x+4 12x −18 x − 2 27 x=0 6) 2 22 x − 9 14 x
+7 72 x=0
7, 5 21 5 21 10.22
x
Baứi taọp reứn luyeọn:
1) ¿ (x± 1)
2) 8x
+18x=2 27x (x=0) 3) 125x+50x=23 x+1 (x=0)
với b=a.c ta chia 2 vế cho c 2f(x) rồi đặt ẩn phụ với (a+b)(a-b)=1 ta đặt ẩn phụ t= (a+b) f(x)
với
ta đặt ẩn phụ t= (
a b c
) f(x)
Trang 44) 25x
+10x=22 x+1 (x=0) 5) ( 3 8 )x ( 3 8 )x (x=± 26 ¿ 6) 27x
+12x=2 8x (x=0)
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 2x2
+x −4 2 x2
− x −2 2 x
+4=0
Bài tập rèn luyệnï:
a, 12 3x
+3 15x −5 x+1=20 (x=log3
5 3)
b, 4x2 x.2x21 3.2x2 x2 2x2 8x 12
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( ) ( )
3 a+b a-b
6
f x g x
c c
1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+
x 2
3 3)
x
1
4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; x2.3log 2x xlog 3 2 xlog 9 2
Bài tập rèn luyện:
1) 2.2x
+3 3x=6x −1 (x=2) 2) 2 x=3 − x (x=1) 3; x x log 3 2 xlog 5 2 4;
2
2x 2xx (x1) 5; 2x + 3x = x + 4 6;
8 x8 x 10 cos 2 y
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log N a a (đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) log (x 6) 3 2) x
2
víi
víi (a+b).(a-b) ≠1 víi b ≠ a.c
Trang 54; log (x 2 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3 2 2
2 Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
f x
b
a
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2x.3x+1 =12 b;
2
x = 10 c; 1+log x 3 2
x = 3 x d; 5 7 2 x 7 5 2 x e; 3x x+2x
.8 = 6
3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
4
3
2) log3
2
x+√log32x +1 −5=0
3; log 2.log 2.log 4x 0 x 2x 2 4; x 3 log (x 2) 4(x 2) log (x 2) 16 2 3 3
5; log 3x 7 (9 12x 4x ) log 2 2x 3 (6x 223x 21) 4
6; 7log (5 ) 1225 x xlog 7 5 0
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log x 2.log x 2 log x.log x 2 7 2 7
Bài tập rèn luyệnï:
2.log92x=log3x log3(√2 x +1− 1) (x=1;x=4)
log x log x log x.log x 2 3 2 3
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b)
do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
a; log (x 2 2 x 6) x log (x 2) 4 2 b; log (x 1) log (x 2) 2 3 c; log (x 2 2 x 5) 2 x
V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
3
2) 2
x 1
x 2x
2
3; x2 x 12x31
Trang 6Bài tập rèn luyện: a; 2
x+2x+1 ≤3 x
+3x −1
(x ≥ 2)b;
2 3
2
1
x x
x
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)2 2x 3.(2 ) 32 0 x 2 2)2 x 2 3 x 9
3)
4) √8+21+ x − 4 x+21+ x>5 (0<x ≤2¿ 5) √15 2x+1
+1≥|2x −1|+2x+1 (x≤ 2)
6; 2.14x
+3 49x − 4 x ≥ 0 ( x ≥ log2
73)
VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)log (5x x 2 8x 3) 2 2)
3
log log x 3 1
3)log 3x x 2 (3 x) 1 4)log (log (3 x 9 x 9)) 1 5) log5(4x+144)− 4 log52<1+log5(2x − 2
+1)
2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
x
2)log 64 log 16 3 2x x 2 3) ¿ ¿ (18<x<1
2)
3 Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( ) ( )
2 b f x
f x g x
a
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2x.3x+1 <24 b; 5
x-1
.8 500 c; 5 7 2 x 7 5 2 x d; log 22x (2x)4
x
VII PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mị vµ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4x − 4 m.(2 x − 1)=0 (m<0∨m ≥1 )
Bài 2: Cho phương trình: 4x −m 2 x+1+2 m=0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1≠ x2 sao cho x1+x2=3 (m=4)
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: (m+3).16 x
+(2 m− 1)4x+m+1=0 (
−1<m<−3
4)
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16x+2 81x
=m 36 x (m<2√10)
Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 1+log5(x2+1)− log5(x2+4 x +m)>0
có nghiệm x[2,3] (−21 ≤ m≤ 29)
Bài 3: Tìm m để phương trình: 31 − x+ 1
31 − x+2 m=0 có nghiệm (m ≤− 2)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 161 −√1 − x 2
−(m+5)4 1 −√1 − x 2
+4 +5 m=0
Trang 71) 23 x −6 2 x − 1
23(x −1)+12
2x=1 (x=1) 2) log4¿ (x=2 ; x=2−2√6)
3) log7x=log3(√x +2) (x=49)
4) log5x=log7(x+2) (x=5)
5) 5.23 |x− 1|
−3 2 5 −3 x+7=0 (x=1) 6) log√2 x− 1|2 x − 3|=2 log84+log2 31
√2 (x=52) 7) xlog 2x3
−log2x −3
=1
x (x=1,x=2,x=4)
8) 2 xlog 2x
+2 x −3 log8x
−5=0 (x=12, x=2) 9) log2
2
x+(x − 1)log2x=6 −2 x (x=14, x=2) 10) 1+2logx2 log4(10 − x )= 2
log4x (x=2,x=8)
Bài 2: Giải các bất phương trình
1) 32 x −8 3 x+√x+ 4 − 9 9√x+ 4>0 (x>5)
2) 9√x2− 2 x − x −7 3√x2− 2 x− x −1 2 (−14≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2)
3) (12)√x
6
− 2 x3 +1
<(12)1 − x (x<−1∨0<x<1∨ x>1)
4) (14)3 x −(18)x− 1 −128 ≥ 0 (x≤ −43 )
5) log5(1 −2 x)<1+log√5(x+1) (−25<x<1
2) 6) √2−|log2x|>log2x (14≤ x <2)
7) logxlog9(3x − 9)<1 (x>log310)
8) log 1
4(x2+3 x )<
1 log2(3 x − 1) (
2
3<x <1) 9) log1
2
¿ ¿ (-2 < x <-1)
Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
2 1
2
3 2 log
2
x x y
x
2
2
log ( 1) 2
y