Chuyên đề : ph ơng trình vô tỉ Dạng 1: Phơng trình dạng: ( ) ( ) axgxf =+ (Với f(x) > g(x)) Ph ơng pháp giải : Xét 3 trờng hợp Tr ờng hợp 1 : g(x) 0 khi đó f(x) > 0 và phơng trình trở thành: f(x) + g(x) = a Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Tr ờng hợp 2 : f(x) > 0 và g(x) < 0 và phơng trình trở thành: f(x) - g(x) = a Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Tr ờng hợp 3 : f(x) < 0 và phơng trình trở thành: - f(x) - g(x) = a Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Sau đó kết luận. Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: a. 51212 =++ xxxx b. x 2 x 1 x 8 6 x 1 4+ + + = c. 5168143 =+++ xxxx Giải a. Điều kiện x 1 Đa phơng trình về dạng: ( ) *2111121111 =++=++ xxxx (Do 11 + x > 0) Tr ờng hợp 1 : 2011 xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 2212 == xx (thỏa mãn) Tr ờng hợp 2 : 21011 << xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 2221111 ==+++ xx (luôn đúng) Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng trình. Cách 2: Điều kiện x 1 Ta thấy ( ) 11112 += xx nên phơng trình (*) xảy ra dấu = khi 2011 xx . Vậy ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng trình. b. Điều kiện x 1 Đa phơng trình về dạng: ( ) *4311143111 =++=++ xxxx (Do 11 + x > 0) Tr ờng hợp 1 : 10031 xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 10612 == xx (thỏa mãn) Tr ờng hợp 2 : 101031 << xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 4443111 ==++ xx (luôn đúng) Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 x 10 là nghiệm của phơng trình. Cách 2: Điều kiện x 1 Ta thấy ( ) 31114 += xx nên phơng trình (*) xảy ra dấu = khi 101031 xx . Vậy ta đợc 1 x 10 là nghiệm của phơng trình. c. Điều kiện x 1. Đa phơng trình về dạng: ( ) *53121 =+ xx Tr ờng hợp 1 : 1031 xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 261012 == xx (thỏa mãn) Tr ờng hợp 2 : 105312 << xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 5153121 ==+ xx (vô lý) Tr ờng hợp 3 : 5121 << xx . Khi đó phơng trình (*) trở thành: 153121 ==++ xxx (thỏa mãn) Kết hợp cả 3 trờng hợp ta đợc x = 1 và x = 26 là nghiệm của phơng trình. Bài tập: Giải các phơng trình sau: 1. 5168143 =++++ xxxx (1 x 10 là nghiệm của phơng trình) 2. 275232522 =++++ xxxx . (Nhân cả hai vế với 2 ta đợc: x = 15 là nghiệm) 3. x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5+ + + + = (1 x 5 là nghiệm của phơng trình) 4. 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ + + = (5 x 10 là nghiệm của phơng trình) Dạng 2: Phơng pháp đánh giá 2 vế có dạng: ( ) ( ) ( ) xhxgxf =+ Ph ơng pháp giải : Ta có: VT = ( ) ( ) axgxf + mà VP a. Dấu = xảy ra khi VT = VP = a. Bài tập: Giải các phơng trình sau: 1. 2 7 - x + x - 5 = x -12x + 38 ( Ta thấy VT 2; VP 2 nên nghiệm của phơng trình là x = 6) 2. 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = (Vậy nghiệm phơng trình x = -1) 3. 564524428183 222 +=+++ xxxxxx (Vậy nghiệm phơng trình x = 3) Dạng 3: Phơng pháp tổng bình phơng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 222 =+++ xhxgxf Ph ơng pháp giải : Dấu = xảy ra khi f(x) = g(x) = h(x) = = 0. Bài tập: Giải các phơng trình sau: 1. 8362412 +++=++ zyxzyx (x = 2; y = 6; z = 12) 2. 1 2 3 4 ( ). 2 x y z x y z + + + = + + (x = 3; y = -2; z = 5) 3. ( ) 1 x y 1 z 2 x y z 2 + + = + + (x = 1; y = 2; z = 3) 4. )3z42y31x2.(235zyx +++++=+++ (x = 3; y = 7; z = 13) 5. 2 zyx 56z4y3x ++ =+++ (x = 4; y = 5; z = 7) 6. ( ) zyxzyx ++=+++ 2 1 201020092 (x = 3; y = -2008; z = 2011) 7. 32254 2 +=++ xxx (Đa về dạng: ( ) ( ) 01321 2 2 =+++ xx . Ta có nghiệm duy nhất x = -1) Dạng 4: Phơng pháp đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình Bài tập: Giải các phơng trình sau: 1. ( )( ) 36363 =+++ xxxx . Điều kiện: -3 x 6 Đặt ( ) ( ) 06;03 ==+ bbxaax ta đợc hệ phơng trình =+ =+ 9 3 22 ba abba Giải ra ta tìm đợc a = 0 hoặc a = 3 nên thay vào ta có x = -3 hoặc x = 6 là nghiệm. 2. 392192 22 +=+ xxxx . Điều kiện: x 2 2x 19 0 (*). Đặt ( ) 0192 2 = aaxx . Khi đó: Ta đợc phơng trình: a 2 + a 20 = 0 = = 5 4 a a Thay a = 4 giải ra ta có: x = 7 hoặc x = -5 thỏa mãn điều kiện (*). 3. 1111 423 +=++++ xxxxx . Điều kiện x 1. Đặt ( ) ( ) baxbbxxxaax .101;01 423 ==+++= . Khi đó ta có phơng trình: a + b = 1 + ab (a - 1)(1 - b) = 0 a = 1 và b = 1. Giải ra ta có: x = 2 và x = 0(loại do x 1) 4. 428 22 =++ xx . ĐK: x 2 2. Đặt ẩn đa về hệ =+ =+ 10 4 22 ba ba . Giải ra ta đợc x = 1 hoặc x = -1. 5. ( ) ( ) 3107125 2 =++++ xxxx (ĐK: x -2. Giải ra ta có: x = -1 và x = -4(loại)) 6. 558 =++ xx (ĐA: x = 1) 7. 2055 2 =+++ xxxxx . ĐK: x 5. Đặt bxax == 5; ta có hệ = =+++ 5 20 22 2 ba ababa Giải ta đợc: x = 9. Dạng 5: Phơng pháp đa về dạng tích Ví dụ: Giải phơng trình: 232323 22 ++=+++ xxxxxx . Điều kiện: x 2. Khi đó ta có: ( )( ) ( )( ) 331221 ++= xxxxxx ( ) ( ) ( )( ) 03211113112 =++= xxxxxxx 2011 == xx vì x 2 thì 32 + xx < 0. Vởy x = 2 là nghiệm duy nhất của phơng trình. . Chuyên đề : ph ơng trình vô tỉ Dạng 1: Phơng trình dạng: ( ) ( ) axgxf =+ (Với f(x) > g(x)) Ph ơng pháp giải : Xét 3 trờng hợp Tr ờng hợp. f(x) > 0 và phơng trình trở thành: f(x) + g(x) = a Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Tr ờng hợp 2 : f(x) > 0 và g(x) < 0 và phơng trình trở thành: