Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mn hệ thức tương ứng đã cho.. Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT1[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Tính chất
* với a > 0, b > 0, ta có:
b
a b
a b
a ab a
a a
a
a a
a
a > 1 : a a
0 < a < 1 :a a
m n
n
a
* Quy tắc tính:
m n m n
;
n
m
m n n
a a a
; abn a b n n
* Quy tắc so sánh:
+ Với a > 1 thì am an m n
+ Với 0 < a < 1 thì am an m n
2 Căn bậc n:
n a b n a b n ;
n n
n
b b n a p n a p m n a mn a
Nếu
n m thì n a p m a q ; Nếu biết mnam n a
3 Lôgarit
log
* Tính chất so sánh:
+ Với a > 0 thì: loga b loga c b c
+ Với 0 < a <1 thì: loga b loga c b c
+ loga b loga c b c
* Quy tắc tính:
Trang 2
loga b c loga bloga c loga b loga b loga c
loga b loga b
1 loga b loga b
1
n
* Công thức đổi cơ số:
log log
log
a b
a
c c
b
hay log loga b b cloga c
1 log
log
a
b
b
a
hay log loga b b a 1; alogb c clogb a
* Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10 kí hiệu là: logx hoặc lgx
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
Ở phần này xem như các đk đã có đủ để logarit có nghĩa
4 Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường
gặp
Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x.
x ' x 1
,
2
x x
'
2
1 u'
u u
x ' 21
x
u
1
.
n
x
n x
'
n
u u
n u
sinx' cosx sinu' u'.cosu
cosx' sinx cosu' u'.sinu
tan ' 12
cos
x
x
' tan
cos
u u
u
' 2
1 cot
sin
x
x
' cot
sin
u u
u
e x 'e x e u ' u e' u
a x ' a x.lna a u ' u a' .lnu a
ln x' 1
x
u
log ' 1
.ln
x a
.ln
a
u u
u a
5 BẢNG ĐẠO HÀM.
Trang 3(e x
)'=e x
(a x)'=a x ln a
(ln |x| )'=1
x
(loga|x| )'= 1
a x ln a
(x α)'=α x α −1(α ≠ 0 , x >0)
(√n x)'= 1
n√n x n− 1
(e u
)'=u' e u
(a u)'=u ' a u ln a
(ln |u| )'= u '
u
(loga|u| )'= u'
u ln a
(u α)'=α u α −1 u '
(√n u)'= u '
n.√n u n −1
Bài tập: LUỸ THỪA
Bài 1:Tính a
1
A
b B=
(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
Bài 2: a Cho a = (2 3)1 và b = (2 3)1 Tính A= (a +1.-1 + (b + 1.-1
b cho a = 4 10 2 5 và b = 4 10 2 5 Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a A = 5 2 2 23 b B =
3 2 3 2 3
3 2 3 c C = 3 9 27 33
Bài 4 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :
a/ 5 2 2 23 b/
11 6
:
a a a a a ; a > 0 c/ 4 x23 x ; (x > 0 d/
5 a a3
b b ; (ab > 0
Bi 5 Đơn giản các biểu thức sau :
a/ (a 5)4 b/ 81a b4 2 ; (b 0) c/ 4 x x8( 1) ; (4 x1)
d/
2 2 2
1 ( )
a a b P
a b ab
2
;( 0; 1; )
2
2 3
a a a a
a a a a
Bài 6/ Tính giá trị của biểu thức :
a/
2
3 3
2
:
A
a a b b
6 5
a
và
3 5
b
b/
3 2
2 ( ) (2 )
A a b ab a
2 2
a
và 3
1 2
b
Trang 4Bài 7 Rút gọn biểu thức:
a/
2 1 2 1
.( )
a
a
b/ b 3:b( 3 1) 2
c/ x4 x x2: 4 d/ (a325)35 Bài 8 So sánh
a/ 3600 và 5400 b/
5 7
1 ( ) 2
và
3 14
2.2 c/ 33và 2
Bài 9 Đơn giản các biểu thức sau
a A = (a 5)4 b B = 81a b4 2 vớib 0 c C = (a325)35 (a > 0
d E =
2
( )
2 ( )
x y x y x y
xy
x y x y
e F =
2
2
1
a x
x x
1 2
a b
b a
và a > 0 , b > 0
f G =
a x a x
a x a x
Với x = 2
2 1
ab
b và a > 0 , b > 0
g J =
2
2 3
a a a a
a a a a
a b a b
a b a b
1 4 4
3 1
1
1
a a a
a a
a a
j
4 4 2 4 4 2 5
a ab
2
3 3
2
: x x y
x y
x x y y
x xy
Đơn giản biểu thức.
Bài 10 a 3
√ √x6 y12−( √5 x y2)5 b a
4
3b+ab
4 3 3
√a+3
a
4 3
+a
1 2
.√a+
4
√a
1 4
+ 1
d (m+1√2−
m2
+ 4
m3+2√2).(m2−
1
√2+
1
m)
Bài 11 Tính giá trị của biểu thức.
a 81−0 , 75+(1251 )− 13
−(321 )− 35
b
9 0
¿2
−2¿− 2 64
2
3−8 − 1
1 3
+ ¿
0 ,001 − 13−¿
c 27
2
3
− 3¿−3
−0,5¿− 4 −625 0 ,25 −(21
4)−112
+ 19 ¿
¿
Bài 12 Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
a 18√725 ax3 b 3
√a5.√4a c 8
√b3.√4b d 13√4 27 √3a
Bài 13 Tính
Trang 5a ((√3)√3)√3 b 41 −2√3 16 1+√3 c 27√2
3 3 √ 2 d (2 √58)
5
√ 4
Bài 14 Đơn giản các biểu thức.
a
a√ 2− b√ 3
¿2
¿
¿
a2 √ 2−b2 √ 3
¿
b (a2√3−1)(a2√3+a√3+a3√3)
a4 √ 3− a√ 3 c a π+b π¿2−(4
1
π ab)π
¿
√ ¿
Bài tập: LOGARIT
Bài 15: Tính
A = log24 B= log1/44 C = 5
1 log
25 D = log279
E = log 4 48 F =
3 1 3
log 9
G =
3
2
4 log
2 8
H= 271 3
3 3 log
3
I = log (2 2) 16 3 J= log20,5 (4)
K = loga3a L =
5 3 1
log ( )
a
a a
Bàii 16: Tính
A = 4 log 3 2 B = 27 log 3 9 C = log 2 3
3 2
2log 5
3 2
E = 2
1log 10 2
8 F = 2 1 log 70 2
G = 2 3 4log 3 8
H = log 2 3log 5 3 3
9
I = (2 )a log 1a J = 27 log 2 3log 5 3 3
Bài 17 Tính :
a/
2
4 2 16
2 b/ 31 log 4 3 2log 3 2 2
c/
8
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
d/ Tính log 3249 theo a nếu log 14 a2
e/ Tính log 7224 theo a nếu log 2 a6 f/ Tính log 65 theo a và b nếu 100
g*/ Chứng minh :
ax
a
log ( )
1 log
bx
x
Bài 18: Tính :
a 3log35
b 3log94 c
3
1 3
log
d 5log5 53 e 3 4
3 log
f
3
1 3
log
Trang 6Bài tập:CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 19 :
a Tính log308 biết log303 a ; log305 b
b Tính log54168 biết log 7 12 a , log 12 24 b
c Tính
3
5
27 25
log
biết log 5 3 = a
d Tínhlog4914 biết log2898 = a
e Tính log21x biết log3x a , log7x b
Bài 20: Tính giá trị các biểu thức.
1 log915 + log918 – log910 2 2 log1
3
6 −1
2log1 3
400+3 log1
3
3
√45
3 log362−1
2log1 6
3 4 log1
4
(log34 log23)
5 (81
1
4−
1
2log9 4
+ 25log125 8) 49log7 2 6 161+ log 4 5
+ 42
1
2log2 3+ 3 log 5 5
7 72(49
1
2log79− log76
+ 5−log√ 4)
Bài 21 :Tìm x biết
1 log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63
2 log4x = 13log4216 − 2 log410+4 log43
Rút gọn biểu thức
Bài 22: Rút gọn biểu thức
A = log 8log 813 4
B = 13 5
log 25log 9
C =
3
1 log log 2 5
D = log 6log 9log 2 3 8 6 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 7 3 4 5 6 8 F =
2
4
log 30 log 30
G =
5
625
log 3
log 24 log 192 log 2 log 2
Bài 23 : Biểu diễn log308 qua log305 v log303
Bài tập: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 24: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a y = 2
3 log
10 x b y = log3(2 – x.2 c y = 2
1 log 1
x x
d y = log3|x – 2| e.y = 5
2 3 log ( 2)
x x
f y = log12 2
1
x
x
g y =
2 1
log x 4x 5
h y = 2
1 log x 1 i y= lg( x2 +3x +2
Trang 7Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 25: Tính đạo hàm của các hàm số mũ
a y = x.ex b y = x7.ex c y = (x – 3.ex d y = ex.sin3x
e y = (2x2 -3x – 4.ex f y = sin(ex g y = cos( e x22 1x
h y = 44x – 1
i y = 32x + 5 e-x +
1
3x
j y= 2xex -1 + 5x.sin2x k y =
2
1
4x
x
Bài 26 Tìm đạo hàm của các hàm số
a y = x.lnx b y = x2lnx -
2
2
x
c ln( x 1x2 d y = log3(x2- 1
e y = ln2(2x – 1 f y = x.sinx.lnx g y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3
Bi 27 Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mn hệ thức tương ứng đã cho.
1 y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2 y = ln(cosx ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3 y = ln(sinx ; y’ + y’’sinx + tan2
x
= 0
4 y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5 y = ln2x ; x2.y’’ + x y’ = 2
@ Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
a Dạng cơ bản:0 a 1
( )
a
b Các phương pháp giải
Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 2x4 3 4
2 6 5 2
2x x 16 2 3 32x3 9x23x5
4 2x2 x 8 41 3 x
5 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 6
4
7 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 8 (1,25.1 – x = (0,64)2(1 x)
9 3x+1+ 3x+2+3x+3 = 9.5x+ 5x+1+5x+2
2
2 16 2
12 2x 2x 1 2x 2 3x 3x 1 3x 2
Trang 8Dạng 2 đặt ẩn phụ ( Cần nắm vững.
Bài 2 : Giải các phương trình
1 22x + 5 + 22x + 3 = 12 2 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
3 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 4
1
5 5 x 53 x 20
6 4 15 x 4 15x 2
7 5 2 6 x 5 2 6 x 10
8)32x1 9.3x 6 0
(TN – 2008
9 7x 2.71x 9 0
(TN – 2007 10 22x2 9.2x 2 0
(TN –2006
11 4x+1-6.2x+1+8=0 12.5 24 x 5 24x 10
;
13 3 5x 16 3 5x 2x3
14 3.25x + 2.49x =5.35x
15 31+x+31-x =10 16.34x+8-4.32x+5+27=0
17 4x+1-6.2x+1+8=0 18.64x -8x-56=0 19 3.4x-2.6x=9x
Dạng 3 Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a 2x - 2 = 3 b 3x + 1 = 5x – 2 c 3x – 3 = 5x27x12
d 2x2 5x25x6 e
1
5 8 500
x
f 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu (nâng cao
Bài 4: giải các phương trình
a 3x + 4 x = 5x b 3x – 12x = 4x c 1 + 3x/2 = 2x
Bi tập lm thm
1 4x 2.2x1 4 0 2 9
1
3 2 4 1
x x
3 2 2 5 6 1
x x
1
2 2 2 5 1
x
x
5 22 22 15
6
2 2
1 2 3 1
x x
7 xlogx(x2)2 9 8 2 2 16 2
5 6
2
x x
7 3 2
1 2
1
2
2 25 0
x x
x
10 52 x= 625 11 16− x=82(1− x) 12 2 log 8 (x2
−6 x+9 )=3 2 logx√x −1
13 101+ x2−10 1− x2=99 14 (0,2.x-1 = 1 15 (13)3 x −1=3
16 4x2−3 x+2=16 17 (12)x
2
−2
=24 −3 x 17 (3 −2√2)2 x=(3+2√2)
18 (√5+2)x− 1
=(√5− 2)
x −1 x+ 1 19 3 |x2−5| =9x+1 20 5x−❑ √x2
+4 =25
21 3x.2x+1 = 72 22 (12)x +7.(12)1 −2 x=2 23 4x +1 3x −3 5x+ 1= 20√60
27
24 5x+1 + 6 5x – 3 5x-1 = 52 25 2 3x+1 – 6 3x-1 – 3x = 9
Trang 926 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1
Giải các phương trình.
1 4x + 2x+1 – 8 = 0 2 4x+1 – 6 2x+1 + 8 = 0
3 34x+8 – 4 32x+5 + 27 4 31+x + 31-x = 10
5 5x-1 + 53 – x = 26 6 9x + 6x = 2 4x
7 4x – 2 52x = 10x 8 27x + 12x = 2 8x
9 (2+√3)x+(2 −√3)x=2 10 (√7 −√48)x+(√7+√48)x=14
11 (√6+√35)x+(√6 −√35)x=12 12 (7+3√5)x+(7 − 3√5)x=14 2x
13 32x+4 + 45 6x – 9 22x+2 = 0 14 8x+1 + 8.(0,5.3x + 3 2x+3 = 125 – 24.(0,5.x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1 Đưa về cùng cơ số
Bài 1: giải các phương trình
a log4(x + 2 – log4(x -2 = 2 log46 b lg(x + 1 – lg( 1 – x = lg(2x + 3
c log4x + log2x + 2log16x = 5 d log4(x +3 – log4(x2 – 1 = 0
e log3x = log9(4x + 5 + ½ f log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g log2(9x – 2+7 – 2 = log2( 3x – 2 + 1 h log 3x 2 log 3x 2 log 5 3 (TN L2 2008
Dạng 2 đặt ẩn phu ( Cần nắm vững
Bài 2: giải phương trình
a
1
4 ln x2 ln x b logx2 + log2x = 5/2
c logx + 17 + log9x7 = 0 d log2x + 10log 2x 6 9
e log1/3x + 5/2 = logx3 f 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
g
2
log x 3log x log x 2
h lg 16 l g 64 3x2 o 2x
Dạng 3 mũ hóa
Bài 3: giải các phương trình
a 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x b log3(3x – 8 = 2 – x
Bài tập làm thêm
1 log2x(x + 1 = 1 2 log2x + log2(x + 1 = 1 3 log(x2 – 6x + 7 = log(x – 3
4 log2(3 – x + log2(1 – x = 3 5 log4(x + 3 – log2(2x – 7 + 2 = 0
6 log√ 5x log25x
log5x =log1252 x 7 7logx + xlog7 = 98 8 log2(2x+1 – 5 = x
9 101+ x2
−10 1− x2
= 99 10 x lg x1 =10x4 11 xlog2x+4
=32
12 log2x log22 x=log24 x 13 lg2x −3 lg x=lg x2−4 14 log2
2x+
6 1+log2x=3
Trang 1015 log2x+log2(x −1)=1 16 log2x+log4x+log8x=33
6
17 log2(9 − 2x)=3 − x 18 3 log3x − log9x=5
19 log3x+log93 x +log27x=5
3 20 log2x+log4x=log1
2
√3
21 logx 2 − log4x +7
6=0
Giải các phương trình.
1 log22(x - 1.2 + log2(x – 1.3 = 7 2 log4x8 – log2x2 + log9243 = 0
3 3√log3x −log33 x=3 4 4log9x + logx3 = 3
5 logx2 – log4x + 76=0 6 1+log3x
1+log9x=
1+log27x
1+log81x
7 log9(log3x + log3(log9x = 3 + log34 8 log2x.log4x.log8x.log16x = 32
9 log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x
Bài tập: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ(0a1)
* Chú ý: -Hàm số y=ax đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1
- Cách giải phương trình mũ vẫn cồn đúng cho việc giải bpt mũ
f x g x f x g x neu a
f x g x neu a
.
b a
f x
b a
Bài 1: Giải các bất phương trình ( Cùng cơ số.
a 16x – 4 ≥ 8 b
2 5 1
9 3
x
6 2
d 4x2 x 6 1
2
1
2
x x
x
f 52x + 2 > 3 5x
Bài 2: Giải các bất phương trình ( Đặt ẩn phụ.
a 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c
4x 2x 3
d 5.4x+2.25x 7.10≤ x e 2 16x – 24x – 42x – 2 15 ≤ f 4x +1 -16x 2log≥ 48
g 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 3: Giải các bất phương trình
a 3x +1 > 5 b (1/2 2x - 3≤ 3 c 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2
Giải các bất phương trình sau.
1 5 2 1 125
X
X
2 73 6 1
x
Trang 113 3
1
27 x
4
4 2
1 2 5 4
x x
5 ( 3)2 9x2
x
6
3 7 7
3
3
7 7
7
2 2
2
7
8 2
8 25x 4 5x 5 0
9
3 3
1
2
9
2
2
x x x
x
10 4x 2x 2 0
11 3 4x 2 6x 9x
12 2 2 2 3 2 4 5 1 5 2
x
13 62 3 2 7 33 1
x x
x
14 3x 9.3x 100
6
3
Giải các bất phương trình
1 32 5 1
x
2 27x < 3
1
1 2 5 4
x x
4 62 3 2 7 33 1
x x
x
5 9 3 1 4
x
x
6 3x – 3-x+2 + 8 > 0
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
* Chú ý: -Hàm số logarit đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1
- Cách giải phương trình logarit vẫn còn đúng cho việc giải bpt logarit
Trang 12( ) ( ) ( ) ( ) 0 1
neáu neáu
.log
b
f x
b
neáu neáu
Bài 1: Giải các bất phương trình ( Cùng cơ số.
a log4(x + 7 > log4(1 – x b log2( x + 5 ≤ log2(3 – 2x – 4
c log2( x2 – 4x – 5 < 4 d log1/2(log3x ≥ 0
e 2log8( x- 2 – log8( x- 3 > 2/3 f log2x(x2 -5x + 6 < 1
g 13
2
x x
Bài 2: Giải các bất phương trình ( Đặt ẩn phụ.
a log2
2 + log2x ≤ 0 b log1/3x > logx3 – 5/2
c log2 x + log2x 8 ≤ 4 d
1
1 log xlogx
e
16
2
1
x
3 1 3 log (3 1).log ( )
16 4
x
Bài 3 Giải các bất phương trình
a log3(x + 2 ≥ 2 – x b log5(2x + 1 < 5 – 2x
c log2( 5 – x > x + 1 d log2(2x + 1 + log3(4x + 2 ≤ 2
Giải các bất phương trình sau:
1 log2 x 5
2
) 2 ( log ) 1
(
2
1
2 log
) 2
(
log0.25 0.25
x x
4
6 log
log
log
3
1 3
5
0 2 log
log
2 1 2
2
6 ln(5 10) ln( 2 6 8)
x
7
4 ) 8 2 (
2
1 x x
8 log ( 2 1 ) 3
2 x
9 log3( x 3 ) log3( x 5 ) 1
10 52 1 26 5 5 0
x
Trang 1311
5 ) 1 5
(
log
2
3 1 log4
x
x
13 log0,8(x2 + x + 1 < log0,8(2x + 5
14
0 ) 1
2 1 (log
3
x
x
15 log22x + log24x – 4 > 0 16
0 log 3 log
3
x
x
17 log2(x + 4.(x + 2 −6 18 logx 3 x −1
x2 +1 >0 19 |log4x −3|< 1
20 log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 21 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 0
22 log1
3[ (12)x − 1]< log1
2[ (41)x − 3] 23 log4log3 x −1
x +1<log1
4
log1
3
x +1
x −1
Bài tập: TỔNG HỢP MŨ VÀ LOGARIT
1
(9 7) (3 1)
log x log x 2
2
1
(4 2) (2 1)
2 log x log x 0