Tính thể tích của khối lăng trụ.. b..[r]
Trang 1Câu I ( 2 điểm ) Cho hàm số y=x3 – 3x+1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2 Dưạ vào đồ thị ( C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x3 – 3x+1= m3 – 3m+1
Câu II ( 2,5 điểm )
1 Cho phương trình : √3+x+√6 − x −√(3+x)(6 − x) =m
a.Giải phương trình trên với m=3
b.Với những giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm
2 Giải bất phương trình : √3 x +4+√x − 3≤√4 x +9
Câu III ( 2 điểm ) Giải các phương trình sau :
1 3Cosx + sin2x + cotx = 0
2 CX1+6 C2X+6 C3X=9 x2− 14 x
Câu IV ( 3,5 điểm )
1. Cho điểm P(0;3) và hai đường thẳng (d1) : 2x-y-2=0 , (d2) :
x+y+3=0 Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1, d2 lần lượt ở A, B.Viết
phương trình đường thẳng d biết rằng PA=PB
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a và Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a Tính thể tích của khối lăng trụ
b Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ
Câu IV ( 1 điểm ) .Giả sử Δ ABC có các góc nhọn.Chứng minh rằng:
tanA+tanB+tanC 3√3
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: số báo
danh:
Trêng THPT Hµn Thuyªn §Ò thi thö §¹i häc Khèi D
(N¨m häc 2008-2009)
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, Khối:
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
Trang 2Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m – 1.
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
2 Tìm m để hàm số có ba cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo
thành một tam giác có một góc 1200
Câu II:(2 điểm)
1) Giải phơng trình 2cos3x + 2cos2x – sinx – 1 = 0.
2) Giải hệ phơng trình
{ √2x+
3
√y=3
2
√x −
3
√y=
8
y − x
Câu III: (3 điểm)
1 Trong hệ toạ độ 0xy cho ba điểm A(-1; 0), B(2; 4) và C(4; 1).
a.Chứng minh rằng tập hợp những điểm M trong mặt phẳng thoả mãn
3 MA2 + MB2 = 2MC2 là một đờng tròn (C) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đờng tròn (C) đó
b Một đờng thẳng (d) thay đổi đi qua A cắt đờng tròn (C) tại M và N Viết phơng trình đờng thẳng (d) sao cho MN ngắn nhất.
2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng
α Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Câu IV: (2 điểm)
1 Tìm số hạng không chứa x khi khai triển nhị thức P(x) = (3
√x+ 2
√x)15
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y= 5cosx - cos5x với x [− π
4 ;
π
4]
Câu V: (1 điểm) Cho các số dơng c1, c2, c3 thoả mãn c1 > c2 > c3 Chứng minh rằng phơng trình √x − c1+√x − c2=√x − c3 có nghiệm duy nhất
Hết
1 m = 1, y = x4- 2x2
.TXĐ: R lim y x →+∞ =+ ∞ ; lim y x →− ∞ =+ ∞
y, = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1); y’=0 ⇔ x = 0; x = 1; x = -1
0,25
Trang 3àm số đồng biến hai khoảng (-1;0) và (1;+ ∞ )
hs nghịch biến trên hai khoảng (- ∞ ;-1) và (0;1)
ycđ = y(0) = 0; yct = y(-1) = y(1) = -1
0.25
y”=12x2 - 4; y” = 0 ⇔ x = 1
√3 ; x = - 1
√3
điểm uốn M1(- 1
√3 ;-5/9) và M2( 1
√3 ;-5/9)
0.25
Đồ thị
2 Điều kiện có ba cực trị m > 0
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A(0; m-1), B( √m ; - m2+ m - 1), C(- √m ; - m2+ m -1)
0.25
0.5
Nhận xét tam giác ABC cân tại A nên góc BAC bằng
1200
⃗ AB(√m ;−m2) , ⃗AC(−√m; −m2)
cos( ⃗AB ;⃗AC )=-1/2 ⇔ 3m4 – m = 0 ⇔ m = 0 hoặc m
0.5
y’
y
-0
0
-1
0
+
-1+
+ x
1 -1
0
2
-y
x -1
Trang 4= 31
√3 Vậy m = 31
√3
câu II 1 2cos2x(cosx + 1) - (sinx + 1) = 0
⇔ 2(1- sinx)(1+ sinx)(cosx +1) - (1+ sinx) = 0
⇔ (sinx+1)(2cosx - 2sinx - 2sinxcosx + 1) = 0
0.5
sinx = -1 ⇔ x= − π
2+k 2 π
2(cosx - sinx) + (cosx - sinx)2 = 0
⇔ (cosx - sinx)(cosx – sinx + 2) = 0
⇔ cosx – sinx = 0 hoặc cosx – sinx = -2(vô n0)
⇔ tanx=1 ⇔ x= π4+kπ
Vậy pt có n0 x= − π
2+k 2 π và x = π4+kπ
0.5
2 Điều kiện x,y > 0 và x y
Nhân vế với vế của hai pt, ta đợc 4x −9
24
y − x
⇔ 9x2 - 37xy + 4y2 = 0 ⇔ (y - 9x)(4y - x) = 0
⇔ y = 9x hoặc x = 4y
0.5
y = 9x thay vào pt 1) ta đợc x = 1; y = 9 x = 4y thay vào pt 1) ta đợc x = 4; y = 1
Vậy hệ có hai nghiệm (1; 9) và (4; 1)
0.5
Câu
III
1 Gọi M(x; y) khi đó
⃗MA (−1 − x ;− y) , ⃗MB(2 − x ; 4 − y ) , ⃗MC(4 − x ; 1 − y )
0.5
3 MA2 + MB2 = 2MC2 ⇔ x2 + y2 + 9x - 2y - 11/2 = 0
⇔ (x + 9/2)2 + (y - 1)2 = 107/4
Vậy M thuộc đờng tròn có tâm I(-9/2;1) và R= √107
2
0.5
2 IA < R nên A nằm trong đờng tròn
H là trung điểm MN thì IH vuông góc MN
MN = 2MH = 2 √R2− IH2 Do đó MN min ⇔ IH max
Ta có IH IA Vậy IH max ⇔ H trùng A tức ⃗ IA là một véc tơ pháp tuyến của (d)
1.0
Trang 5Viết phơng trình (d): 7x-2y+7=0
3 Gọi H là giao điểm của AC và BD Khi đó AH là đờng cao của hình chóp
Diện tích hình vuông ABCD: S = a2
0.5
Gọi M là trung điểm AB Ta có SM = a2cotα
2 và tính
đợc SH= a
2√cot2α
2− 1 Vậy V= 1
6a
3
2− 1
0.5
CâuIV 1 Ta có
P(x) = ∑
k=0
15
C15k (√3x)15 −k(√2x)k = ∑
k=0
15
C15k 2k x
30− 5 k
6
0.5
Số hạng không chứa x tơng ứng với 30 −5 k6 =0 ⇔ k=6
Vậy số hạng không chứa x là C156 .26=320320
0.5
A H
I
A M
B
D
H
C S
Trang 62 y’ = -5sinx + 5sin5x; y’=0 ⇔ sin5x = sinx
⇔
2
x= π
6+
kπ
3
¿
vì x [− π
4;
π
4] nên x = 0; x = π6 ; x = - π6
0.5
f(0) = 4; f( π6 ) = f(- π6 ) = 3√3 ; f( π4 ) = f(- π4 ) =
3√2 Vậy x ∈Max[− π
4;
π
4] f(x) = f(
π
6 ) = f(- π6 ) = 3√3 ;
Min
x ∈[− π
4;
π
4] f(x)=f(0)=4.
0.5
Câu V
phơng trình đa về dạng √x −c1
x − c3 + √x −c2
x − c3 - 1 = 0 Với
đk x ∈¿ Xét hàm số f(x)= √x −c1
x − c3 + √x −c2
x − c3 -1=0, với x ∈¿
Dễ thấy y = f(x) liên tục trên x ∈¿
.f’(x)= c1− c3
2√(x −c1)(x − c3)(x − c3) + c1− c3
2√(x −c1)(x − c3)(x − c3)
>0 với x ∈¿ Do đó hàm số f(x) đồng biến trên x ∈¿
0.5
Mặt khác f(c1)= √c1−c2
c1−c3−1 <0 và x →+∞lim f(x)=1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x0∈¿
0.5