Cách giải các hệ phương trình thường gặp trong vật lý

Những điểm thuộc mặt phẳng vuông góc với trục đối xứng rẽ thì có điện thế bằng nhau (các cạnh có điện trở bàng nhau), chập các điểm đó lại. Những điểm nằm trên trục ta có thể tách ra.. d[r]

Phần Phụ lục

1 Cách giải các hệ phương trình thường gặp trong vật lý

1.1.Dạng 1: Giải hệ

x + y = a (1)

y + z =b (2)

x + z = c (3)

Cách giải Hệ phương trình dạng (1)

Thông thường học sinh dùng phương pháp thế khi giải bài toán này Thực chất khi dùng phương pháp này thì vẫn giải dễ dàng bài toán Nhưng khi gặp dạng thế này ta dùng cách giải đặc biệt sau thì giải quyết bài toán rất nhanh

Cộng từng vế của 3 phương trình trên ta được phương trình mới:

x + y + z = 12 ( a +b + c) (4) Trừ lần lượt từng vế của phương trình mới cho các phương trình còn lại

ta tìm được các giá trị:

(4) và (1)  z

(4) và (2)  x

(4) và (3)  y

1.2.Dạng 2: Giải hệ

z (y + x ) / ( x + y +z ) = a (1)

y ( x+ z) / ( x + y +z ) = b (2)

x (y + z ) / ( x + y +z ) = c (3)

Cách giải Hệ phương trình dạng (2)

Đối với bài toán dạng này thì dùng phương pháp thế gặp rất nhiều khó khăn

và đôi khi bài toán không tìm được đáp số, nhưng nếu dùng cách giải này thì bài toán giải quyết nhanh và hiệu quả rất tốt

Cộng từng vế của các phương trình trên ta được phương trình:

( xy + yz + xz )/ ( x +y +z ) = 12 (a + b +c ) (4)

Trừ lần lượt phương trình (4) cho các phương trình đầu ta được

xy / ( x +y +z )= 12 (a + b +c ) –a = A

xz / ( x +y +z )= 12 (a + b +c ) –b = B

zy / ( x +y +z )= 12 (a + b +c ) –c = C

Chia lần lượt các phương trình vừa tìm được cho nhau ta được 2 phương trình sau:

y/z = A/B và x/y = B/C

Rút các ẩn theo một ẩn (ở đây rút các ẩn khác theo ẩn y) và thay vào một trong các phương trình trên ta được phương trình một ẩn số Giải phương trình một ẩn và tìm

ẩn đó, suy ra các ẩn còn lại

z = y.B/A và x = y.B/C

2 Các ví dụ minh họa trong giải pháp mới.

Ví dụ 1: Cho hộp đen như vẽ 1 Với các dụng cụ vôn kế, ampe kế, nguồn

điện, dây nối và một khoá K Bằng thực nghiệm hãy xác định các điện trở trong hộp

Hình 1

Hướng dẫn cách giải:

Mắc nguồn điện vào chốt 1 và 2, vôn kế vào chốt 1 và 2, ampe kế nối tiếp vào chốt 1 để đo cường độ dòng điện và hiệu điện thế hai đầu R1 và R2 mắc nối tiếp là U1 và I1 Kết quả đưa ra:

R1 + R2 = U1/I1 (1)

Tương tự cho các chốt còn lại ;

R1 + R3 = U3/I3 (2)

R3 + R2 = U2/I2 (3)

R3

3

2 1

Sau bước này học sinh vận dụng cách giải hệ phương trình dạng (1) sẽ tìm được: R1 ; R2 ; R3

Ví dụ 2: Cho một mạch điện

như hình vẽ Biết điện trở của đoạn

mạch là 8 Nếu thay đổi vị trí R1 và

R2 ta được điện trở đoạn mạch là

16, nếu thay đổi vị trí R1 và R3 ta

được điện trở đoạn mạch là 10

Tính các điện trở

Hình 2

Hướng dẫn cách giải:

Đặt : x = R1 , y = R2 , z = R3

Căn cứ bài toán ta có:

x (y + z ) / ( x + y +z ) = 8 (1)

y ( x+ z) / ( x + y +z ) = 16 (2)

z (y + x ) / ( x + y +z ) = 10 (3)

Sau bước này học sinh vận dụng cách giải hệ phương trình dạng (2) sẽ tìm được: R1 ; R2 ; R3

Ví dụ 3: Cho mạch điện gồm 1

biến trở Rx mắc nối tiếp với 1 điện trở

R0 vào nguồn điện có hiệu điện thế

không đổi U Tìm giá trị Rx để công

suất tiêu thụ trên nó là lớn nhất? Hình 3

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: Dùng phép biến đổi

Nguyên tắc chung khi khảo sát một đại lượng theo giá trị biến đổi, thì tốt nhất nên hình thành biểu thức của đại lượng khảo sát theo giá trị biến đổi để

giải quyết

- Hình thành công thức tổng quát tính công suất tiêu thụ của đoạn mạch trên biến trở

Px = I2Rx = U

2

R x

(R x+R)2 (1)

R2 R1 R3

R0 + U

-Rx

Xuất phát từ công thức (1), nhân cả tử và mẫu với 4R ta có:

P x= U2

4 R.

4 RRx

(R+R x)2

Vì ( R

U

4

2

) không thay đổi nên Px {

4 RRX

(R +R x)2 } Thì bước lập luận và nhìn ra chốt bài toán chủ yếu là ở chổ này

Ta có : 4 RRX

(R +R x)2 = (R x+R)

2

−(R x − R)2

(R x+R)2 =1−

(R x − R)2

(R x+R)2

Vì ( Rx - R)2 0, ( Rx + R)2 0 nên thương ( Rx - R)2/ ( Rx + R)2  0

(dấu "=" xảy ra khi Rx = R)

Do đó: 1−(R x − R)

2

(R x+R)2≤ 0

Suy ra Px  (U2/4R)

Dựa theo biểu thức này Px đạt giá trị lớn nhất là (U2/4R)

Khi đó: ( Rx - R)2 = 0, tức là Rx = R

*Kết luận:

Công suất tiêu thụ trên biến trở Rx đạt giá trị lớn nhất là Px= (U2/4R) khi R x

= R

Cách 2: Dùng bất đẳng thức để giải

Cũng từ công thức (1) ta có: Px = U

2

R x

(R x+R)2 = U

2

R x

(R x2 +2 RRx+R2

)

Chia cả tử và mẫu cho Rx ta được: P x=

U2

(R x+2 R+R

2

R x)

Vì U, R là số không đổi nên Px đạt cực đại khi tổng R x+R2

R x đạt cực tiểu

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm: Rx và R R2

x ta có:

R x+R2

R x 2 √R x.R

2

Dấu “=” xảy ra khi Rx = R

2

R x

⇔ Rx = R

Khi đó công suất cực đại trên Rx là Px = (U2/4R)

Cách 3: Giải theo phương trình bậc hai với ẩn là P x

Tư công thức tính công suất trên Rx : Px = U

2

R x

(R x+R)2 Suy ra: Px ( Rx+ R)2 = U2Rx

↔ Px.(Rx )2 -( 2PxR – U2)Rx + Px R2 = 0

Vì công suất trên Rx luôn có, nên luôn tồn tại Rx, nghĩa là phương trình bậc hai theo Rx luôn có nghiệm, hay   0

 (2Px R – U2)2 – 4.Px.PxR2  0

 Px  (U2/4R)

Px đạt cực đại là P(x)max= (U2/4R) Thay vào biểu thức trên ta được Rx= R

Ví dụ 4: Phải dùng ít nhất bao nhiêu điện trở loại r = 5 để hình thành mạch

điện có điển trở 3 ; 6 ; 7

Hướng dẫn cách giải:

Ta áp dụng tính chất:

- Mạch nối tiếp: Rtđ > Rthành phần

- Mạch song song : Rtđ < Rthành phần

*Trường hợp Rtđ = 3

Do Rtđ < r , nên mạch gồm r // R1 sao cho: r R1

r+R1=3 ⇒ R1 = 7,5

Do R1 > r ⇒ r nt R2 và R2 = 2,5 

Do R2 < r ⇒ r//R3 và R3 = r = 5 

Vậy phải mắc mạch điện với 4 điện trở r như sau:

Hình 8

* Các trường hợp khác làm tương tự

Ví dụ 5: Các điện trở đều có giá trị r Hãy tính điện trở toàn mạch.

Hình 9 Hình 10

Hướng dẫn cách giải:

Các điểm nối với nhau bằng dây dẫn thì có điện thế bằng nhau, do đó chập các điểm này lại ta có sơ đồ tương đương Dựa vào sơ đồ tương đương ta dễ dàng tính được điện trở tương đương của đoạn mạch

Ví dụ 6: Cho mạch điện như hình vẽ, mỗi

cạnh có điện trở r (ví dụ như AB, AC, BC,…)

Tính điện trở tương đương khi:

a) Dòng điện đi vào nút A và đi ra ở nút B

b) Dòng điện đi vào nút C và đi ra ở nút D

c) Dòng điện đi vào nút A và đi ra ở nút O Hình 13

*Đây là mạch đối xứng, phương pháp giải các mạch điện này là:

a Xác định các trục đối xứng nếu mạch điện nằm trong mặt phẳng hoặc các mặt đối xứng nếu mạch điện nằm trong không gian

+ Trục hay mặt đối xứng rẽ là đường thẳng hay mặt phẳng đi qua nút vào và nút ra của dòng điện và phân chia mạch điện thành 2 nửa đối xứng nhau

+ Trục hay mặt đối xứng trước sau là đường trung trực hay mặt trung trực nối giữa điểm vào và điểm ra của dòng điện (Không phải nhất thiết mạch điện nào cũng có cả hai trục đối xứng trên)

b Dựa vào sự đối xứng của các đoạn mạch xác định sự đối xứng của các cường độ dòng điện

G E

O

c Những điểm thuộc mặt phẳng vuông góc với trục đối xứng rẽ thì có điện thế bằng nhau (các cạnh có điện trở bàng nhau), chập các điểm đó lại Những điểm nằm trên trục ta có thể tách ra

d Những điểm nằm trên trục đối xứng trước sau ta có thể chập lại hoặc tách ra Với bài toán trên ta xác định trục đối xứng rồi dựa vào quy tắc chập điểm hay tách điểm rồi vẽ lại sơ đồ mạch điện và đi tính điện trở tương đương

a) Tính RAB = ?

Ta chọn AB là trục đối xứng rẽ

Đặt các điện trở r có số thứ tự như hình vẽ

Hình 14 Hình 15 Khi đó các đoạn CD và EG, AC và AE, BD và BG, OC và OE, OD và CG đối xứng nhau qua AB Do đó các điểm C và E, D và G có cùng điện thế nên ta chập C với E, D với G

Điểm O nằm trên trục nên tách O ra ta có sơ đồ tương đương (Hình 15) Hoặc có thể vẽ sơ đồ tương đương như hình 16

Hình 16 Dựa vào mạch điện tương đương 15 hoặc 16 ta tính được RAB = 4r/5

b) Tính RCD= ?

Lúc này mạch chọn trục đối xứng trước sau là hk

Điểm O nằm trên trục này nên tách O ra ta có sơ đồ tương đương (Hình 18)

Từ sơ đồ tương đương ta tính được: RCD = 11r/20.

Hình 17

Hình 18

c) RAO = ?

Tương tự ta chọn trục đối xứng rẽ của mạch là đường AB Ta chập E với C,

D với G, ta có sơ đồ tương đương (Hình 20):

Ta tính được RAO = 9r/20

Ví dụ 7: Cho mạch điện như hình vẽ Biết UAB = 21V không đổi, R1 = 3 Ω Biến trở có điện trở toàn phần là RMN= 4,5 Ω Đèn có điện trở Rđ =4,5 Ω Ampe kế, khóa K và các dây nối có điện trở không đáng kể Khi K mở, xác định giá trị phần điện trở RMC của biến trở để độ sáng của đèn yếu nhất?

Hình 22

Hướng dẫn cách giải:

Gọi RMC = x → RCN = RMN - x

Khi K mở, mạch điện gồm: R1 nt x nt [R2 // (RCN nt Đ)]

Tính được điện trở toàn mạch: Rm = − x2+6 x +81

13 ,5 − x

Cường độ dòng điện mạch chính: I= U

R m=

21(13 ,5 − x)

− x2 +6 x +81

Áp dụng công thức chia dòng tính được cường độ dòng điện qua đèn:

R2+(RMN− x +R đ)=

94 ,5

− x2+6 x+81 (*) Dựa vào (*) ta thấy: Iđ nhỏ nhất khi (-x2 + 6x + 81) lớn nhất

Ta có: (-x2 + 6x + 81) = 90 - (x- 3)2 90

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3

Khi đó Iđ min = 94,5/90 = 1,05A

Ví dụ 8: Bốn điện trở giống hệt nhau ghép nối tiếp vào một nguồn hiệu điện

thế không đổi UMN = 120V Dùng 1 vôn kế V mắc vào giữa M và C, nó chỉ 80V Vậy nếu lấy vôn kế đó mắc vào 2 điểm A và B thì số chỉ của V là bao nhiêu?

Hình 23

Hướng dẫn cách giải:

Gọi RV là điện trở của vôn kế

Theo hình 24, áp dụng công thức chia thế cho đoạn mạch nối tiếp ta được:

UMC

UMN=

RMC

RMN=

3 RRV

3 R+R V

3 RRV

3 R+R V+R

⇔80

120=

3 RRV

4 RRV+3 R2 ⇒ R V=6 R

Theo hình 2, ta có: RAB= RRV

R+R V

= 6

7R

Do đó: UAB

UMN=

RAB

RMN=

6

7 R 6

7 R+3 R

= 2 9

Suy ra UAB = 2/9.120 = 80/3 (V)

Ví dụ 9 : Cho mạch điện như

hình vẽ, các ampe kế giống hệt nhau

Các điện trở bằng nhau là r Biết rằng

A2 chỉ 1A, A3 chỉ 0,5A Hỏi A1 chỉ

bao nhiêu?

Hình 26

Hướng dẫn cách giải:

Nhận xét: Các ampe kế có điện trở đáng kể, vì nếu RA= 0 thì A1 làm đoản mạch Do đó trước hết ta phải tìm RA

Áp dụng cho đoạn mạch song song ta có:

I2

I3

=R A+2 r

R A

0,5=2 ⇒ RA = 2r

Để có I1 ta so sánh với I4 thông qua 2 mạch song song, đó là mạch A1 và phần còn lại"

RPQ= 2r 4 r

2r +4 r=

4

3r , RMPQN= 4

3r +r=

7

3r

⇒ I1

I4=

7

3r

2 r=

7

6⇒ I1= 7

6I4 = 7

6(I2 +I3)= 7

4A

Ví dụ 10: Có 1 ampe kế, 2 vôn kế giống nhau và 4 điện trở gồm hai loại mà

giá trị của chúng gấp 4 lần nhau được mắc với nhau như hình 1a Số chỉ của các máy đo là 1V, 10V và 20mA

a) Chứng minh rằng: Cường độ dòng điện chạy qua 4 điện trở trên chỉ có 2 giá trị b) Xác định giá trị của các điện trở mắc trong mạch

Hình 27 Hình 28

Hướng dẫn cách giải:

a) Do vôn kế V2 có số chỉ khác không nên mạch cầu AB không thể là mạch cầu cân bằng Do đó, gọi giá trị của 1 loại điện trở là R thì giá trị của loại điện trở kia là 4R và các điện trở được mắc vào mạch như hình 28 (nếu đổi chỗ 2 điện rở R

và 4R cho nhau thì mạch trở thành cầu cân bằng.)

Nếu V1 chỉ 1V thì điện trở của Vôn kế là: R V=U V 1

I A =

1

⇒ I V 2=U V 2

R V =

10

Vậy vôn kế V1 chỉ 10V, V2 chỉ 1V

Điện trở của vôn kế là: R V=U V 1

I A =

10

0 , 02=500 Ω

Dòng điện qua V2 : I V 2=U V 2

R V =

1

500=0 ,002 A

Ta có: UAB = I1.R + I3.4R = I2.4R + I4.R

→ I1 - I4 = 4 (I2 - I3) (1)

Mặt khác: I1 + I2 = I3 + I4 = I → I1 - I4 = (I3 - I2) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: I1 = I4 và I2 = I3

b) Dựa vào sơ đồ mạch điện hình 1b ta thấy I1 > I3, do đó dòng qua V2 có chiều tư C đến D

+ Tại nút C ta có : I1 = I3 + IV2 → I1 = I2 + 0,002 (Vì I3 = I2) (3)

+ Mặt khác: Tại nút A có: IA = I1 + I2 = 0,02 (4)

Từ (3) và (4) ta tìm được: I1 = 0,011A, I2 = 0,009A

+ Lại có: UV2 = U2 - U1 ↔ 1 = I2.4R - I1.R → R = 40 Ω

Ví dụ 11: Cho mạch điện như hình

vẽ: R1= 1, R2= 1, R3= 2, R4=

3, R5= 1 Hiệu điện thế không

đổi luôn duy trì U=10V Tính cường

độ dòng điện qua các điện trở và

điện trở toàn mạch

Hình 31

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: Thông thường là học sinh khi gặp phải dạng toán này hay đưa về

phương trình 5 ẩn số là I1, I2, I3, I4, I5 Tuy nhiên qua cách giải này thì học sinh phải vất vả để giải phương trình bật nhất 5 ẩn số và dùng kĩ thuật thay thế dần để chuyển về phương trình 1 ẩn Việc giải này có nhiều khéo léo, nếu không thì dẫn đến đường vòng

Giả sử dòng I5 có chiều từ CD

Hình 32

Sử dụng hệ phương trình: U 1+U2 = U

U 3+U4 = U

U 1+U5 = U3*

I1 = I5 + I2 I3 = I4 - I5 Thay số ta được hệ phương trình sau:

I 1R1+I2R2 = U I1+ I2 = 10

I 3R3+I4R4 = U 2I3 + 3I4 = 10

I 1R1+I5R5 = I3R3  I 1+I5 = 2I3

I3 = I4 - I5 I3 = I4 - I5

A

C

D

Giải ra ta được I1 = 4,8A - I2 = 5,2A – I3 = 2,2A - I4 = 1,8A - I5 = 0,4A

Cường độ dòng điện qua mạch chính I = 7A và R =10/7  1,4 Ω

Cách 2: Giải theo ẩn số U1 và U3

Cũng sử dụng 3 phương trình trên nhưng ta chuyển về ẩn U1 và U3

Giải hệ phương trình 3 ẩn số và tìm ra được : U1 = 4,8V; U3 = 4,4V

Suy ra : U2 = 5,2V; U4 = 5,4V; U5 = 0,4V Từ đó tìm ra các cường độ dòng điện và điện trở tương đương toàn mạch

Cách 3: Biến đổi tương đương, chuyển đổi từ mạch tam giác về mạch sao.

Hình 33 Thuận tiện của phương án này là ta tính được điện trở toàn mạch một cách dễ dàng

R13 = ( R1R3) / ( R1 + R5 +R3)

R15 = ( R1R5) / ( R1 + R5 +R3)

R35 = ( R5R3) / ( R1 + R5 +R3)

Điện trở đoạn mạch MB: RMB = ( R( R15+ R2)( R + R4)

15 + R+ R35+R4)

Trở về mạch ban đầu, tìm U1 và U 3  I1 ; I3  I5

Cách 4: Chọn mốc điện thế VB = 0 và ẩn số đi tìm là VC và VD Việc giải bài

roán này chỉ cần sử dụng 2 phương trình tại nút C và nút D

Giải tìm VC và VD  I1, I2,I3, I4,I5 theo cách tính trên

Tóm lại trong 4 cách giải thì cách giải nào cũng có ưu điểm nhất định của

nó, nhưng cách giải 2 và 4 thì học sinh dễ dàng tiếp thu và giải bài toán nhanh hơn

Ví dụ 12: (Bài toán cơ bản)

Trong bộ bóng được mắc như hình

Đ 1

Đ 2

Đ 4 A

M

vẽ, các bóng có cùng điện trở R Cho

biết công suất bóng thứ tư là P4=1W

Tìm công suất các bóng còn lại

Hình 34

Hướng dẫn cách giải:

Nếu giải theo cách thông thường thì bài toán dài hơn, nhưng nếu dùng công

thức (2), (3) ở mục 2.2.5, thì bài toán trở nên đơn giản và gọn hơn

+ Ta thấy Đ4 nt Đ5 nên: P4

P5=

R5

R5=

R

+Mặt khác R45 //R3 nên: P45

P3=

R3

R45=

R

R +R=

1

2 → P3=2 P45=2(P4+P5)=4

W

+ Lại có: R2 nt R345 nên:

P2

P345=

R2

R345=

R

2 R

3

= 3

2P345 =9 W

+ Cuối cùng: R1 // R2345 nên: P1

P2345=

R2345

R1 =

5 R

3

5

3→ P1 = 5

3P2345 =25 W

Ví dụ 13: (Tìm công suất cực đại, cực tiểu và biến trở)

Cho mạch điện như hình vẽ R0= 12 , đèn Đ có ghi 6V-3W Hiệu điện thế U

= 15V không đổi

a) Tìm vị trí con chạy để đèn sáng bình thường

b) Điều chỉnh con chạy về phía A thì đèn sáng như thế nào?

c) Tìm vị trí con chạy để cường độ dòng điện qua biến trở là cực đại

Hướng dẫn cách giải:

+ Sử dụng phương trình tại nút C ta có: C

I = Ix + Iđ

+ Tìm I chính , suy ra Iđ= 15( x +2)/ (-x2 + 12 + 144)

+ Tìm được cường độ dòng điện: Ix =180/{180 – (x- 6)} Suy ra x = 6

Ví dụ 14: Dùng bếp điện để đun nước Nếu nối bếp với U1 = 120V thì thời

gian nước sôi là t1 = 10 phút Nếu nối bếp với U2 = 80V thì thời gian nước sôi là t2

Đ 1 Đ 3

Đ 5 B

- B A+

+

= 20 phút Hỏi nếu nối bếp với U3 = 60V thì nước sôi sau thời gian t3 là bao lâu?

Cho biết nhiệt lượng hao phí tỉ lệ với thời gian đun nước

Hướng dẫn cách giải: Gọi Q là nhiệt lượng cần để nước sôi, k là hệ số tỉ lệ ứng với

3 trường hợp

Ta có: U1

2

R t1−Q=kt1 (1); U2

2

2

R t3−Q=kt3 (3)

Từ (1) và (2) ⇒ kR=U1

2

t1− U22t

t1−t2 (4)

Từ (2) và (3) ⇒ kR=U2

2t2− U32t

t2−t3 (5)

Từ (4) và (5) ⇒ t3=30 ,76 phút

Ví dụ 15: Một nguồn điện có hiệu điện thế U = 32V được dùng để thắp sáng

cho một bộ bóng đèn cùng loại 2,5V -1,25W Dây nối từ bộ bóng đèn đến nguồn

có điện trở Rd =1 Ω

a) Tìm công suất lớn nhất của bộ bóng

b) Tìm cách mắc các đèn trên để chúng hoạt động bình thường Trong các cách mắc đó, cách mắc nào lợi nhất?

Hướng dẫn cách giải:

a) Gọi cường độ dòng điện qua mạch là I

Công suất của mạch là: Pm = U.I = 32 I

Công suất tỏa nhiệt của dây dẫn: Pd = I2.Rd = I2

Ta có: Pm = Pđ + Pd → Pđ = Pm - Pd = 32 I - I2 = I (32 - I) Suy ra: Pđ max ⇔ 32 - I = I → I = 16A

Khi đó: Pđ max = 16(32 - 16) = 256W

b) Giả sử mỗi nhánh gồm có n đèn mắc nối tiêp và bộ đèn gồm m nhánh mắc song song với nhau

→ Số lượng bóng đèn mắc vào mạch là: m.n

Công suất của bộ bóng: Pbđ = 1,25.mn

Cường độ dòng điện định mức của mối bóng đèn: Iđm=Pđm

1 , 25

2,5 =0,5 A