Đề thi chọn HSG giải Toán trên máy tính cầm tay lớp 9, cấp thị xã, năm học 2016 - 2017

Cho tam giác ABC có hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H.[r]

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC: 2016-2017

MÔN THI: GIẢI TOÁN TRÊN MTCT LỚP 9

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (10điểm) Cho biểu thức: P(x) = (2+x2)15 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a29x29 +

a30x30 Tính chính xác giá trị của biểu thức: Q = -2 a1 + 22 a2 – 23a3 + 24a4 -25a5 + +

228a28 - 229a29 + 230a30

Bài 2: (10điểm) Cho phương trình: √a+b√1− x=1+√a −b√1 − x

a Tính x theo a và b

b Tính giá trị của x biết a = 241209; b = 251209

(Lấy kết quả với tất cả các chữ số trên máy)

Bài 3: (10điểm) Kí hiệu   x

là phần nguyên của x

Giải phương trình: 31   3 2    3  x3  1    855

Bài 4: (10điểm)

a Tìm số tự nhiên có 5 chữ số abcde thỏa điều kiện sau: abcde x 9 = edcba

b Tính giá trị biểu thức: P= 6 6 6 6  6 6

Bài 5: (10điểm)

a Cho tam giác ABC có hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H Biết góc BHC = 1190 23'57'' và S AEF 6,7cm2 Tính diện tích tứ giác BEFC (chính xác đến 0,00001)

b Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC = 21cm và biết các góc DAC = 250, góc DCA

= 370, góc BCA = 320 Tính chu vi P và diện tích S của tứ giác ABCD (chính xác đến 0,0001)

Hết

KỲ THI CHỌN HSG CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC: 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM: GIẢI TOÁN TRÊN MTCT LỚP 9

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (10điểm)

Ta có: P(0) = (2+02)15 = a0 + a1.0 + a2 .02 + a3 .03 + + a29 .029 + a30 .030 (1điểm)

Ta có:

= 32768- 2 a1 + 22 a2 – 23a3 + 24a4 -25a5 + + 228a28 - 229a29 + 230a30 (1điểm)

=> Q = P(-2) - 32768 = 615 – 32768 (1điểm) Bấm 615 = 4,701849846x1011

ấn - 7 x1010 = 184984576

(1điểm)

Q = 470184984576– 32768 = 470184951808 (1điểm)

Bài 2: (10điểm)

a √a+b√1− x=1+√a −b√1 − x

⇔√a+b√1 − x −√a −b√1 − x=1 (0,5điểm)

⇔(√a+b√1 − x −√a − b√1 − x)2=12 (1điểm)

⇔ a+b√1− x +a − b√1 − x −2√a2− b2 (1 − x )=1 (1điểm)

⇔2√a2−b2 (1 − x )=2 a −1 (1điểm)

⇔(2√a2−b2(1− x))2=(2 a− 1)2 (1điểm)

⇔ 4[a2−b2(1− x)]=4 a2− 4 a+1 (1điểm)

⇔ 4 a2− 4 b2

+4 b2x=4 a2− 4 a+1 (1điểm)

⇔ 4 b2x=4 b2− 4 a+1

(1điểm)

⇒ x= 4 b2− 4 a+1

4 b2

(0,5điểm)

b Khi a = 241209 , b = 251209 thì x = 0,9999961777 (2điểm)

Bài 3: (10điểm)

Ta có:

31 1

3 2 1, 25992105 1

3 3 1, 44224957 1

(0,5điểm)

3 8 2

(0,5điểm)

3 27 3

3 28 3, 036588972 3

3 64 4

3 65 4, 020725759 4

(0,5điểm)

3125 5

(0,5điểm)

3 216 6

Nên ta có:

3 n 1

  khi n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 (gồm 7 số)

(0,5điểm)

3 n 2

  khi n = 8; 9; 10; 11…; 25; 26 (gồm 19 số) (0,5điểm)

3 n 3

  khi n = 27; 28; 29;…; 61; 62; 63 (gồm 37 số)

(0,5điểm)

3 n 4

  khi n = 64; 65; 66;…; 122; 123; 124 (gồm 61 số) (0,5điểm)

3 n 5

  khi n = 125; 126; 127;…; 213; 214; 215 (gồm 91 số) (0,5điểm)

Do đó :

3

Vậy:

 3 

31 3 2 3 x 1  855

31 3 2 3 215 855

Từ (1) và (2), suy ra: 3  x3 1    3 215 

x

3 216

x

6

x

Vậy S    6

(0,5điểm)

Bài 4: (10điểm)

a Tìm số tự nhiên có 5 chữ số abcde thỏa điều kiện sau: abcde x 9 = edcba

Để số có năm chữ số nhân với 9 được số năm chữ số thì:



(1điểm)

* Trường hợp 1: b = 0

- Vì abcde chia hết cho 9 nên c = 0 hoặc c = 9 (1điểm)

- Thử trên máy tính cầm tay ta được c = 9 (1điểm)

* Trường hợp 2: b = 1

- Vì b = 1 nên d = 7

- Vì abcde chia hết cho 9 nên c = 0 hoặc c = 9

- Thử trên máy tính cầm tay cả c = 0 và c = 9 đều không thỏa điều kiện (1điểm) Vậy số cần tìm là 10989

b) Tính giá trị biểu thức:

P= 6 6 6 6  6 6

P2 = 6+ 6 6 6 6  6 6 (1điểm)

Giải phương trình bằng máy tính cầm tay ta được:

2 0

3

p

p

 









2 0 3

p p

 







Bài 5: (10điểm)

Ta có A = 3600 (900900119 23 57 )0   = 60 36 30   (0,5điểm)

AEF

1

S AE.AF.sin A

2



(0,5điểm) AEF

2S

AE.AF

sin A

= 0

2 6,7 sin 60 36 3



 15,38071368 (0,5điểm) E F H

Mà AE = AC cosA (0,5điểm)

AF= AB cosA (0,5điểm)

Suy ra AE.AF = AB.AC cos2 A (0,5điểm) B C

2

AE.AF

AB.AC

cos A

63,82726018 (0,5điểm)

Vậy ABC

1

S AB.AC.sinA

2



 27,80382 cm2 (0,5điểm)

Do đó S BEFC  S ABC  S AEF  27,80382 – 6,7  21,10382 cm2 (0,5điểm)

b Hình vẽ đúng: (0,5điểm)

Áp dụng định lí hàm số sin:

21 sin(180 25 37 ) sin 37 sin 25



0 0

21sin 37

sin118



AD

;

0 0

21.sin 25 sin118



CD

21 sin(180  35  32 )sin 32 sin 35



0 0

21.sin 32

sin113



AB

;

0 0

21.sin 35 sin113



BC

Chu vi tứ giác ABCD là:

P = AB + BC + CD + DA =

0 0

21.sin 32 sin113 +

0 0

21.sin 35 sin113 +

0 0

21sin 25 sin118 +

0 0

21sin 37 sin118 (0,5điểm)

=

sin 32 sin 35 sin 25 sin 37

21.

sin113 sin113 sin118 sin118

   49,5398(cm) (0,5điểm)

Diện tích tứ giác ABCD là:

SABCD =

0

1

.sin 25

0

1 sin 35

1 ( sin 25 sin 35 )

=

1 21sin 37 21.sin 32

.21( sin 25 sin 35 )

2 sin118  sin113 (0,5điểm)

=

21 sin 37 sin 25 sin 32 sin 35

.

2 sin118 sin113



   136,3250(cm2) (0,5điểm)

HẾT

B

D

350 250

320

A