2) Một phụ nữ có thai 2 con trai. Các cặp sinh đôi có thể giống nhau hoặc không giống nhau. Nhìn chung, 1/3 các cặp sinh đôi là giống nhau. Dĩ nhiên, sinh đôi giống nhau phải có cùng giớ[r]
Trang 1BÀI TẬP THÊM
1) Một hộp chứa 4 viên bi, 3 đỏ và 1 trắng Rút ngẫu nhiên ra 2 bi có hoàn lại (nghĩa là lần đầu
1 bi được lấy ra, ghi lại màu sắc và trả lại hộp để rút tiếp lần 2)
a) Hãy viết 1 không gian mẫu gồm 4 biến cố từ phép thử trên?
b) Hãy viết một không gian mẫu gồm 16 biến cố từ phép thử trên?
c) Tính xác suất của mỗi biến cố trong 2 không gian mẫu vừa viết?
d) Xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu là bao nhiêu?
e) Xác suất để lấy được 2 lần cùng 1 bi là bao nhiêu?
2) Một túi có 15 quả bóng chỉ phân biệt nhau qua màu sắc, gồm 10 quả đỏ và 5 quả xanh Cho
2 tay vào túi và lấy ra 2 quả bóng, mỗi tay một quả và sau đó ghi lại màu sắc của chúng a) Tính ngẫu nhiên ở đây là gì?
b) Không gian mẫu là gì?
c) Biểu diễn biến cố quả bóng bên tay trái màu xanh qua các biến cố sơ cấp của không gian mẫu?
3) Giả sử ta rút ngẫu nhiên 1 lá từ bộ bài tây (rút gọn) gồm 16 lá:
A A A A 2 2 2 2
3 3 3 3 4 4 4 4
Rút ngẫu nhiên 1 lá bài Gọi A: “rút được lá Át”
H: “rút được lá cơ”, D: “rút được lá rô”
a) Tính các xác suất sau: P(A); P(D); P(H); P(A+D); P(A+H); P(D+H)
b) H và D có là 2 biến cố độc lập?
c) D và A có là 2 biến cố độc lập?
d) Rút ngẫu nhiên 3 lá từ bộ bài trên
Tính xác suất để lá đầu tiên là Át Cơ, lá thứ hai là 2 rô, lá thứ ba là 3 bích
Tính xác suất để cả 3 lá đều là Át
4) Máy bay có thể bay với chỉ một động cơ Giả sử cả 2 động cơ của máy bay được thiết kế hoạt động độc lập nhau và xác suất bị hỏng trong một chuyến bay bất kỳ của mỗi động cơ là 1% Tính xác suất để máy bay không hoàn thành được chuyến bay vì lỗi của động cơ là?
5) Rút ngẫu nhiên 50 bi, có hoàn lại từ hộp gồm 3 bi đỏ và 1 bi trắng Tính xác suất bi rút ra không phải màu đỏ kể từ lần đầu tiên xuất hiện dãy 4 bi đỏ liên tiếp? ( Tức là sau khi được liên tiếp 4 bi đỏ thì bi sau đó là màu trắng)
6) Bộ bài gồm 16 lá như trong bài 2 được đảo lên một cách ngẫu nhiên Sau đó ta lấy 3 lá từ phía trên bộ bài Xác suất lá thứ 3 là lá Át? (Đáp số rất đơn giản)
Trang 27) Đồng xu đường kính 1 cm được ném ngẫu nhiên lên một cái bàn được kẻ ô với khoảng cách giữa các ô ngang và dọc là 2 cm Tính xác suất đồng tiền nằm gọn bên trong một hình vuông
mà không chạm phải bất cứ một cạnh nào của hình vuông?
8) Một viên xúc sắc 6 mặt được sơn 2 mặt đỏ (Red) và 4 mặt xanh (Green) Giả sử viên xúc sắc được chế tạo sao cho xác suất xuất hiện của cả 6 mặt là như nhau Tung viên xúc sắc nhiều lần Cho 3 dãy màu sau:
Dãy 1: R G R R G Dãy 2: RGRRRG Dãy 3: GRRRRR
Chọn một dãy màu, bạn sẽ được 25 USD nếu lần tung đầu tiên xuất hiện dãy màu bạn chọn Không cần tính toán gì cả, hãy giải thích xem bạn sẽ chọn dãy màu nào để có khả năng chiến thắng cao hơn
9) Tung 3 cục xúc sắc chuẩn (6 mặt đánh số từ 1 đến 6) Gọi X1, X2, X3 là số chấm mặt ngửa của mỗi cục Tính các xác suất sau:
2
)
10) Bạn chơi một trò chơi với đối thủ mà cả 2 có cơ hội thắng ngang nhau Xét các cặp biến cố sau
a) “Thắng 3 ván trong 4 ván” so với “thắng 5 ván trong 8 ván”
b) “Thắng ít nhất 3 trong 4 ván” so với “thắng ít nhất 5 trong 8 ván”
Trong các cặp biến cố trên Biến cố nào có khả năng xảy ra hơn trong mỗi cặp
11) Hai người A, B nói rằng họ khả năng liên lạc với nhau nhờ thần giao cách cảm Để kiểm tra, người ta cho 2 người A, B vào 2 phòng khác nhau Mỗi lần, người ta sẽ đưa cho người A xem mỗi lần 1 tấm thẻ và người B cần phải viết ra đó là tấm thẻ vẽ hình gì tương ứng Trên mỗi thẻ có thể là hình tròn, hình ngôi sao hoặc hình vuông với xác suất như nhau (cả A, B đều được thông báo điều này) Giả sử ta đưa cho người A xem 10 tấm thẻ Xác suất để người B đoán đúng ít nhất 1 thẻ là bao nhiêu?
12) Vẽ một hình vuông có độ dài cạnh là 1 cm và 1 hình tròn có đường kính 1 cm nằm trong hình vuông (khi này đường tròn sẽ nằm hoàn toàn trong hình vuông và tiếp xúc với các cạnh) Bạn ném một chiếc phi tiêu ngẫu nhiên vào hình vuông sao cho khả năng nó rơi vào mọi điểm trong hình vuông là như nhau Xác suất để phi tiêu rơi vào hình tròn là bao nhiêu?
Ta có thể sử dụng phép thử này để tính gần đúng giá trị của số Pi như thế nào?
Trang 3XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN – CÔNG THỨC BAYES
1) Bộ lọc thư spam được thiết kế bằng cách xem các cụm từ thường xuất hiện trong thư rác Giả sử rằng 80% email là spam Trong 10% các thư spam, cụm từ “free money” được sử dụng, trong khi cụm này chỉ xuất hiện 1% trong các thư không phải spam Một email mới nhận được và có cụm từ “free money” Xác suất thư này là spam là bao nhiêu?
2) Một phụ nữ có thai 2 con trai Các cặp sinh đôi có thể giống nhau hoặc không giống nhau Nhìn chung, 1/3 các cặp sinh đôi là giống nhau Dĩ nhiên, sinh đôi giống nhau phải có cùng giới tính Các cặp sinh đôi không giống nhau có thể cùng giới tính hoặc không Giả sử rằng giới tính của cặp sinh đôi giống nhau bằng nhau trong 2 trường hợp và giới tính của các cặp sinh đôi không giống nhau cũng đồng khả năng trong các trường hợp Với thông tin ở trên, xác suất để cặp song sinh giống nhau là bao nhiêu?
3) Một hộp có một viên bi có thể là màu xanh hoặc đỏ với khả năng như nhau Bỏ ngẫu nhiên thêm 1 viên bi màu xanh vào hộp (khi này hộp sẽ có 2 viên bi), sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi thì được bi màu xanh Xác suất để viên bi còn lại cũng là màu xanh là bao nhiêu?
4) Để chống lại thư rác, Bob cài đặt 2 phần mềm anti-spam Khi có email đến, ta đặt các biến
cố sau:
L: email là hợp pháp (không phải thư rác)
j
M
: phần mềm thứ j nhận dạng email là hợp pháp (j=1,2)
Giả sử rằng 10% email gửi đến Bob là thư rác và 2 chương trình có độ chính xác 90% theo nghĩa P M L j P M L j 9 /10
Giả sử rằng, với một email được gửi đến, dù có
là rác hay không thì kết quả đầu ra của 2 chương trình là độc lập nhau.
a) Tìm xác suất email là hợp pháp biết phần mềm thứ nhất nhận dạng nó là hợp pháp b) Tìm xác suất email là hợp pháp biết cả hai chương trình đều nhận dạng đó là hợp pháp c) Có một email mới đến, Bob chạy chương trình thứ nhất và kết quả là M1 Bob cập nhật lại các khả năng về email và sau đó chạy chương trình thứ 2 để kiểm tra tiếp Đặt
là xác suất mới sau khi chạy chương trình thứ nhất Giải thích ngắn gọn xem hai xác suất sau có như nhau không: P L M1 2 P L M M 1 2
Trang 4ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC
1) Một gia đình có 3 con, ta gọi tên là A, B, C
a) Giải thích bằng trực giác (nhưng rõ ràng) biến cố “A nhiều tuổi hơn B” và biến cố “A nhiều tuổi hơn C” có là các biến cố độc lập không?
b) Tính xác suất “A nhiều tuổi hơn B” biết rằng “A nhiều tuổi hơn C”
2) Có khi nào một biến cố tự độc lập với chính nó hay không? Nếu có, hãy xác định biến cố đó
3) Xét 4 con xúc sắc không tiêu chuẩn và các mặt được đánh số như sau: (giả sử khả năng xuất hiện của các mặt là như nhau)
Tung ngẫu nhiên các cục xúc sắc Đặt A, B, C, D tương ứng là số chấm của các con xúc sắc A,
B, C, D
a) Tính xác suất P(A>B), P(B>C), P(C>D), P(D>A)
b) Biến cố (A>B) có độc lập với biến cố (B>C)? Biến cố (B>C) có độc lập với (C>D)? Giải thích?