b/ Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa.. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.[r]
Trang 1Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008 2009 2 2008
Q =
2008 2014 2008 4016 3 2009
2005.2007.2010.2011
Bài 2: Biết
Bài 3: Chứng minh rằng với < 450, ta có sin2 = 2sin cos
Bài 4: Cho tam giác ABC có ã 0
ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Tính diện tích lớn nhất đó
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho điờ̉m M thuụ̣c miờ̀n trong tam giác ABC Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam
giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R Chứng minh rằng:
a)
MP MQ MR
1
b)
- Hết
-Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008 2009 2 2008
Q =
2008 2014 2008 4016 3 2009
2005.2007.2010.2011
Bài 2: Biết
Bài 3: Chứng minh rằng với < 450, ta có sin2 = 2sin cos
Bài 4: Cho tam giác ABC có ã 0
ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ ợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Tính diện tích lớn nhất đó
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
19b - a 19c - b 19a - c
ab + 5b cb + 5c ac + 5a
Trang 2- Hết
-H ớng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008 2009 2 2008 = 2008 1 2 2008 1 2
= 2
Q =
2008 2014 2008 4016 3 2009
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
Q =
x 3 x 1 x 2 x 3
=
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
= x + 1 = 2009
Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
(2a - b)(5a + 3b) = 0
2a - b = 0 b = 2a 5a + 3b = 0 5a = -3b
Với b = 2a
2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5
Bài 3: Xét ABC có àA 900; àC= Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH ãAMH 2
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m =
a
2
Ta có sin =
c
a ; cos =
b
a ; sin2 =
h m
Do đó 2sin cos = 2 2
2
a a a a a m= sin2
Bài 4:
a/ Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có:
0 c - x 3
MQ = BM.sin60 =
Suy ra diện tích của MNPQ là:
ax c - x 3 a 3
+ Ta có bất đẳng thức:
2
ab ab (a > 0, b > 0)
áp dụng, ta có:
2 2
x + c - x c
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
c
x = c - x x =
2
Suy ra:
2
a 3 c ac 3
Vậy: max
ac 3
8 khi
c
x =
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
b/ Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC Nối BF, trên đoạn
BF lấy điểm F’ Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E'AB; G', H'BC)
A
A
P Q
0
60
x
Trang 3Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên:
E'F' BE' BF' F'G'
E'F' = F'G'
Do đó E'F'G'H' là hình vuông
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông
+ Ta có:
0
= cotg60 =
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB,
cắt AC tại một điểm F duy nhất
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
+ Đặt AE = x Ta có
(c - x) 3
HE = c - x sinB =
2
EFGH là hình vuông, nên
2
Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:
2 2 2
2
3a c
S = EF =
2a + c 3
Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
3 3
3 3
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a
b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a
b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a
19b - a
4b - a
ab + 5b
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
cb + 5c ac + 5a
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
- Hết
-A
G H
E '
F '
G '
H '