Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.. Bước 2: Lũy thừa hai vế đ[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
(Ban cơ bản)
Vấn đề 1: Điều kiện của phương trình f (x)=g (x) .
Điều kiện của phương trình là điều kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa
Chú ý: 1) Phương trình dạng: f (x )1 =√g( x)
Đặt điều kiện:
¿
f (x )≠ 0 g(x)≥ 0
¿ {
¿ 2) Phương trình dạng: f (x )1 = 1
√g(x )
Đặt điều kiện:
¿
f (x)≠ 0 g(x)>0
¿{
¿
Ví dụ 1:Tìm điều kiện của phương trình sau
1) 2 x
x2−4=√x −3 2) x +4
√x − 1=√2− x 3) √2 x +1=1
x 4) x
√x − 1=
2
√x +3
Giải:
1) Điều kiện:
¿
x2− 4 ≠ 0
x −3 ≥ 0
¿{
¿
⇔
x ≠ 2
x ≠ −2
x ≥ 3
¿{ {
⇔ x ≥3
2) Điều kiện:
¿
2− x ≥ 0
x −1>0
¿{
¿
⇔
x ≤ 2
x >1
¿{
⇔1<x ≤2
3) Điều kiện:
¿
x ≠ 0
2 x +1 ≥ 0
¿{
¿
⇔
x ≠ 0
x ≥ −1
2
¿{
4) Điều kiện:
¿
x −1>0
x +3>0
¿{
¿
⇔
x >1 x>−3
¿{
⇔ x >1
Bài tập tương tự: Tìm điều kiện của phương trình sau
1) √3 x −2= 1
2 x+1 2) 3x 7 x 1 2 3) √2 x +7=x − 4
4) x −1 x+1= 2
√3 − x 5) 1− x
2
√1 − x 6) √x+3=
1
x2−1
Vấn đề 2: Phương trình tương đương và phương trình hệ quả.
Trang 2Cho hai phương trình f1(x )=g1(x ) (1) và f2(x )=g2(x ) (2)
Gọi S1 và S2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2)
* Để chứng minh hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau ta chứng minh S1 = S2 Khi đó
ta viết: (1) (2)
* Để chứng minh phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) ta chứng minh
S1 S2 Khi đó ta viết: (1) (2)
Ví dụ 1:
Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:
x4 +1=x 2 +1 (1) và x (x −1)(x +1)=0 (2)
Giải:
(1) x2
(x2−1)=0
⇔ x=0
¿
x=1
¿
x=−1
¿
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là: S1={0 ;−1 ;1}
(2)
⇔
x=0
¿
x=1
¿
x=−1
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={0 ;−1 ;1}
Ta có: S1 = S2 Vậy: (1) (2)
Ví dụ 2: Cho hai phương trình √2 x2− 1=x (1) và 2 x2−1=x2 (2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1)
Giải:
(1)
¿
x ≥0
2 x2−1=x2
¿{
¿
⇔
x ≥ 0
x2=1
¿{
⇔
x ≥0 x=1(n)
¿
x=−1(l)
¿
¿⇔ x=1
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là: S1={1}
Trang 3(2)
x2=1⇔
x=1
¿
x=−1
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: S2={− 1;1}
Ta có: S1 S2 Vậy: (1) (2)
Bài tập tương tự:
1) Chứng minh hai phương trình sau là tương đương:
x2
+x=0 và x+1¿2=0
x2
+¿
2) Cho hai phương trình 2 x2− x=0 (1) và 4 x2
=x (2)
Hãy chứng minh (2) là hệ quả của (1)
Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Q P1(x)
1(x )+
P2(x )
Q2(x)=0
Để giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để mẫu số khác 0.
Bước 2: Quy đồng mẫu số, khử mẫu số đưa về giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai Bước 3: Kiểm tra điều kiện.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1) x2(x − 1)
x=
2 − x
x − 1 (2) 3) 3 x +4 x −2 − 1
x +2=
4
x2−4+3 (3) 4) x+1+ 2
x +3=
x+5 x+3 (4)
Giải:
1) x2(x − 1)
x −1 =1 (1)
Điều kiện: x ≠ 1
Với điều kiện trên, ta có: (1)
⇔ x2
=1⇔ x=1(l)ọ
¿
x=−1(n)
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=− 1
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=−1
2) x (x −1) x +3 +3
x=
2 − x
x − 1 (2)
Trang 4Điều kiện:
¿
x ≠ 0
x ≠ 1
¿{
¿
Với điều kiện trên, ta có: (2)
⇔ x+3+3(x −1)=(2− x) x ⇔ x(x+2)=0 ⇔
x=0(l)
¿
x =−2(n)
¿
⇔ x=−2
¿
¿
¿ Vậy phương trình (2) có nghiệm x=−2
3) 3 x +4 x −2 − x +21 = 4
x2−4+3 (3) Điều kiện:
¿
x ≠ 2
x ≠ −2
¿{
¿ Với điều kiện trên, ta có:
(3) ⇔(3 x+4)(x +2)−(x− 2)=4+3(x2− 4) ⇔9 x+18=0 ⇔ x=−2 (loại do vi phạm điều kiện)
Vậy phương trình (3) vô nghiệm
4) x+1+ 2
x +3=
x+5 x+3 (4) Điều kiện: x ≠ −3
Với điều kiện trên, ta có:
(4)
⇔(x+1)(x+3)+2=x +5 ⇔ x (x+3)=0⇔
x=0(n)
¿
x=−3 (l)
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=0
Vậy phương trình (4) có nghiệm x=0
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1) x −24 +x= 3 x −2
x −2 2) 2 x − 2 x+1 + 3 x
2 x −3=4 3) 2 x − 5 x+1 =3 x −1
x −1 − 1
4) 2 x +5 x +1 −
2 x
1 2 1
1
x
x x
x
6) 2 x +1 x −1 +
3 x+2
x =9
7) 2 x − 4 x +1 + x +3
x − 1=
2 x − 1
x − 2=
2 x − 3
x −2
10) 2 x +3+ 4
x − 1=
x2+3
x −2 x+2 −
1
x=
2
x −3=
7 −2 x
x −3
Trang 5Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu căn.
Để giải một phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong dấu căn bậc chẵn không âm.
Bước 2: Lũy thừa hai vế để khử dấu căn.
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện.
Bước 5: Kết luận.
Chú ý: 1) Tính chất cơ bản:
√A=B ⇔ B≥ 0 A=B2
¿{
2)
A B=0 ⇔
A=0
¿
B=0
¿
¿
¿
¿
¿
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1) √x −3=√9 −2 x (1)
Giải:
Điều kiện:
¿
x −3 ≥ 0
9 −2 x ≥ 0
¿{
¿
⇔
x ≥3
x ≤9
2
⇔3 ≤ x≤ 9
2
¿{ Với điều kiện trên, ta có: (1) ⇔ x −3=9 −2 x ⇔3 x=12 ⇔ x=4 (nhận do thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x=4
2) √x2+2 x −1=x − 1 (2)
Giải: Áp dụng tính chất cơ bản
(2)
⇔
x −1 ≥ 0
x − 1¿2
¿
⇔
¿
¿x ≥1
¿
x2+2 x − 1=x2− 2 x +1
¿
⇔
¿
¿
¿x ≥1
x2+2 x −1=¿
Vậy phương trình (2) vô nghiệm
3) 7+√x2−3 x −1=2 x (3)
Trang 6Giải: Áp dụng tính chất cơ bản
(3) ⇔ √x2−3 x − 1=2 x −7
⇔
2 x − 7 ≥ 0
2 x −7¿2
¿
⇔
¿
¿
¿x ≥7
2
x2−3 x −1=¿
⇔
x ≥7
2
3 x2−25 x +50=0
⇔
¿x ≥7
2
x=5(n)
¿
¿
x=10
3 (l)
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (3) có nghiệm x=5
2√x −5=
3
√x − 5 (4)
Giải:Điều kiện: x>5
Với điều kiện trên, ta có: (4) ⇔ x=6 (nhận do thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (4) có nghiệm x=6
5) (x2− 3 x +2).√x −3=0 (5)
Giải:Điều kiện: x ≥ 3
Với điều kiện trên, ta có: (5)
⇔
x2−3 x +2=0
¿
x − 3=0
¿
¿
¿
¿
¿
*
x2−3 x +2=0⇔
x=1(l)
¿
x=2(l)
¿
¿
¿
¿
¿
(do vi phạm điều kiện)
Trang 7* x − 3=0 ⇔ x =3 (nhận do thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình (5) có nghiệm x=3
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1) x −√2 x+16=4 2) √2 x2
+5 x+1=x+3 3) √x2−7 x +4=x −2
4) √x2− 4 x+2=√1− x 5) √2 x2
+5 x+11=x − 2 6) √x+1=5− x
7) 9 x+√3 x − 2=10 8) √3 x2+x+5=2+ x 9)
√x2−2 x+4=√2− x
10) √2 x2− 4 x −2= x −1 11) √3 x2−9 x+ 1=√x − 2 12) x+√2 x2− 2 x +3=3
13) √3 x2−9 x+1=x − 2 14) √6 x2−12 x+7=1 − x 15) √− x2+3 x +2=3 x −4 16) √− x2+x +4=x+1 17) √2 x2+4 x −1=x +1 18) (− x2+4 x+5) √x − 3=0
19) √2 x2
+x+8=x +4
22) √− x2+2 x +4=3 x − 4 23) √4 x −7=2 x −5 24) x2
√x − 1=
9
√x − 1
25) x
2
−4 x −2
√x −2 =√x − 2 26) √x2− 4= x −1 27) √2 x +1=3 x − 1
Vấn đề 5: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Một số dạng thường gặp:
1) Phương trình dạng: |A|=|B| (*)
Phương trình (*)
⇔ A2
=B2⇔ A=B
¿
A=− B
¿
¿
¿
¿
¿
2) Phương trình dạng: |A|=B (**)
Phương trình (**)
⇔
B ≥0
A2
=B2
¿{
⇔
B ≥ 0 A=B
¿
A=− B
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Trang 8Phương trình (**)
⇔
¿A ≥ 0 A=B
¿
¿
¿
A <0
¿
¿
A=− B
¿
¿
¿
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
1) |2 x −1|=3 x − 4 (1)
Giải:
(1)
⇔
3 x − 4 ≥ 0
3 x − 4¿2
¿
¿
2 x −1¿2=¿
¿
⇔
x ≥4
3
2 x − 1=3 x − 4
¿
2 x −1=− 3 x+4
¿
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
x ≥4
3
x=3(n)
¿
x=1(l)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=3
2) |x − 2|=x2− x − 6 (2)
Giải:
(2)
⇔
¿x −2 ≥0
x − 2=x2− x −6
¿
¿
¿
x −2<0
¿
¿
x − 2=− x2+x+6
¿
¿
¿
⇔
¿x ≥2
x2−2 x − 4=0
¿
¿
¿
x <2
¿
¿
x2=4
¿
¿
¿
⇔
¿x ≥ 2 x=1 −√5(l)
¿
x=1+√5(n)
¿
¿
¿
¿
¿
x <2
¿
x=2(l)
¿
x=− 2(n)
¿
¿
¿
¿{
¿
¿
¿
¿
⇔ x=1+√5
¿
x=− 2
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: x=1+√5 ; x=−2
3) |2 x −1|=|3 − x| (3)
Giải:
Trang 9⇔
2 x − 1=3 − x
¿
2 x −1=− 3+x
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ x=4
3
¿
x=−2
¿
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình (3) có hai nghiệm: x=4
3 ; x=−2
4) |− x2+4 x+7|=|3 x2
+6 x+ 1| (4)
Giải:
(4)
⇔
− x2+4 x+7=3 x2+6 x +1
¿
− x2+4 x +7=−3 x2− 6 x −1
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
4 x2+2 x − 6=0
¿
2 x2
+10 x+8=0
¿
¿
¿
¿
¿
*
4 x2+2 x −6=0⇔
x=1
¿
x=−3
2
¿
¿
¿
¿
¿
*
2 x2+10 x+8=0⇔
x=− 1
¿
x=− 4
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm: x=1 ; x=−3
2 ; x=−1 ; x=− 4
5)
2 1
2
x
x
x
Giải:Điều kiện: x ≠ 2
Trang 10Với điều kiện trên, ta có: (5)
⇔
¿x − 2>0
x2− 1=x2− 2 x
¿
¿
¿
x −2<0
¿
¿
x − 2=− x2+2 x
¿
¿
¿
⇔
¿x >2 x=1
2
¿
¿
¿
x <2
¿
¿
x2− x −2=0
¿
¿
¿
⇔
¿x >2 x=1
2(l)
¿
¿
¿
x<2
¿
x=−1(n)
¿
x=2(l)
¿
¿
¿
¿
¿{
¿
¿
⇔ x=− 1
6) 3 x2+5|x −3|+7=0 (6)
Giải:
(6)
⇔
¿x −3 ≥ 0
3 x2+5(x − 3)+7=0
¿
¿
¿
x − 3<0
¿
¿
3 x2−5(x −3)+7=0
¿
¿
¿
⇔
¿x ≥ 3
3 x2+5 x − 8=0
¿
¿
¿
x <3
¿
¿
3 x2−5 x +22=0 (vn )
¿
¿
¿
⇔
x ≥ 3 x=1(l)
¿
x=−8
5(l)
¿
¿
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình (6) vô nghiệm
Bài tập tương tự:Giải các phương trình sau:
|x2+2 x +3|=7 − x
4) |x2+4 x +5|=3 x+5 5) |2 x+1|=|x − 3| 6)
|x2− 5 x +6|=2 x −3
7) 2x2 5x5 x2 6x 5 8) |2 x −1|=x+1 9) |x2+4 x +3|=x2+3 10) |x2− 4 x +2|=x −2 11) |x2− 1|+4 x=1 12)
|2 x2−5 x+4|=2 x − 1
13) |3 x2− x +2|=2 x +8 14) |x2
+1|= |x2+3 x −2| 15)
|− x2−4 x+2|=3 x+4
16) |− x2+4 x −5|=8 −2 x 17) |2 x2
+3 x +2|=4 x +5 18) |x − 3|=2 x +1
19) |3 x − 2|=2 x+3 20) 2|x −1|=x+2 21)
|x − 2|=2 x − 1
22) |4 x − 9|=3 − 2 x 23) |2 x+1|=|3 x+5| 24)
|2 x+3|=x −1