Đề Khảo sát chất lượng giáo viên cấp THCS Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2015-2016. Môn Toán

Câu 4 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào t[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN; CẤP THCS

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức

1

x



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi

3

x 

c) Tìm tất cả các giá trị của x để P=x2

Câu 2 (1,0 điểm) Cho hàm số

2 x y=

2 có đồ thị  P

và đường thẳng  d

có phương trình y=x-m (m là tham số).

a) Tìm m biết  d đi qua điểm A nằm trên  P và A có hoành độ bằng 2

b) Khi

1 2

m 

, hãy tìm tọa độ điểm M x y 1; 1 thuộc  P và điểm N x y 2; 2 thuộc

 d sao cho x1x2 1 và y1 4y2

Câu 3 (1,0 điểm)

Một ca-nô chạy xuôi một dòng sông trong 4 giờ và ngược dòng trong 3 giờ thì đi được 250km. Nếu ca-nô đó xuôi dòng trong 3 giờ và ngược dòng trong 40 phút thì đi được

140km. Tính vận tốc riêng của ca-nô và vận tốc dòng nước, biết rằng vận tốc của dòng nước

và vận tốc riêng của ca-nô khi xuôi hay ngược dòng đều không đổi

Câu 4 (1,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m1)x m  4 0 (x là ẩn, m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m

Câu 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn O R; , ABlà một dây của  O có độ dài bằng R 3 và

K là điểm chính giữa của cung lớn AB Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BK ( ,

M B K) Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN BM Kẻ đường thẳng qua B song

song với KM cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là P

a) Chứng minh 4 điểm A,N,K,P là các đỉnh của một hình bình hành

b) Chứng minh tam giác KMN là tam giác đều

c) Xác định vị trí của M để tổng MA MK MB  có giá trị lớn nhất

Câu 6 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n29n 2n11

Câu 7 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương và abc 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 5 5 5 5 5

P

a b ab b c bc c a ca

-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

 HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN – CẤP THCS



Câu 1 (2,0 điểm).

Điều kiện xác định của P:

0 1

x x









 1 2 12 4  1 1

1

P





0,25

 

4

x x x

x

Có:

4

3 15 1 5



Suy ra:

3 15

P P     

2 2

x x x

   

      





0,25

4

x

Câu 2 (1,0 điểm)

Khi

1

2

m 

có:

1 ( ) : y

2

d  x

,

2 1 1

y 2

x



(1), 2 2

1 y

2

x

 

(2).

Theo giả thiết: x1x11 (3) và y14y2 (4)

Từ (2) (3) (4) có: 1 1

1

2

y  x   

0,25

Thay (5) vào (1) có: x128x112 0 (6)

Giải (6) (2) (3) (4) (5) ta có: M ( 2; 2),

1 (1; ) 2

N

hoặc M ( 6;18),

9 (5; ) 2

Câu 3 (1,0 điểm)

Gọi vận tốc riêng ca-nô là x km/h, vận tốc dòng nước là y km/h (đk: x>y>0) thì khi

xuôi dòng vận tốc ca-nô là (x+y) km/h, khi ngược dòng là (x-y) km/h 0,25

Ca-nô xuôi dòng trong 4 giờ và ngược dòng trong 3 giờ thì được 250km, ta có

phương trình: 4(x+y)+3(x-y)=250 (1)

Ca-nô xuôi dòng trong 3 giờ và ngược dòng trong 40 phút (2/3 giờ) thì được 140km,

ta có phương trình: 3(x+y)+(2/3)(x-y)=140 (2)

0,25

Từ (1) (2) ta có:

4( ) 3( ) 250 7 250

3( ) ( ) 140

3

x y

x y x y



 







 



(3)

0,25

Giải (3) có: x=35, y=5.

Vậy vận tốc riêng ca-nô là 35km/h và vận tốc dòng nước là 5km/h 0,25

Câu 4 (1,0 điểm):

Có:  ' m12 m 4 m2m5 0,25

2

0

m

Gọi x x1, 2là các nghiệm của PT, khi đó theo định lý Viet ta có:

 

1 2

4

x x m

x x m





 

 

1 2

x x m

x x x x

x x m



 

 Vậy hệ thức cần tìm là x1x2 2x x1 2 10 0,25

Câu 5 (3,0 điểm):

N P

H O K

M

MBAN(2) Từ (1) (2) suy ra PK AN (3) 0,25

Từ (3) (4) suy ra PK, AN là 2 cạnh đối của một hình bình hành hay suy ra đpcm. 0,25

Gọi H là trung điểm của AB, khi đó OH AB

sin

2

AH

AOH

OA

suy ra AOH 600

60 2

AKB AOB AOH 

, tam giácAKB là tam giác đều

0,25

Dấu “=” xảy ra  MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung bé BK

Vậy: MaxMA MK MB   4R M

là điểm chính giữa của cung bé BK . 0,5

Câu 6 (1,0 điểm):

n29n 2n11  n n 11  2n 1 n11 0,25

2n 2 n 11

     Vậy n = 9 là giá trị cần tìm 0,25

Câu 7 (1,0 điểm):

Chứng minh: a5b5a b3 2b a3 2

Thật vậy, a5b5 a b3 2 b a3 2  a a3 2 b2 b a3 2 b2 0

a3 b3 a2 b2 0 a b2a2 ab b2 a b 0

Dấu bằng xảy ra a b

0,25

1 1

a b ab a b b a ab a b b a  a b b a abc  a b c  0,25

b c bc a b c c  a ca a b c  0,25

P

a b c a b c a b c

      , dấu ‘=’ xảy ra khi a b c  1 Vậy P max 1 khi a b c  1

0,25

Yêu cầu:

+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;

+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;

+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa của ý đó.

+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó.

+ Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình của ý nào thì không cho điểm liên quan của ý đó.