Định lý giá trị trung bình trong không gian định chuẩn và ứng dụng

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Khuất VănNinh, khóa luận chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Phương pháp cầuphương giải xấp xỉ phương trình vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội – Năm 2019

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường, các thầy

cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi, động viêntôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Khuất VănNinh, khóa luận chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Phương pháp cầuphương giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra” đượchoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tôi, không trùng lặpvới bất cứ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những kết quả của nhữngnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Người thực hiện

Lê Thị Đỗ

Mục lục

1.1 Không gian Banach 3

1.1.1 Không gian định chuẩn 3

1.1.2 Định nghĩa không gian Banach 4

1.2 Một số không gian hàm 5

1.2.1 Không gian Rn 5

1.2.2 Không gian C[a, b] 5

1.2.3 Không gian Cm[a, b] 6

1.2.4 Không gian L(E, µ) 6

1.2.5 Không gian L (X, Y ) 6

1.3 Sai phân và một số tính chất của sai phân 7

1.4 Công thức cầu phương 8

1.5 Tích phân phụ thuộc tham số 10

1.5.1 Định nghĩa 10 1.5.2 Tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số 10

2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân

2.1 Định nghĩa 122.2 Phương pháp chung 132.3 Ví dụ 16

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích số là một môn học quan trọng trong toán học hiện đại và làngành nghiên cứu về xấp xỉ hàm số, giải phương trình Trong đó thì giải sốphương trình vi – tích phân đóng vai trò nổi bật Các kết quả nghiên cứu vềloại phương trình này đã có các ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoahọc công nghệ, kỹ thuật, kinh tế Trên thực tế đối với các bài toán thực tiễnthì đa số người ta đều không thể tìm ra nghiệm chính xác của phương trình

vi – tích phân Cho nên vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra nghiệm gầnđúng của phương trình đó Từ nhu cầu đó người ta đã tìm ra các phươngpháp giải gần đúng một số phương trình vi - tích phân Chính vì lý do đó em

đã chọn đề tài : “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình vi - tíchphân tuyến tính Volterra” nhằm có điều kiện được hiểu biết sâu hơn về loạiphương trình này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân tuyếntính Volterra

+ Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải, đưa ra phương pháp và các ví dụ áp dụng phươngpháp

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ở chương này, tôi nhắc lại kiến thức về không gian Banach, không gianhàm và một số kiến thức giải tích số phục vụ cho chương sau Nội dung đượctham khảo trong các tài liệu [1], [3], [4]

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian vectơ trên trường K (K là trường

số thực hoặc trường số phức), một hàm số k · k : X → R được gọi là mộtchuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

Nhận xét

1 |kxk − kyk| ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ X

2 Cho X là một không gian định chuẩn và

d : X × X −→ R(x, y) 7−→ d(x, y) := kx − yk

Khi đó d là một metric trên X và gọi là metric sinh bởi chuẩn

1.1.2 Định nghĩa không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

n→∞kxn− xk = 0

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi làdãy cơ bản nếu lim

n→∞kxn− xk = 0Tức là

1.2.2 Không gian C[a, b]

Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa

hai phần tử x(t) và y(t) là d (x, y) = max

a<t<b|x(t) − y(t)| là không gian C[a, b].Không gian C[0, 1] thường gọi tắt là không gian C

Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định

x (t) ∈ C [a, b] : kxk = max

t∈[a,b]|x(t)| 1.2.3 Không gian Cm[a, b]

Không gian Cm[a, b] gồm tất cả các các hàm x (t) xác định trên [a, b] và

có đạo hàm liên tục đến cấp m với chuẩn được xác định bởi

kxk = max

a≤t≤b {|x (t)| , |x0(t)| , ,

x(m)(t)

o

1.2.4 Không gian L(E, µ)

Cho không gian độ đo (E, ς, µ), lập Lp(E, µ) (p ≥ 1) gồm tất cả các hàm

số x (t) đo được theo độ đo µ trên tập E sao cho

a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B

xác định hệ thức (A + B) (x) =Ax + Bx, ∀x ∈ X;

b) Tích có hướng α ∈ K(K = R hoặc K = C) với toán tử A ∈ L (X, Y ) làtoán tử, kí hiệu α (A) xác đinh bằng hệ thức: (αA) (x) = α(Ax), ∀x ∈ X

1.3 Sai phân và một số tính chất của sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số và h = const 6= 0 Ta gọi sai phân cấpmột của f tại x là đại lượng ∆f (x) = f (x + h) − f (x) Tỷ sai phân cấp mộtcủa f (x) là ∆f (x)

h .Một cách tổng quát

∆nf (x) := ∆∆n−1f (x) (n ≥ 1) Quy ước

∆of (x) := f (x) Các tính chất của sai phân

(1) ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là

(i)(x)

Khi đó, ∆nf (x)

hn = f(n)(x + θnh), θ ∈ (0, 1)

1.4 Công thức cầu phương

Bản chất của công thức cầu phương là sự thay thế tích phân bằng tổnghữu hạn

• Ak là hệ số của công thức cầu phương

• xk k = 0, n
là các nút của công thức cầu phương

• Rn là sai số của công thức cầu phương

Đặt Ak = b − a

2n , A0 =

b − a2n , A1 =

b − a

n = A2 = = An−1, An =

b − a2n .Khi đó công thức (1.4.2) có dạng

n

P

k=0

Akϕ (xk) Vậy công thức hình thang chính là công thức cầu phương

2 Công thức Parabol (Simpson)

Giả sử đoạn [a, b] được chia thành 2n phần bằng nhau:

A2n = b − a

6n , A0 =

b − a6n ,

A1 = A3 = = A2n−1 = 2(b − a)

3n ,

A2 = A4 = = A2n−2 = b − a

3n .Khi đó công thức (1.4.3) có dạng

n

P

k=0

Akϕ (xk) Vậy công thức Parabol chính là công thức cầu phương

1.5 Tích phân phụ thuộc tham số

1.5.1 Định nghĩa

Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x ∈ [a, b] và y thuộc một tậphợp số thực K nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc K hàm f (x, y) khảtích trong đoạn [a, b]

Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D thì tích phân

phụ thuộc tham số I(y) =

Gải sử hàm f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo

x ∈ [a, b] mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d] Hơn nữa f (x, y) có đạo hàm riêng

Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d]thì ta có công thức

Chương 2

Phương pháp cầu phương giải

phương trình vi - tích phân tuyến

tính Volterra

Chương này trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tíchphân tuyến tính Volterra loại hai và một số ví dụ minh họa Nội dung củaChương này được tham khảo trong các tài liệu [2], [5], [6]

với u(a), u0(a), , u(n)(0) là điều kiện ban đầu cho trước, K(x, t) là các hạch.

f (x) là hàm liên tục trên [a, b], K(x, t) là hàm liên tục theo hai biến (x, t) ∈ D,

D = [a, b] × [a, b], u(x) là hàm cần tìm với x ∈ [a, b]

Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm của bài toán (2.1-2.2)

Hàm u(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n trên [a, b] được gọi là nghiệm củabài toán (2.1-2.2) nếu thỏa mãn phương trình (2.1) với ∀x ∈ [a, b] và thỏamãn điều kiện ban đầu (2.2)

Giả sử Q = {x0, x1, x2, , xn}, trong đó

a = x0 < x1 < < xn = b, xi+1 = xi+ h, h = b − a

n , i = 0, n − 1

là phép phân hoạch [a, b] theo công thức cầu phương

Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm chính xác của bài toán (2.1-2.2) theo phươngpháp cầu phương là giá trị của nghiệm u(x) của phương trình ở tại các điểm

xi, tức là {u(x0), u(x1), , u(xn)}

Nghiệm của phương pháp cầu phương tại xi được kí hiệu là ui, i = 0, ntức là {u0, u1, , un}

Lấy x ∈ [a, b] Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia

trong đó tk = xk, k =1, m, xk là các mốc của công thức (1.4.1)

Giả thiết rằng giá trị |λRm(Ku)| là nhỏ và có thể không cần tính đến Trongphương trình (2.4) thay x = xi, khi đó phương trình trở thành

trong đó u(n)(x) là đạo hàm cấp n của hàm u(x)

Ta có u(n)(xi) ≈ u(n)i và u(xi) là nghiệm chính xác tại xi, ui là giá trị nghiệmgần đúng của u(x) của phương trình (2.4) tại các điểm mốc xi với sai số

∆ui = |ui − u(xi)|

Ta có thể viết nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác của phương trình (2.3)dưới dạng bảng số

i xi ui u(xi) ∆u(xi)

0 x0 u0 u(x0) ∆u(x0)

1 x1 u1 u(x1) ∆u(x1)

2 x2 u2 u(x2) ∆u(x2)

Sử dụng điều kiện ban đầu u(0) = a0, u0(0) = a1, u (0) = a2, , u(n−1)(0) =

an−1 thay vào công thức (2.3) ta được hệ phương trình đại số tuyến tính có

n phương trình và n ẩn u1, u2, , un chưa biết

ui+1 − ui

0, 1 = 1 +

120

+ Với i = 0 thì u0 = u(0) = 0 Thay i = 0 vào (2.15) ta có

⇔ −0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 10, 05u4+ 10u5 = 1

+ Với i = 5 thay vào (2.15) ta có

+ Với i = 7 thay vào (2.15) ta có

+ Với i = 9 thay vào (2.15) ta có

Ta được hệ phương trình đại số tuyến tính gồm (n+1) phương trình (n+1)

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 10, 05u4+ 10u 5 = 1

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 10, 05u5+ 10u 6 = 1

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 0, 1u5− 10, 05u6+ 10u7 = 1

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 0, 1u5− 0, 1u6− 10, 05u7+ 10u8 = 1

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 0, 1u5− 0, 1u6− 0, 1u7− 10, 05u8+ 10u 9 = 1

−0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 0, 1u5− 0, 1u6− 0, 1u7− 0, 1u8− 10, 05u9+ 10u10= 1

Sử dụng Maple để giải hệ phương trình ta được kết quả như sau

> eqn6 := −0, 1 ∗ u1− 0, 1 ∗ u2− 0, 15 ∗ u3− 10, 05 ∗ u4+ 10 ∗ u5 = 1;

eqn6 := −0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 10, 05u4+ 10u5 = 1

> eqn7 := −0, 1 ∗ u1− 0, 1 ∗ u2− 0, 15 ∗ u3− 0, 1 ∗ u4− 10, 05 ∗ u5+ 10 ∗ u6 = 1;eqn7 := −0, 1u1− 0, 1u2− 0, 15u3− 0, 1u4− 10, 05u5+ 10u6 = 1

trong đó u(xi) là nghiệm chính xác tại xi, ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại

+ Với i = 4 Thay vào (2.19) ta có

+ Với i = 7 Thay vào (2.19) ta có

u9− 2u8+ u7

0, 12 = 0, 7 + 1 + 0, 7 1

20 [u0+ 2u1+ 2u2+ 2u3+ 2u4+ 2u5+ 2u6+u7] − 1

20 [t0u0+ 2t1u1+ 2t2u2+ 2t3u3+ 2t4u4+ 2t5u5+ 2t6u6+2t7u7+ t8u8]

⇔ u10 − 2u9+ u8

0, 12 = 1, 8 + 0.04u0+ 0, 07u1+ 0, 06u2+ 0, 05u3+ 0, 04u4

+ 0, 03u5+ 0, 02u6+ 0, 01u7

⇔ u10− 2u9+ u8− 10−4u7− 2.10−4u6− 3.10−4u5− 4.10−4u4− 5.10−4u3

− 6.10−4u2− 7.10−4 − 4.10−4u0 = 0, 018

Ta được hệ phương trình đại số tuyến tính gồm (n + 1) phương trình (n + 1)

ẩn (u0, u1, , un)

eqn : 6 = u5− 2u4+ u3− 10−4u2− 2.10−4u1− 1, 5.10−4u0 = 0, 013

> eqn7 := u6− 2u5+ u4− 10−4u3− 2.10−4u2− 3.10−4u1− 2.10−4u0 = 0, 014eqn := u6− 2u5+ u4− 10−4u3− 2.10−4u2− 3.10−4u1− 2.10−4u0 = 0, 014

eqn9 := u8− 2u7+ u6− 10−4u5− 2.10−4u4− 3.10−4u3− 4.10−4u2− 5.10−4u1−3.10−4u0 = 0, 016

> eqn10 := u9−2u8+u7−10−4u6−2.10−4u5−3.10−4u4−4.10−4u3−5.10−4u2−6.10−4u1− 3, 5.10−4u0 = 0, 017

eqn10 := u9− 2u8+ u7− 10−4u6− 2.10−4u5− 3.10−4u4− 4.10−4u3− 5.10−4u2−6.10−4u1− 3, 5.10−4u0 = 0, 017

> eqn11 := u10−2u9+u8−10−4u7−2.10−4u6−3.10−4u5−4.10−4u4−5.10−4u3−6.10−4u2 − 7.10−4 − 4.10−4u0 = 0, 018eqn11 := u10 − 2u9 + u8 − 10−4u7 −2.10−4u6− 3.10−4u5− 4.10−4u4− 5.10−4u3− 6.10−4u2− 7.10−4− 4.10−4u0 =

0, 018

> solve({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9, eqn10, eqn11} ,{u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10});

Trong đó u(xi) là nghiệm chính xác tại xi, ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại

Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức parabol (1.4.3) tính tíchphân ở vế phải và công thức tỉ sai phân (2.11) cho vế trái của (2.26) ta có

Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức parabol (1.4.3) tính tíchphân ở vế phải và công thức tỉ sai phân (2.11) cho vế trái của (2.28) ta có

Ta thu được hệ phương trình tuyến tính gồm (n+1) phương trình (n+1) ẩn

eqn5 := u4− 3u3+ 3u2− u1− 3, 3.10−6u0 = 1, 1.10−3

> eqn6 := u5− 3u4+ 3u3− u2− 1, 33.10−5u1− 6, 67.10−6u0 = 1, 2.10−3eqn : 6 = u5− 3u4+ 3u3− u2− 1, 33.10−5u1− 6, 67.10−6u0 = 1, 2.10−3

xi, ∆ui = |ui− u(xi)|.

Kết luận

Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tíchphân tuyến tính Volterra đồng thời trình bày một số ví dụ cụ thể Cấu trúccủa khóa luận bao gồm

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi -tích phân tuyếntính Volterra

Mặc dù tôi đã hết sức cố gắng, song do kiến thức còn hạn chế nên khóaluận không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được ý kiếnđóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện tốt hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn VănTuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội.[2] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạytoán học trên Maple, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội

[3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật HàNội

[4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2009), Giải tíchtập 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

Tiếng Anh

[5] Verlan, A.F and Sizikov, V.C., ( 1986), Integral equation: Methods,algorithm, program (in Russian), Handbook, Naukova, Dumka, Kiev.[6] Wazwaz, A.M (2011), Linear and Nolinear Integral Equation, Springer

1.5.1 Định nghĩa

Giả sử f (x, y) hàm số xác định với x ∈ [a, b] y thuộc tậphợp số thực K đó, cho với y cố định thuộc K hàm f (x, y) khảtích đoạn [a, b]

Nếu hàm f (x, y) xác định. .. điểm chia

trong tk = xk, k =1, m, xk mốc công thức (1.4.1)

Giả thiết giá trị |λRm(Ku)| nhỏ khơng cần tính đến Trongphương trình...

là phép phân hoạch [a, b] theo công thức cầu phương

Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm xác tốn (2.1-2.2) theo phươngpháp cầu phương giá trị nghiệm u(x) phương trình điểm

xi,