Bài giảng chươngII. Bài2 .Hệ Tọa độ đề các trong không gian

Tiết 35: Đ2 Hệ toạ độ đề các vuông góc trong không gian.. Toạ độ của vectơ và của điểm... 1.Hệ toạ độ đề các trong không gian Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau.. Gọi là cá

Tiết 35: Đ2

Hệ toạ độ đề các vuông góc trong không gian.

Toạ độ của vectơ và của điểm

1.Hệ toạ độ đề các trong không gian

Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc

với

nhau Gọi là các vectơ đơn vị t ơng

ứng trên các trục Ox, Oy, Oz

i , j , k

O

x

y Trục Ox gọi là trục hoành.

Trục Oy gọi là trục tung.

Trục Oz gọi là trục cao.

Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ

Chú ý:

1

2

2



j

i

2

=

i j = j k = k i = 0

i j

k

Hệ gồm 3 trục nh vậy gọi là hệ

đơn giản là hệ toạ độ Oxyz

2 Toạ độ vủa vectơ đối với hệ toạ độ

O

x

y

i

j

k

v

A

A’

A1

A2

A3

v = x i + y j + z k

Định nghĩa: Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ

tuỳ ý , Vì 3 vectơ không đồng

phẳng nên có duy nhất bộ 3 số (x; y; z) sao cho :

hoặc v   x ; y ; z 

Kí hiệu: v  x ; y ; z 

Chú ý:

1) x; y; z là các toạ độ t ơng ứng của các điểm A1, A2, A3 trên các trục toạ

độ Ox, Oy, Oz hay:

2) i = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)

x = v i ; y = v j ; z = v k

v  ; ; thì:

3) Nếu

u  ; ;

4) Cho

 x ' ; y ' ; z ' 



















' '

'

z z

y y

x

x v

u

3 2

1, y OA , z OA OA

Bộ 3 số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ

v

slide7

Đối với hệ toạ độ Oxyz, nếu , thì u   x ; y ; z  v   x ' ; y ' ; z ' 

u + v = ( x+x' ; y+y' ; z+z' )

u - v = ( x-x' ; y-y' ; z-z' )

k u = ( kx ; k y ; kz )

Cho: u   x ; y ; z  và v   x ;' y ;' z '  Tính toạ của vectơ u  v

Bài toán:

u = x i + y j + z k

v = x' i + y' j + z' k

Lời giải: Ta có

u + v = (x+x') i + (y+y') j + (z+z') k



u + v = (x+x' ; y+y' ; z+z')



4 Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ

O

y

i

j

k

M

M’

x

x

y

z

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M bất kì

 M = (x; y; z)

5 Định lí: Đối với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm: A = (xA ; yA ; zA) và

B = (xB ; yB ; zB), khi đó:

 x y z 

OM

Toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ



 OM x i + y j + z k

( xB-xA; yB-yA; zB-zA )



AB

Chú ý: ph ơng pháp xác định điểm M(x; y; z)

trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz:

Suy ra M là điểm cần xác định

Định nghĩa:

slide8

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho

điểm A(xA; yA) và B(xB;yB).Nếu điểm M chia đoạn

AB theo tỉ số k ≠ 1 thì M có toạ độ là:

























k

ky y

y

k

kx x

x

B A

M

B A

M

1 1





































k

kz

z z

k

ky

y y

k

kx

x x

B

A M

B

A M

B

A M

1 1 1

k

OB k

OA OM







1

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 thì M có toạ độ là:

Thật vậy: Từ biểu thức này tính toạ độ của vectơ

theo toạ độ của vectơ và

OM

OB

OA

2

; 2

; 2

B

A M

B

A M

B

A

z

y

y y

x

x



x

y

i

j

k

v

A

A’

A1

A2

A3

3 2

1 3

OA OA

= x i + y j + z k

CH2: Cho biết toạ độ của các vectơ trong

hệ trục toạ độ Oxyz

i , j , k

i = 1 i + 0 j + 0 k  i = (1; 0; 0)

j = 0 i + 1 j + 0 k  j = (0; 1; 0)

 k = (0; 0; 1)

k = 0 i + 0 j + 1 k

CH3: Hãy tính các tích vô h ớng sau: v i ; v j ; v k

v i = ( x i + y j + z k ) i = x i i + y j i + z k i = x x CH4: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau

u  ; ; v   x'; y'; z' 









u (x-x') i + (y-y') j + (z-z') k = 0

slide3

CH1: Hãy nêu cách biểu diễn vectơ theo vectơ v i , j , k

®iÓm A(2; 0; 0); B(1; 1; 2): C(2; 1; -1)

1 2

-1

-1

1 2

-1

O

y

x

z

A

B’

C’

slide5