Lý thuyết xác suất và thống kê toán (bài GIẢNG FULL)

Khái niệm xác suất của biến cố Cho A là một biến cố, xác suất của biến cố A, ký hiệu PA Probability of event A occur là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố A

Môn học

thống kê toán

Phần 1: Lý thuyết xác suất

Mục tiêu của phần này là :

Tìm quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên

“ Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc

xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở

thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức

loài người

Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống con người thực ra là những bài toán của lý thuyết xác suất ”

Pierre - Simon Laplace

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1.2 Không gian mẫu và biến cố

Phân loại các biến cố

+) Biến cố ngẫu nhiên, ký hiệu A, B, C,…

+) Biến cố chắc chắn xảy ra, ký hiệu U (hay Ω) +) Biến cố không thể xảy ra, ký hiệu V (hay Ø)

VD1: Gieo một con xúc xắc, đặt

U = (Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm < 7)

V = (Con xúc xắc xuất hiện mặt 7 chấm)

A1 = (Con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm)

AL = (Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ)

Chú ý:

Việc đưa biến cố U và V vào chương trình để hoàn thiện về mặt lý thuyết, trên thực tế ta chỉ quan tâm tới biến cố ngẫu nhiên, vì vậy khi nói biến cố ta hiểu đó là biến cố ngẫu nhiên

2 Xác suất của biến cố, định nghĩa cổ điển về xác suất

2.1 Khái niệm xác suất của biến cố

Cho A là một biến cố, xác suất của biến cố A, ký

hiệu P(A) (Probability of event A occur) là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố A khi thực hiện một phép thử

2.2 Định nghĩa cổ điển về xác suất

 Kết cục duy nhất đồng khả năng (biến cố sơ cấp có

cùng khả năng xảy ra)

 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xét một phép thử, gọi n là số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra, gọi m là số kết cục

thuận lợi cho biến cố A xảy ra, khi đó

 Các tính chất của xác suất

Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 ≤ P(A) ≤ 1

Nếu U là biến cố chắc chắn thì P(U) = 1

Nếu V là biến cố không thể có thì P(V) = 0

Chú ý :

P(A) = 1 chưa chắc A là biến cố chắc chắn

P(B) = 0 chưa chắc B là biến cố không thể xảy ra VD

 Ý nghĩa của Xác suất

Cho biết số đo mức độ chắc chắn xảy ra 1 hiện tượng nào đó khi thực hiện 1 phép thử

Chú ý:

Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử

3 Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ

điển

3.1 Phương pháp suy luận trực tiếp

Tính xác suất bằng cách vẽ hình (biểu đồ Venn, hình

cây…)

Tính xác suất bằng cách liệt kê tất cả các giá trị có thể có khi thực hiện một phép thử, và đếm các kết cục thuận lợi cho một biến cố, sau đó áp dụng công thức tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển (VD trong giáo trình)

VD3

Tung 3 đồng xu giống nhau và mỗi đồng xu cân đối và đồng chất, tính xác suất để có 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa

Lời giải

Gọi A = (Có 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa)

Những khả năng có thể xảy ra khi tung đồng thời

3.2 Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp

2 ).(

1 (

(

!

k k

Một hộp đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm và 5 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên 3 sản

Công ty cần tuyển 5 người, có 20 người nộp đơn trong đó có 8 nam và 12 nữ, giả sử cơ hội trúng tuyển khi nộp hồ sơ của 20 người là như nhau

VD6: 3 khách hàng vào 1 siêu thị có 5 quầy hàng Giả định họ chỉ có nhu cầu mua 1 loại hàng trong 5 quầy hàng

Tính xác suất

i) 3 khách hàng vào 3 quầy hàng khác nhau

ii) Cả 3 khách hàng đều vào quầy hàng số 1

iii) Cả 3 khách hàng đều vào 1 quầy hàng

3.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển

4 Định nghĩa xác suất bằng tần suất

4.1 Tần suất xuất hiện biến cố

Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập, trong n phép thử đó biến cố A xuất hiện k lần, khi đó

tần suất xuất hiện biến cố A ký hiệu là

4.2 Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Khi số phép thử n tăng lên khá lớn (tùy thuộc

tình huống thực tế) thì ta định nghĩa xác suất để biến cố A xảy ra là

) (

) ( A f A

4.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác

5 Nguyên lý xác suất lớn - nguyên lý xác suất nhỏ

Nguyên lý xác suất lớn : Biến cố A được coi là xảy ra trong một phép thử thì thực tế P(A) ≥ 1 – α

với α là xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình huống thực tế

 Nguyên lý xác suất nhỏ : Biến cố B được coi là

không xảy ra trong một phép thử thì thực tế

P(B) ≤ α

VD

6 Mối quan hệ giữa các biến cố

a) Biến cố A xảy ra kéo theo biến cố B

xảy ra gọi là A kéo theo B:

e) Hai biến cố độc lập, hai biến cố phụ thuộc

Chú ý: Với mỗi phép thử có thể có nhiều nhóm đầy đủ

g) Hai biến cố đối lập và

VD7: Một hộp có 10 viên bi: 6 đỏ, 4 xanh Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Gọi các biến cố

A: “Lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ”

B: “Lấy được 3 bi đỏ”

C: “Lấy được cùng lắm 2 bi đỏ”

Xác định quan hệ của A và B, của A và C

VD8: Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp

Gọi A: “sinh viên được chọn giỏi tiếng Anh”

B: “sinh viên được chọn giỏi Toán”

Xác định A+B, AB, , A B A  B

VD9: Hai sinh viên thi môn Kinh tế Vĩ mô

Gọi A1 : “Sinh viên thứ nhất thi đậu”

A2 : “Sinh viên thứ hai thi đậu”

B1 : “Có ít nhất 1 Sinh viên thi đậu”

B2 : “Chỉ có sinh viên thứ nhất thi đậu”

B3 : “Cả 2 sinh viên đều trượt”

Hãy biểu diễn các biến cố B1, B2 , B3 thông qua

A1, A2

P(A 1 +A 2 + + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )

 Nếu các biến cố H 1 , H 2 , …, H n tạo thành một nhóm đầy đủ các biến

cố thì

P(H1) + P(H2) + + P(Hn) = 1

 Nếu A và là hai biến cố đối lập thì

7.2 Xác suất có điều kiện, định lý nhân xác suất

a) Xác suất có điều kiện

cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của

 Cho A và B là hai biến cố phụ thuộc , ta có

P(AB) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A)

P(B)

P

(AB)( / )

P(A)

P

7.3 Công thức Bernoulli

VD

7.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

a) Công thức xác suất đầy đủ

Chú ý :

 Các xác suất P(H1), P(H2), , P(Hn) gọi là các

xác suất tiên nghiệm

Các xác suất P(H1/A), P(H2/A), , P(Hn /A) gọi

là các xác suất hậu nghiệm

 Nhóm các biến cố

(H1/A), (H2/A), , (Hn /A) cũng tạo thành một

nhóm đầy đủ

VD: đọc bài 1.64 sách bài tập

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối

xác suất

1 Biến ngẫu nhiên

1.1 Định nghĩa

+) Biến ngẫu nhiên ký hiệu: X, Y, Z,…

+) Các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên

ký hiệu x, y, z,…

+) Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x ký hiệu là

(X = x) thì đây là một biến cố

VD

1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

a) Biến ngẫu nhiên rời rạc

2 Quy luật phân phối xác suất của biến

3 Bảng phân phối xác suất đối với biến

ngẫu nhiên rời rạc

i i

4 Hàm phân bố xác suất

4.1 Định nghĩa

F(x) = P(X < x)

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

VD: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau

Tìm hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị

X 1 2 4

P 0,25 0,5 0,25

4.2 Các tính chất của hàm phân bố xác suất

F(x) khi ấy ta có các tính chất sau

+) ta có 0 ≤ F(x) ≤ 1

+) và x1 < x2 ta có : F(x1) ≤ F(x2)

+) và a < b

ta có : P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

chất nêu trên còn có các tình chất sau

VD: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố

xác suất như sau

5 Hàm mật độ xác suất đối với biến

ngẫu nhiên liên tục

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật

độ xác suất f(x), khi đó ta có các tính chất sau

g

g

Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận

giá trị trong một khoảng

VD 1 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố xác suất như sau

VD 2 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau

6 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu

nhiên

6.1 Kỳ vọng toán (Expectation) của biến ngẫu nhiên

a) Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc



b) Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên liên tục

VD

Chú ý

Bản chất kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên là

nó phản ánh giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên

c) Các tính chất của kỳ vọng toán

 Với C là hằng số và X là biến ngẫu nhiên ta có

-) E(C) = C

-) E(CX) = CE(X)

 Cho X; Y là hai biến ngẫu nhiên ta có

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

 Mở rộng : Cho X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên ta có

 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu biến ngẫu nhiên X nhận bất kỳ giá trị nào

trong số các giá trị có thể có của nó đều không

làm thay đổi quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y và ngược lại

6.2 Phương sai (Variance) của biến ngẫu nhiên

a) Định nghĩa

V(X) = E[X - E(X)]2 hay V(X) = E(X2) - [E(X)]2

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

Chú ý

Bản chất phương sai của biến ngẫu nhiên là phản ánh mức độ phân tán (hay mức độ đồng đều) của biến ngẫu nhiên

VD

b) Các tính chất của phương sai

i) Với C là hằng số và X là biến ngẫu nhiên ta có

6.3 Độ lệch chuẩn

Ta nhận thấy đơn vị đo của phương sai bằng bình

phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên Vì vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của biến ngẫu nhiên người ta dùng độ lệch

Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

1 Quy luật không - một

a) Định nghĩa: P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1 - p

X ~ A(p)

VD

b) Bảng phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của

biến ngẫu nhiên X ~ A(p)

+) Bảng phân phối xác suất

X 0 1

P 1 - p p

Chẳng hạn:

Giới tính (Nam – Nữ)

Khu vực làm việc (Nhà nước – Tư nhân)

v.v.

2 Quy luật nhị thức (Binomial)

b) Bảng phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của

biến ngẫu nhiên X ~ B(n; p)

+) Bảng phân phối xác suất : đặt q = 1- p

f

+) Các tham số đặc trưng của f

Nếu X1; X2 là các biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và

X1 ~ B(n1; p); X2 ~ B(n2; p) thì biến ngẫu nhiên



VD

Tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp

Tính xác suất để

i) Có 2 lần đồng xu xuất hiện mặt ngửa

ii) Có ít nhất 1 lần đồng xu xuất hiện mặt ngửa

iii) Có lần đồng xu xuất hiện mặt sấp, có lần đồng xu xuất hiện mặt ngửa

iv) Có không quá 1 lần đồng xu xuất hiện mặt sấp

Lời giải

3 Quy luật Poisson

a) Định nghĩa :

b) Bảng phân phối xác suất và các tham số đặc trưng

của biến ngẫu nhiên X ~ P(λ)

+) Bảng phân phối xác suất

4 Quy luật phân phối đều (Uniform)

VD: Khi thâm nhập một thị trường mới doanh

nghiệp chỉ dự kiến được doanh thu hàng tháng có thể đạt được tối thiểu 50 triệu đồng và tối đa 80 triệu đồng Tuy nhiên để đảm bảo hoạt động kinh doanh, doanh nghiệp phải đạt tối thiểu 60 triệu

đồng / một tháng Vậy doanh nghiệp có nên thâm nhập thị trường đó hay không ?

Lời giải :

Chú ý :

Trong thực tế quy luật phân phối đều được sử

dụng khi không có thông tin về biến ngẫu nhiên

5 Quy luật phân phối chuẩn (Normal)

( ) 2

1 ( )

( ) 2

1 ( )

2

t x

 

Hàm mật độ biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn X ~ N(μ ; σ2 )

Biến ngẫu nhiên U được gọi là tuân theo quy luật phân phối

chuẩn hóa và ký hiệu là

Đồ thị hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U

1 ( )

Giá trị của hàm được tính sẵn thành bảng (xem phụ lục 5 giáo trình)

( ) ( )( ) 0,5

c) Giá trị tới hạn chuẩn mức xác suất α ký hiệu

Nếu thay ε = 2σ ta có quy tắc 2σ như sau

Nếu thay ε = 3σ ta có quy tắc 3σ như sau

 2  2 0(2) 0,9544

 3  2 0(3) 0,9974

6 Quy luật khi bình phương

a) Khái niệm:

Cho X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập

b) Giá trị tới hạn khi bình phương ký hiệu

Các giá trị được tính sẵn thành bảng (xem phụ lục 7 giáo trình)





�

b) Giá trị tới hạn student ký hiệu là giá trị thỏa mãn

t    t

Chú ý

Khi số bậc tự do n tăng lên thì phân phối student sẽ hội

tụ rất nhanh về phân phối chuẩn hóa, do vậy với n lớn (thông thường n > 30) thì ta có thể thay giá trị tới hạn

student bằng giá trị tới hạn chuẩn

8 Quy luật Fisher

a) Khái niệm : Giả sử U và V là 2 biến ngẫu nhiên độc lập

b) Giá trị tới hạn Fisher ký hiệu là giá trị thỏa mãn

Giá trị tới hạn Fisher có tính chất

Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều

1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Tổng quát

Đặt X = (X1, X2, …, Xn) thì X gọi là biến ngẫu nhiên n

chiều, các biến ngẫu nhiên thành phần X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên một chiều

Chú ý:

Ta chỉ xét biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X,Y)

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá

trị có thể có của nó là x1, x2, , xn và biến ngẫu nhiên rời rạc Y nhận một trong các giá trị có thể có của nó là

y1, y2, , ym

Ký hiệu p(xi, y j ) = P(X = xi ,Y = yj )

Khi đó ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên hai chiều (X, Y) như sau

1 , 1

  �   �

L L

O

 X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập tương đương với

Nếu tồn tại một cặp (i, j) mà

�

Từ bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) ta tìm được các bảng phân phối xác suất biên thành phần X và Y như sau

Bảng phân phối xác suất biên thành phần X

n

i i i

 Bảng phân phối xác suất biên thành phần Y

m

j j j

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (Y/ X = xi ) hay bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có điều kiện

3 Hiệp phương sai và hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y

Hiệp phương sai ký hiệu là Cov(X,Y) được xác định

Hệ số tương quan được xác định như sau

Các tính chất của hệ số tương quan

Cho X,Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc và a, b là

VD 2 : Gọi X và Y lần lượt là lãi suất của cổ phiếu A và B (đơn vị %) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau

XY

-2 0 5 10

0 0 0,05 0,05 0,1

4 0,05 0,1 0,25 0,15

6 0,1 0,05 0,1 0

i) Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu A thì lãi suất kỳ vọng

và mức độ rủi ro là bao nhiêu ?

ii) Nếu mục tiêu là đạt được lãi suất kỳ vọng lớn nhất thì nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu trên theo tỉ lệ nào ?

iii) Muốn hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào hai loại cổ phiếu trên theo tỉ lệ nào ?

Lời giải

4 Kỳ vọng có điều kiện, khái niệm hàm hồi quy

n

i i i

Chương 5 Các định lý giới hạn

Định lý Bernoulli

Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi

phép thử thì với mọi ε > 0 bé tùy ý ta luôn có

Định lý Bernoulli chứng tỏ sự ổn định của tần suất

xung quanh giá trị xác suất của biến cố A

Định lý giới hạn trung tâm

Giả sử X1, X2, , Xn, là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó với kỳ vọng và phương sai hữu hạn

Phần 2: Lý thuyết thống kê toán

Mục tiêu của phần này là :

Ra quyết định trong trường hợp thiếu thông tin

Chương 6

Cơ sở lý thuyết mẫu

1. Khái niệm phương pháp mẫu

 Khi nghiên cứu một vấn đề (hay đối tượng) kinh tế - xã

hội nào đó, ta cần xem xét trong những tập hợp hay môi trường xác định.Tập hợp đó có cùng tính chất là chứa

đựng các dấu hiệu cần nghiên cứu và các phần tử của tập hợp là có tính tương đồng, chứa đựng thông tin về vấn đề

ta quan tâm

 VD : Ta muốn nghiên cứu về

+) Thu nhập của người lao động Hà Nội

+) Chất lượng sản phẩm của nhà máy sản xuất quạt điện

 Khi nghiên cứu một vấn đề (hay đối tượng) kinh tế - xã hội ta cần xác định rõ

+) Dấu hiệu nghiên cứu (định lượng, định tính)

+) Đối tượng nghiên cứu (người lao động, sản phẩm…)

+) Phạm vi nghiên cứu (Hà Nội, Nhà máy,…)

 Mục đích nghiên cứu

+) Muốn phân tích những gì ? Để là gì ?

+) Cần xác định các tham số nào ? Để làm gì ?

 Số liệu để nghiên cứu

+) Điều tra (hay khảo sát) toàn bộ các phần tử

+) Điều tra (hay khảo sát) một số phần tử đại diện

 Vì sao ít khi điều tra toàn bộ mà chỉ điều tra một số phần tử đại

diện hay còn gọi là điều tra mẫu ?

 Thế nào là phương pháp mẫu ? Phương pháp mẫu gồm những bước nào ?