Gián án Tiết 45 - 46: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga.. Định nghĩa: SGK/77 nr Vectơ khác vectơ đ ợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  nếu …... Vectơ pháp tuyến của mặt phẳnga.. Cả ba vectơ trên là v

TiÕt45, 46 ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t

cña mÆt ph¼ng



O x

y

z

M0

n r

M

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa: SGK/77

nr

Vectơ khác vectơ đ ợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () nếu … .

0r

Em hãy đọc định nghĩa SGK trang 77 và

điền vào chỗ trống …

nó nằm trên đ ờng thẳng vuông góc với

mặt phẳng ()

Ký hiệu: n r ^ ( ) a

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa: SGK/77



n r

m ur

u r

Em hãy quan sát vào hình vẽ và

chọn ph ơng án đúng

n r

B Chỉ có vectơ là vtpt của ()

A Vectơ là vtpt của ()u r

C Cả hai vectơ và là

vtpt của ().

n r

m ur

D Cả ba vectơ trên là vtpt

của ().

Vậy theo em một mặt phẳng có bao nhiêu vec tơ pháp tuyến?

Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian cho điểm M0 và một vectơ n r

Theo em có tồn tại một mặt phẳng đi qua M 0

và vuông góc với vectơ trên không? Nếu có

thì có bao nhiêu mặt phẳng nh thế?

M0

n r

Mặt phẳng () hoàn toàn đ ợc xác

định nếu biết một điểm thuộc nó và một

vectơ pháp tuyến của nó.



1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a r

b r

B»ng trùc quan em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ

gi÷a vect¬ a, vect¬ b vµ ()?

b) Chó ý:



Hai vect¬ vµ nãi trªn

cßn gäi lµ cÆp vect¬ chØ ph ¬ng

cña mÆt ph¼ng ().

a r

b r

Hai vect¬ kh«ng cïng

ph ¬ng vµ cïng song hoÆc n»m trªn ()

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a r b r



a r

b r



a r

b r

H×nh 1

H×nh 2

H×nh 3

Em h·y cho biÕt h×nh nµo mÆt ph¼ng () cã cÆp vect¬

chØ ph ¬ng?

§¸p sè: H×nh 2 vµ h×nh 3

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng



a r

b r

§Æt n r = [ , ] a b r r

Em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a vect¬ víi hai vect¬ vµ ? a r

Gîi ý: vµ [ , ] a b r r ^ a r [ , ] a b r r ^ b r

Tr¶ lêi: vµ n r ^ a r n r ^ b r

VËy em cã nhËn xÐt g× vÒ quan hÖ gi÷a

vµ mÆt ph¼ng ()?

n r

n r

1 Vect¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng

a r

b r

b) Chó ý:

 Hai vect¬ vµ nãi trªn

cßn gäi lµ cÆp vect¬ chØ ph ¬ng

cña mÆt ph¼ng ().

a r

b r

 n r = [ , ] a b r r

lµ mét vect¬

ph¸p tuyÕn cña ()

n r



VËy nÕu A, B, C lµ ba ®iÓm

kh«ng th¼ng hµng trong mÆt ph¼ng

() th×



A

B

C

n r lµ mét vect¬ = uur uuur AB AC

ph¸p tuyÕn cña ()

n r

2 Ph ơng trình tổng quát của mặt phẳng

a Bài toán:



O x

y

z Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ()

M0

n r

M0(x0;y0;z0)  () n r

là một vectơ

pháp tuyến của () Tìm điều kiện để điểm M  () M

Giải:

Giả sử M = (x; y; z) M  () 

0

M Muuuuur^ Ûnr M M nuuuuur r0 . =0

 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (*)

Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta đ ợc ph ơng trình:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

2 Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng

* §Þnh lÝ: SGK/ 78

b) §Þnh nghÜa

Ph ¬ng tr×nh d¹ng: Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 ≠ 0

® îc gäi lµ ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng.

c) Chó ý

 NÕu mÆt ph¼ng () qua ®iÓm M0(x0;y0;z0) vµ cã vtpt

th× ph ¬ng tr×nh cña nã lµ:

( ; : )

nr = A B C

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0

 NÕu mÆt ph¼ng () lµ mÆt ph¼ng cã ph ¬g tr×nh:

Ax + By + Cz + D = 0 th× lµ mét vtpt cña nã.nr = ( ; : )A B C

3.Các tr ờng hợp riêng của ph ơng trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn ph ơng trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:

2 By + Cz + D = 0 b Song song với mp Oxy hoặc trùng với mp Oxy

e Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy

Ví dụ: 1 - c

3.Các tr ờng hợp riêng của ph ơng trình tổng quát

Em hãy đọc SGK trang 80 rồi cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0),

B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5):

Ph ơng trình dạng đó đ ợc gọi là ph ơng trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.

4 VÝ dô Tãm t¾t

 NÕu mÆt ph¼ng () qua ®iÓm M0(x0;y0;z0) vµ cã vtpt

th× ph ¬ng tr×nh cña nã lµ:

( ; ; )

nr = A B C

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 )

= 0

 NÕu mÆt ph¼ng () lµ mÆt ph¼ng cã ph ¬g tr×nh:

Ax + By + Cz + D = 0 th× lµ mét vtpt cña nã.nr = ( ; ; )A B C

VÝ dô 1: ViÕt ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua ®iÓm P = (1; -2 ; 3) vµ song song víi

mÆt ph¼ng 2x – 3y + z + 5 = 0.

 P

Q 2x – 3y + z + 5 = 0

(2; 3;1)

nr =

-Gi¶i

MÆt ph¼ng cÇn t×m song song víi mÆt ph¼ng 2x – 3y + z + 5 = 0 nªn nã cã mét vtpt

lµ:nr = (2; 3;1) - VËy ph ¬ng tr×nh cña nã lµ:

2(x – 1) – 3(y + 2) + z – 3 = 0.

hay 2x – 3y + z – 11 = 0

4 VÝ dô

VÝ dô 2: ViÕt ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua ba ®iÓm P = (1; 0; 0),

Q = (0; 2: 0) vµ R = (0; 0; 3)

Gi¶i

( 1;2;0)

-uuur

( 1;0;3)

PR = -uur

MÆt ph¼ng (PQR) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:

2 0 0 1 1 2 [ , ] ; ;

0 3 3 1 1 0

÷

÷

ç -

r uuur uur

(6; 3; 2)

vµ ®i qua ®iÓm P nªn cã ph ¬ng tr×nh lµ:

6(x – 1) + 3(y - 0) + 2(z – 0) = 0



6x + 3y + 2z – 6 = 0.

C¸ch 2: MÆt ph¼ng (PQR) cã ph ¬ng tr×nh theo ®o¹n ch¾n lµ:

1

1 2 3

+ + = Û 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

VÝ dô 3: ViÕt ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB,

biÕt A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)

Gi¶i

4 VÝ dô

Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB th×:

-MÆt ph¼ng trung trùc cña AB ®i qua I vµ

vu«ng gãc víi ® êng th¼ng AB nªn cã thÓ

chän: uurAB = (0; 1;3)

-lµm vtpt ph¸p tuyÕn cña nã VËy PT cña nã lµ:

x- - y - + z + =

hay - y + 3z + 4 = 0.

Em đã chọn đúng !

Em đã chọn sai ! Hãy kiểm tra lại.