Tài liệu Vectơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng

ĐỊNH NGHĨA :Một vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với a.. Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a thì k với k khác 0 cũ

Trả lời :

a.b = a 1 b 1 + a 2 b 2

a  b  a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0

I ĐỊNH NGHĨA :

Một vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với a.

Rõ ràng là :

a Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

a thì k ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

b Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó.

n

n

0

n n

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

Bài toán: Trong

mặt phẳng với hệ

toạ độ Oxy cho

đường thẳng  đi

qua điểm M0 (x0,y0)

và có vectơ pháp

tuyến (A;B) Tìm

điều kiện cần và đủ

để điểm M (x,y)

nằm trên .

n

n

M0(x0;y0)

M



y

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

Giải: Với mọi điểm M (x,y) ta

có M0M = (x - x0 ; y - y0) Điểm

M nằm trên  khi và chỉ khi

M0m và n vuông góc với

nhau, hay M0M.n = 0 Như

vậy :

A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (*)

Phương trình (*) chính là

điều kiện cần và đủ để điểm

M(x;y) nằm trên 

M0(x0;y0)

n

M



y

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

Chú ý rằng nếu ta đặt C = - Ax0 - Ay0 thì phương trình (*) trở thành: Ax + By + C = 0, trong đó hai số A và B không đồng thời bằng 0.

Phương trình Ax + By + C = 0 (A2 + B2 khác 0) được gọi là

phương trình tổng quát của đường thẳng  đối với hệ tọa độ Oxy

Định lí

Đối với một hệ tọa độ Oxy cho trước, mọi phương trình Ax + By + C = 0 (với A,B không đồng thời bằng 0) đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định nào đó.

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :

n

Các trường hợp riêng

Xét đường thẳng  có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 (1) (A,B không đồng thời bằng 0).

Nếu A = 0 thì phương trình (1) trở nên By + C = 0, B khác 0 Khi

đó một véctơ pháp tuyến của  là n (0;B) nên đường thẳng  song song

với trục tọa độ Ox và cắt trục Oy tại điểm

Nếu B = 0 thì phương trình (1) trở nên Ax + C = 0, A khác 0 Khi

đó một vectơ pháp tuyến của  là (A;0) nên đường thẳng song song

với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm

Nếu C = 0 thì phương trình (1) trở nên Ax + By = 0 Khi đó đường thẳng  đi qua gốc tọa độ O.















B

C













0

A C M

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III VÍ DỤ:

Bài 1

Cho hệ tọa độ Oxy Viết phương trình tổng quát của:

Giải:

a Đường thẳng Ox qua O(0;0) và nhận = (0;1) làm pháp vectơ, có phương trình:

0 (x – 0) + 1(y – 0) = 0  y = 0

b Đường thẳng Oy qua O(0;0) và nhận = (1;0) làm pháp vectơ có phương trình:

1 (x – 0) + 0 (y – 0) = 0  x = 0

j

i

III VÍ DỤ:

Bài 2

Cho đường thẳng () có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm

M 0 (x 0 ;y 0 )

a Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và song song với ()

b Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và vuông góc với ()

Giải:

a Đường thẳng (D) // () nên nhận = (A;B) là FVT và (D) qua M 0 (x 0 ;y 0 )

có phương trình:

A (x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0  Ax + By – Ax 0 – By 0 = 0

b = (A;B) là FVT của đường thẳng () Do (D)  () nên = (B;-A) là FVT của (D) và (D) qua M 0 (x 0 ;y 0 ) có phương trình:

B (x – x 0 ) – A (y – y 0 ) = 0  Bx – Ay + Ay 0 – Bx 0 = 0

n

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III VÍ DỤ:

Bài 3

CMR đường thẳng (d) qua A(a;0); B(0;b) (a ≠ 0; b ≠ 0) có phương trình:

Giải:

Vì = (-a;b) nên = (b;a) vuông góc với AB.

Đường thẳng (D) cần tìm qua A(a;0) và nhận làm FVT có phương trình:

b(x – a) + a(y – 0) = 0  bx + ay = ab Chi 2 vế cho ab ta được:

1





b

y a

x

n

1





b

y a

x

IV CỦNG CỐ - DẶN DÒ:

Bài tập phần Phương trình đường thẳng