Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề phương trình lượng giác

LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” là một công trình nghiên cứu đ

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019

“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy,

cô của trường; đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Phương pháp dạy học của khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ em để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Và em cũng xin chân thành cảm ơn tới cô giáo - Th.s Dương Thị Hà đã nhiệt tình hướng dẫn em trong việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, hướng tiếp cận và giúp em chỉnh sửa những thiếu sót trong quá trình nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy,cô

bỏ qua và giúp em hoàn thiện hơn Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp

từ phía thầy, cô để em học thêm được nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” là một công trình nghiên cứu độc lập, không có sự sao chép của

người khác Đề tài là một sản phẩm mà em đã nỗ lực nghiên cứu trong suốt quá trình học tập tại trường Em xin cam đoan những lời nói trên hoàn toàn là

sự thật, nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Hồng Nhung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Dự kiến kế hoạch thực hiên 3

6 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG 4

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lý luận 4

1.1.1 Năng lực 4

1.1.2 Năng lực toán học 5

1.1.3 Năng lực giải toán 9

1.1.4 Năng lực giải quyết vấn đề 11

1.2 Cơ sở thực tiễn 14

1.2.1 Vị trí, vai trò, nội dung của chủ đề “Phương trình lượng giác” trong chương trình toán lớp 11 14

1.2.2 Thực trạng dạy và học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở trường trung học phổ thông 16

1.2.3 Đề xuất một số định hướng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” 17

Kết luận chương I 19

Chương II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” 20

2.1 Chủ đề phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11 20

2.1.1 Mục tiêu 20

2.1.2 Hệ thống lại các công thức lượng giác 20

2.1.3 Phương trình lượng giác 24

2.2 Hệ thống bài tập phương trình lượng giác nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề 37

2.3 Bài tập tự luyện 55

Kết luận chương II 60

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đảng và nhà nước ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và xem giáo dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tương lai Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) đã chỉ ra: “Giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh; xã hội công bằng, dân chủ văn minh”

Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người học

Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu

ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp Chương trình này nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách chủ thể của quá trình nhận thức

Trong quá trình học tập bộ môn Toán, mục tiêu chính của người học bộ môn này là việc học tập những kiến thức về lý thuyết, hiểu và vận dụng được các lý thuyết chung của toán học vào những lĩnh vực cụ thể Vì vậy giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển được những năng lực cần có trong học tập

Các năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực ngôn ngữ, năng lực tự học, năng lực tính toán và năng lực sử dụng Trong đó, năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực cốt lõi cần phải phát triển cho người học, nó có vai trò quan trọng giúp người học giải quyết được các tình huống trong quá trình học tập

và trong đời sống

Phần “Phương trình lượng giác” được phân bố trong chương trình Đại

số lớp 11 ở trung học phổ thông Những kiến thức về lượng giác đã được đề

cập sơ bộ ở chương trình THCS và chương trình lớp 10 Đây là một phần khá rộng, phức tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về phương trình lượng giác Mặt khác ngoài những phương trình lượng giác cơ bản , thường gặp thì học sinh còn gặp những phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải phát hiện được vấn đề, khả năng nhìn nhận bài toán từ nhiều phía và vận dụng được các kỹ năng biến đổi, kỹ năng giải toán thành thạo để giải quyết được vấn đề đặt ra

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề

“Phương trình lượng giác” để làm khóa luận tốt nghiệp cho mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

* Mục đích nghiên cứu:

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học và khả năng giải quyết các vấn đề trong thực tiễn của học sinh

* Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của năng lực, năng lực giải quyết vấn đề trong môn Toán

- Tìm hiểu vai trò của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và từ

đó đề xuất một số định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Phân loại các dạng phương trình lượng giác và lựa chọn, sắp xếp các bài tập tự luyện theo các mức độ nhận thức nhằm tạo cơ hội để học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh lớp 11

* Phạm vi nghiên cứu

Chủ đề: “Phương trình lượng giác” lớp 11

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Dự kiến kế hoạch thực hiên

Từ 11/2018 đến 2/2019

6 Cấu trúc khóa luận

Bao gồm 2 chương:

- Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương II: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác”

NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm chung của các nhà tâm lý học, năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao Ngoài

ra, năng lực còn được định nghĩa theo nhiều cách hiểu khác nhau Chẳng hạn,

theo Từ điển Tiếng Việt: “Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con

người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” Theo cách hiểu của Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn: “Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy” Còn theo Đặng Thành Hưng: “Năng lực

là thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” Dù có định nghĩa năng lực theo cách nào đi chăng nữa thì các nhà nghiên cứu đều có cách hiểu tương tự nhau về khái niệm này

Hiện nay, quan niệm chung về năng lực được nhiều người thừa nhận

đó là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất

có sẵn và trong quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (năm 2018)) Khái niệm năng lực trên chứa đựng những đặc điểm:

- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất có sẵn và quá trình học tập, rèn luyện của người học

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện

ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

- Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội

Người ta chia năng lực thành năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn Năng lực chung cốt lõi là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực khái quát hóa, năng lực tưởng tượng, Còn năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực của xã hội như năng lực toán học, năng lực hội họa, năng lực tổ chức, năng lực kinh doanh…Trong đó, năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên môn Ngược lại, sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời mà có quan hệ chặt chẽ với nhau

1.1.2 Năng lực toán học

1.1.2.1 Một số quan niệm về năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học:

- Theo V.A Cruchetxki thì khái niệm năng lực toán học được giải thích trên hai khía cạnh:

+ Các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới khách quan và quý giá

+ Các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và

có kết quả cao về kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Theo PISA: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có xây dựng và có hiểu biết”

- Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để

sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”

Như vậy, ta có thể hiểu năng lực toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các nhu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học một cách dễ dàng, hiệu quả và sâu sắc trong mọi điều kiện

Một cá nhân tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối cảnh, các tình huống bên trong hay bên ngoài toán học và những ý tưởng bao quát cần có được một số các năng lực toán học Mỗi một năng lực có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau.Những thành phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999) Tám năng lực đặc trưng theo khung đánh giá của OECD/PISA đó là: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học; năng lực biểu diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thứ; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

1.1.2.2 Các thành tố của năng lực toán học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (tháng 12/2018), năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và năng lực lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

Mỗi thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo Điều này được minh họa trong bảng dưới đây:

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa; khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch

Các thành tố của

năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn

đề về phương diện toán học

2 Năng lực mô hình

hóa toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế

và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

3 Năng lực giải

quyết vấn đề toán

học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

4 Năng lực giao

tiếp toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

Các thành tố của

năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo

- Trình bày, diễn đat (nói hoặc viết) được các nội dụng,

ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)

- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái,

kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thường và động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

5 Năng lực sử dụng

công cụ, phương

tiện toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

- Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán

- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

Vì vậy, để hình thành năng lực ở học sinh, trước hết phải hướng đến người học, phải xuất phát từ người học, hiểu người học và việc học Tuy nhiên, năng lực được hình thành ở học sinh còn là kết quả của cả việc dạy chứ không đơn thuẩn chỉ phụ thuộc vào quá trình học

1.1.3 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán được hiểu như thế nào?

Theo OECD, Chương trình đánh giá quốc tế về năng lực người trưởng thành (PIAAC – 2008), năng lực giải toán là khả năng tiếp cận, sử dụng, diễn giải và truyền đạt thông tin, ý tưởng toán học để xử lí những yêu cầu toán học

từ những tình huống thực tế trong đời sống văn hóa và xã hội

Theo The Literacy and Numeracy for learning and life (Ireland, The Department of Education and Skill, 2011), năng lực giải toán không chỉ đơn thuần là kỹ năng thực hiện các phép tính mà còn bao gồm khả năng sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề, đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hàng ngày trong các môi trường xã hội phức tạp

Ở Việt Nam, năng lực giải toán được coi là một trong những năng lực chuyên môn đặc thù, được hình thành và phát triển thông qua một số môn học nhất định, trong đó môn Toán đóng vai trò cốt lõi Nó là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn vào hoạt động giải bài tập toán học

Tóm lại, trong Chương trình giáo dục phổ thông các nước, năng lực giải toán được coi là một trong số năng lực cốt lõi, nền tảng mà học sinh hiện nay cần có Năng lực giải toán không chỉ đơn thuần là kỹ năng thực hiện phép tính mà mà chủ yếu là khả năng sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống

Theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học là giá mang hoạt động của học sinh” Giải bài tập là một phần mục tiêu của việc dạy học môn Toán và còn là phương tiện để giúp giáo viên cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày ở phần lý thuyết Bài tập toán học giúp người học kiến tạo được những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển năng lực giải toán của học sinh Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi,

dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa Mặt khác, giáo viên cần phải xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học Năng lực giải toán bao gồm các thành tố: Hiểu biết kiến thức toán học phổ thông, cơ bản; Biết cách vận dụng các thao tác tư duy, suy luận; Tính toán, ước lượng, sử dụng các công cụ tính toán và dụng cụ đo,…; Đọc hiểu, diễn giải, phân tích, đánh giá tình huống có ý nghĩa toán học

Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện qua các hoạt động sau đây:

- Nhận thức kiến thức toán học;

- Tư duy toán học;

- Vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học

Từ khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau:

- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải

- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong các lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học

- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề

- Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

- Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu

- Có khả năng nêu ra một số bài tập tương tự cùng với cách giải

- Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

tự bài toán có một yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,…

Vì vậy, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, một trong những cách khả thi là đưa ra một hệ thống bài tập có dụng ý sư phạm nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.1.4 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.4.1 Khái niệm về năng lực giải quyết vấn đề

Năng lực giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân trong quá trình nhận thức nhằm hiểu và giải quyết các tình huống có vấn đề không có sẵn lời giải đáp Năng lực này bao gồm sự tự nguyện tham gia vào các tình huống để phát huy tiềm năng của cá nhân đó như một công dân biết đóng góp cho xã hội và biết phản ánh nhận thức của chính mình (Định nghĩa trong đánh giá PISA,2012)

Giải quyết vấn đề là hoạt động trí tuệ được coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức vì cần huy động tất cả các năng lực trí tuệ cá nhân Để giải quyết vấn đề, chủ thể phải huy động trí nhớ, tri giác, lý luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ, đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ, niềm tin ở năng lực bản than và khả năng kiểm soát được tình thế (Nguyễn Toàn Cảnh, 2012, Xã hội học tập – học tập suốt đời)

Theo Nguyễn Thị Lan Phương, có thể định nghĩa: “Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng của một cá nhân “huy động”, kết hợp một cách linh hoạt

và có tổ chức kiến thức, kỹ năng với thái độ, tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân,…để hiểu và giải quyết vấn đề trong tình huống nhất đinh một cách hiệu quả và với tinh thần tích cực”

Tóm lại, ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng học sinh phối hợp, vận dụng những kinh nghiệm của bản thân; kiến thức, kỹ năng của các môn học trông chương trình phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống một cách tích cực

Từ những công trình nghiên cứu có liên quan tới vấn đề năng lực trong việc học toán và năng lực giải quyết vấn đề, có thể thấy rằng năng lực giải quyết vấn đề có quan hệ với các năng lực khác như: năng lực toán học, năng

lực giải toán…Nếu xét ở phạm vi thực tiễn cuộc sống, mỗi học sinh luôn phải nhận biết và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có những vấn đề của việc học toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực toán học Nhưng nếu xét riêng ở phạm vi Toán học , hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thể chứa đựng nhiều vấn đề Khi đó năng lực giải quyết vấn đề lại là một bộ phận trong năng lực toán học, năng lực giải toán,… Vì vậy, giữa năng lực giải quyết vấn đề với các năng lực khác luôn có

sự đan xen, tương hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của học sinh

1.1.4.2 Mô tả sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề toán học theo từng

quyết và nêu được thành câu hỏi

Phát hiện được vấn đề cần giải quyết

Xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được

độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác Lựa chọn, đề

Xác định được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

Lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề

NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC

Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn

đề

Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề

Giải thích được giải pháp đã thực hiện

Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hóa được cho vấn

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

+ Bài toán cho: phương trình cos4 sin4 2sin 1

phương trình đã cho về dạng: sin2x4sinx0

+ Đặt sin x làm nhân tử chung, khi đó ta có:

( )

x x

 Bước 3: Trình bày lời giải

Ta có: cos4 sin4 2sin 1

1 sin 2sin 1

21sin 2sin 0

2sin x 4sinx 0

Vậy phương trình có nghiệm là: x k ;k

 Nhận xét: Để giải được phương trình này, học sinh phải sử dụng kiến thức, kỹ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) như: các công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình bậc hai đối với hàm

Nằm sau bài: “Các hàm số lượng giác”, phần phương trình lượng giác có 11 tiết bao gồm 2 bài, đó là: Phương trình lượng giác cơ bản + Luyện tập (6 tiết,

từ tiết 7 đến tiết 12) và Một số phương trình lượng giác thường gặp + Luyện tập (5 tiết, từ tiết 13 đến tiết 17)

b) Vai trò

Phương trình lượng giác là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng Hơn nữa, chủ đề “Phương trình lượng giác” luôn

có mối quan hệ chặt chẽ, qua lại với nhiều chủ đề khác nhau trong chương trình môn Toán; ví dụ như: sử dụng lượng giác để tính tích phân thông qua việc đặt ẩn phụ, các bài toán về đạo hàm,…Thông qua chủ đề “Phương trình lượng giác”, học sinh có thể phát huy tối đa các năng lực cần có ở bản thân như năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán…Vì vậy, trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt

c) Nội dung

Trong chủ đề “Phương trình lượng giác” ở Toán 11, học sinh được học

về cách giải các phương trình lượng giác bao gồm: phương trình lượng giác

cơ bản; phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm lượng giác; phương trình bậc nhất đối với và ; phương trình đẳng cấp bậc hai đối với

và So với trước đây, yêu cầu của chủ đề nhẹ nhàng hơn, nhưng nội dung cơ bản không khác mấy, điều đó được thể hiện cụ thể như sau:

- Sách giáo khoa không xét các phương trình lượng giác chứa tham số Điều này làm cho yêu cầu về mặt kiến thức và kỹ năng giải bài tập giảm nhẹ hơn rất nhiều vì đa số những bài tập như vậy thì việc biện luận khá phức tạp

- Sách giáo khoa cũng không xét các phương trình cần đặt điều kiện liên quan đến bất phương trình lượng giác, chẳng hạn như phương trình lượng giác có hàm số lượng giác trong dấu căn bậc hai

- Sách giáo khoa chỉ yêu cầu học sinh nhớ, hiểu các phương pháp để vận dụng giải được các phương trình được nêu trong bài học và những

phương trình quy về các dạng đó Không xét các phương trình có yêu cầu quá phức tạp

1.2.2 Thực trạng dạy và học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở trường trung học phổ thông

Từ kinh nghiệm của bản thân và từ ý kiến đóng góp, phản hồi của nhiều giáo viên, học sinh cho thấy rằng:

a) Về phía giáo viên:

- Các bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất nhiều thời gian để chọn lọc, tổng hợp và khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh

- Để học sinh nắm được phương pháp giải các phương trình lượng giác một cách vững chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài Trong khi đó thời lượng ở lớp 11 dành cho phần này không nhiều nên việc học sinh mở rộng, tư duy linh hoạt với các dạng bài tập khác là khá khó Do đó để học sinh làm tốt các bài tập lượng giác thì giáo viên cần phải có chiến lược giảng dạy tốt

- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên thường vất vả trong quá trình giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh

- Muốn giải được các bài tập lượng giác thì trước tiên phải thuộc công thức lượng giác Nhằm củng cố kiến thức và tóm gọn các công thức lượng giác tốt hơn, cách gỡ bí khi học sinh quên hoặc nhầm công thức đó là cho học sinh tự chứng minh lại công thức lượng giác

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn đưa

ra hệ thống bài tập khá phong phú để học sinh nắm được Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tự tìm hiểu thêm, tự học để có thể học tốt phần này

Vì vậy, trong mỗi tiết học, giáo viên cần phải mang lại cho người học một khối lượng hiểu biết hoàn chỉnh, kèm theo những chỉ dẫn về phương pháp và tài liệu tra cứu mà học sinh có thể không có, như vậy sẽ tiết kiệm được thời gian cho học sinh và tạo điều kiện tối đa cho học sinh có thể dùng

số thời gian còn lại để tự trau dồi thêm kiến thức

- Để vận dụng được các công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải dành khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập

Vì vậy, để có thể học tốt phần này đòi hỏi học sinh phải nỗ lực rất nhiều, tích cực phối hợp với giáo viên trong các bài giảng Ngoài ra còn phải

tự chủ động tìm tòi, tự học để nâng cao kết quả học tập, từ đó có thể thúc đẩy được năng lực của bản thân

1.2.3 Đề xuất một số định hướng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn

đề của học sinh trong việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác”

Để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong việc giải bài tập cần chú ý các biện pháp sau:

 Tăng cường huy động các kiến thức, kỹ năng khác nhau cho học sinh để học sinh biết giải bài tập toán bằng nhiều cách khác nhau

 Giúp cho học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của “Phương

trình lượng giác”, từ đó tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học nội dung này

 Tổ chức các hoạt động giải bài toán theo hướng sử dụng các bước giải quyết vấn đề

 Hướng dẫn học sinh phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho học sinh

 Bổ sung các bài toán chứa đựng yếu tố thực tiễn cho học sinh

Kết luận chương I

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học của nước ta hiện nay là

“hoạt động hóa người học” nhằm mục đích nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Với nội dung đã trình bày ở chương I ta có thể thấy rằng năng lực toán học nói chung và năng lực giải quyết vấn đề nói riêng có vai trò rất quan trọng trong khoa học và trong cuộc sống Hơn thế nữa, chủ đề “Phương trình lượng giác” còn chứa đựng nhiều tiềm năng để phát triển năng lực giải quyết vấn đề Tuy nhiên trong thực tế hiện nay, một phần do một số bộ phận giáo viên còn áp dụng phương pháp dạy học truyền thống, phần còn lại là do nhiều học sinh có tính thụ động trong việc học nên việc khai thác năng lực giải quyết vấn đề của học sinh chưa được phát triển tối đa và hiệu quả Vì vậy, trong chương II của khóa luận, tôi sẽ xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác để giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài tập đó

Chương II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ

 Kỹ năng: Giúp học sinh

 Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản, biết biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác

 Nhận biết và giải thành thạo các phương trình lượng giác đơn giản

 Lựa chọn và sử dụng được các phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác quy về dạng đơn giản, thường gặp

 Thái độ

 Nghiêm túc, tích cực và chủ động trong việc giải bài tập

2.1.2 Hệ thống lại các công thức lượng giác

a Công thức nghiệm cơ bản

2

k k

 cos(a b ) cos cos a bsin sina b

 cos(a b ) cos cos a bsin sina b

 sin(a b ) sin cos a bcos sina b

 sin(a b ) sin cos a bcos sina b

 tan( ) tan tan

* Công thức nhân đôi

 sin 22sin cos 

 cos 2cos2sin22cos2  1 1 2sin2

 sin3 3sin4sin3

 cos3 = 4cos 33cos

 tan 3 3tan tan2 3

* Công thức biến đổi tích thành tổng

 cos cos 1 cos( ) cos( )

* Công thức biến đổi tổng thành tích

 cos cos 2cos cos

1

t t

 



2.1.3 Phương trình lượng giác

2.1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình

 Phương pháp giải

 Nếu m1 hoặc m 1 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu 1  m 1 Khi đó phương trình có dạng:

 Nếu m1 hoặc m 1 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu 1  m 1 Khi đó phương trình có dạng:

tanxtan   x  k,k với Ngoài ra ta có thể viết :xarctanm k ,k

Như vậy, trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có nghiệm

2.1.3.2 Phương trình lượng giác thường gặp

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

Chuyển vế rồi chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa về

phương trình lượng giác cơ bản Sau đó ta đi giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm nghiệm

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

Đặt t bằng hàm số lượng giác và đặt điều kiện cho t (nếu có)

Khi đó phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác trở

thành phương trình bậc hai ẩn t Giải phương trình bậc hai để tìm

t thỏa mãn điều kiện sau đó tìm nghiệm của phương trình đã cho

c) Phương trình bậc nhất đối với và

 Dạng: asinx b cos x c ,( , ,a b c ;a2b20) (1)

 Phương pháp giải:

Cách 1

 Nếu a2b2c2 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu a2b2c2, khi đó ta chia cả hai vế của phương trình (1) cho a2b2, ta được:

11

t t





Khi đó phương trình (1) có dạng:

d) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với và

 Dạng: asin2x b sin cos x x c cos2xd (3)

Khi đó phương trình (3) trở thành:asin2xdsin2x a d

      (3’) Đây là phương bậc hai đối với hàm số tan x.Ta giải phương trình (3’), nghiệm của phương trình (3’) chính là nghiệm của phương trình (3)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x Ta giải

phương trình (3’’), nghiệm của phương trình (3’’) chính là nghiệm của phương trình (3)