Sử dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: TÌM MAX – MIN BẰNG CÁCH TÍNH ĐẠO HÀM TRỰC TIẾP 1.. Nguyên nhân đặt ẩn phụ Do hàm fx có đạo hàm f’x phức tạp nên[r]

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: TÌM MAX – MIN BẰNG CÁCH TÍNH ĐẠO HÀM TRỰC TIẾP

1 Phương pháp giải

Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x) ( nếu đề chưa cho)

Bước 2: Tính y’ = f’(x); Giải phương trình y’ = 0 tìm nghiệm x thuộc D

Bước 3: Lập bảng biến thiên, kết luận

2 Chú ý:

a) Nếu hàm y = f(x) đạt được min f(x), max f(x) tại nhiều điểm thì chỉ cần chỉ ra một điểm x0D

là đủ

b) Nếu D a b; :

+ Tìm các nghiệm x x1, , ,2 x n của phương trình y’= 0 trên đoạn  a b;

+ Tính f a f x     , 1 , f x2 , ,f x   n , f b

+ So sánh các giá trị vừa tìm, số lớn nhất là     và số nhỏ nhất là

;

max

x a b





 ;  

min

x a b





3 Bài tập

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

[a]f x  x 4 x  2

[b]f x   x 4 x  2

[c]y x 1   3x26x 9

[d]y = 5cosx – cos5x với x

  

[e] 2  22

3

y 1 x 2 1 x

[f]Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 11 4 1 72 , x>0

[g]y = x3 -3x 2+ trên đoạn [–3; 2] [h]y  x 3  3x với   2 x 1

[k]Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x2 72x 90 trên đoạn 5;5

Dạng 2: ĐẶT ẨN PHỤ SAU ĐĨ DÙNG ĐẬO HÀM

1 Nguyên nhân đặt ẩn phụ

Do hàm f(x) cĩ đạo hàm f’(x) phức tạp nên ta đặt ẩn phụ để đưa về hàm đơn giản hơn

2 Các bước giải

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số là D1

Bước 2: Đặt ẩn phụ t = h(x) với h(x) là một biểu thức nào đĩ trong hàm số đã cho

Bước 3: Tìm miền giá trị của t là D2

Bước 4: + Đưa hàm f(x) về hàm g(t) trên miền D2

+ Lập bảng biến thiên của g(t) trên miền D2

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên min g(t); max g(t) min f(x); max f(x)

3 Bài tập

Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

[a]y = x6 + (1 – x2)3 trên đoạn [ -1;1],

y  3 2x x    x 1   3

[c]

3 2

2 2

y





[d]y sin x 2s inx+322

sin x 3s inx+4







[e] f(x) = 4 sin3x - 9cos2 x + 6sin x + 9 [f] y = 2cos x cosx 12

cosx 1



[g]y 3cos x 4sin x44 22

3cos x 2cos x





 [h]y sin x cos x 8  4

[i]

y 2 1 sin 2x cos4x cos4x - cos8x

2

[j]y 2 sin x2 2cos x 12 

[l]T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè

2x 2 x (4x 4 )x

y      0 x 1  

y



[m]y 3 x 3 4 1 x 1

4 x 3 3 1 x 1



[n]Tìm GTNN của hàm số: f x, y  3 x22 y22 8 x y , x 0, y 0 

[o]Tìm GTNN của hàm số : f x, y  x44 y44 2 x22 y22 x y, x, y 0 

Dạng 3: DÙNG PHÉP THẾ RỒI ĐẠO HÀM

1 Phương pháp:

+ Khi hàm đa thức chứa hai ẩn, ba ẩn thì ta tính ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào hàm cần tìm min, max được hàm một ẩn

+ Sau đĩ dùng đạo hàm

2 Bài tập:

[3] Cho x,y ≥ 0 , x+y=1 T×m Max,Min cđa S 3x 9y

[4] Cho hai số thực x, y thoả mãn x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x4 + y4

[5] Cho hai số dương x, y thoả mãn x + 2y = 3 Tìm GTLN của biểu thức A 1 2x  2y 1 [6] Cho hai số dương x, y và x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức A = 31-x + 9y

[7] Cho x,y ≥ 0 , x+y=1 T×m Max,Min cđa

1

1 





x

y y

x S

[8] Cho x,y > 0 , x+y=1 T×m Min cđa

y

y x

x S









1 1

[9]Tìm T×m Max,Min cđa 2 2 2 2 , Víi x2 + y2 > 0

4

) 4 (

y x

y x x S







 [10] GTNN của biểu thức A = 3y22 4xy2

x y





[11] Cho hai số x, y thoả mãn: x2 + xy + y2 = 1

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x2 – xy + y2

[12] Tìm GTLN và GTNN của hàm số: ,với x2 + y2 = 1

2 2

2xy y A

2xy 2y 1





[13]Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãnx2y2 1

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 2 x 2 6xy

1 2xy 2y





[14] Tùy theo giá trị của tham số m , hãy tìm GTNN của biểu thức :

P=(x+my-2)2+(4x+2(m-2)y-1)2

Q =(x-2y+1)2+(2x+my+5)2