Giáo trình Toán tập 4 (Giải tích 4) của Jean-Marie Monie

Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiên Bộ sách gồm 7 cuốn: Tập 1: Giải tích 1 Tập 2: Giải tích 2 Tập 3: Giải tích 3 Tập 4: Giải tích 4 Tập 5: Đại số 1 Tập 6: Đại số 2 Tập 7: Hình học Năm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5. Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6. Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.

Trang 1

4 /

GIAI TICH4

Trang 2

Giáo trình toán - Tập 4

GIẢI TÍCH 4

Cuốn sách này được xuất bản

trong khuôn khổ Chương trình

đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại

Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ

phận Văn hoá và Hợp tác của Đại

sứ quán Pháp tại nước Cộng hoà

Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Cours đe mathématiques - 4

ANALYSE4

Cet ouvrage, publié dans le cadre du Programme de Formation d’Ingénieurs d’Excellence - au Vietnam, bénéficie du soutien du Service Culturel et de Coopération

de l’Ambassade de France en République Socialiste du Vietnam.

Trang 3

Chịu trách nhiệm xuất bản : Chủ tịch HĐỌT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI

Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO

Biên tập lân đâu và tái bản:

Trang 4

Jean - Marie Monier

Giáo trình Toán

Tập 4 GIẢI TÍCH 4

Giáo trình và 500 bài tập có lời giải

(Tái bản lần thứ hai)

Người dịch : Đoàn Quỳnh - Lý Hoàng Tú

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Trang 5

Cours de mathématiques - 4

ANALYSE 4

Cours et 500 exercices corrigés

2° année MP PSL PC PT

Jean - Marie Monier “

Professeur en classe de Spéciales

au lycée la Martiniére-Monplaisir 4 Lyon

DUNOD

Trang 6

Lời nói đầu

Bộ giáo trình Toán mới này, với nhiều bài tập có lời giải, được biên soạn đành cho sinh viên giai đoạn Ï các trường đại học công nghệ quốc gia (năm thứ I và thứ 2 mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho các thí sinh dự thi tuyển giáo viên trung học phổ thông

Bố cục của bộ giáo trình này như sau :

Tập 5 : Đại số I : Đại số năm thứ I

Tập 6 : Đại số 2 : Đại số năm thứ 2

Tập 7 : Hình học : Hình học năm thứ 1 và năm thứ 2

Dé kiểm tra mức độ lĩnh hội kiến thức, trong mỗi chương độc giả sẽ thấy có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong các bộ bài tập có lời giải ở các tập trước Nhiều vấn đẻ ở ranh giới của chương trình được đề cập ở cuối chương, dưới

dạng các bổ sung có lời giải

Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lòng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, L5, phố Gossin, 92541 Montrouge Cedex

Jean - Marie Monier

Trang 7

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn đến các bạn đồng nghiệp đã vui lòng nhận kiểm tra lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy : Robert AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Isabelle

BIGEARD, Jacques BLANC, Gerard BOURGIN, Gerard Pierre BOUVIER, Gerard CASSAYRE, Gilles CHAFFARD, Jean-Yves CHEVROLAT, Jean- Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Catherine DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD,

Chritian GIRAUD, Alain GOURET, André GRUZ, André LAFFONT, Jean-

Marc LAPIERRE, Jean- Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, Rémy NICOLAI,

Michel PERNOUD, Jean REY, René ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice

SCHWARTZ va Gérard SIBERT

Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Mafus và Michel Mounic đã tạo điều kiện để hoàn thành các tập sách này.

Trang 8

MUC LUC TAP 4

Phần I - Giáo trình

Chương 4 - Dõy vò chuỗi ốnh xg

4.1.1 Các sự hội tụ

4.1.2 Hoi tu đều và giới hạn

4.1.3 Hội tụ đều và tính liên tục

4.1.4 Hội tụ đều và lấy tích phân trên một đoạn

4.1.5 Hội tụ đều và lấy đạo hàm

4.1.6 Sự hội tụ của một đấy ánh xạ và việc lấy tích phân

trên một khoảng tuỳ ý 4.2 Xap xi hàm số một biến thực

42.1 Xấp xỉ bởi các hàm số bậc thang hay afin

4.3.2 Hội tụ đều và giới hạn

4.3.5 Hoi tu đều và lấy đạo hàm

4.3.6 Hội tụ của một chuỗi ánh xạ và lấy tích phân

trên một khoảng bất kỳ

Bổ sung

Chương 5 - Chuỗi luỹ thừa

5.I.I Khái nệm chuỗi luỹ thừa

5.12 Bán kính hội tụ và tổng của một chuỗi luỹ thừa

5.1.3 So sánh các bán kính

5.1.4 Dấu hiệu đAlembert

5.2 Các phép toán trên các chuỗi luỹ thừa

5.2.1 Cau tric vecto

5.2.2 Lay dao ham

5.2.3 Tích của hai chudi luy thừa

Trang 9

VIN Giải tích

5.4 _ Tính chính quy của tổng một chuỗi luỹ thừa

5.5 Khai triển thành chuỗi lũy thừa

5.5.1 Tổng quát

5.5.2 _ Các phép toán trên các hàm số khai triển được

thành chuỗi luỹ thừa l

6.1.2 Hệ số Fourier của một phần tir cha CM,

6.1.3 Chuỗi Fourier của một phần tử của CÀM¿,

6.2 Cấu trúc tiền Hilbert

6.2.1 Khong gian tién Hilbert D,

7.1.2 Lý thuyết về việc thay thế một phương trình

vi phân cấp ø¡ bởi phương trình vi phân cấp | 7.1.3 Phương trình vị phân ôtônôm

Trang 10

Giải (E)

Van dé về các mối nối

Sử dụng chuỗi luỹ thừa

Chương 8 - Hòm nhiều biến thực

(nghiên ctu nang cao)

8.1 Dao ham riéng cap 1

Ánh xa thuộc lớp C' trên một miền mở

Vị phân của một ánh xạ thuộc lớp C°

Trang 11

Chương 9 — Bổ sung về phép tính tich phan

9.3.3 Dinh ly Stokes va Ostrogradski

9.4 — Khối lượng, tâm quán tính,

momen quán tính của một bản ghénh

9.4.1 Ban ghénh

9.4.2 Khối lượng của một bản ghénh

9.4.3 Tâm quán tính của một ban ghénh

9.4.4 Mômen quán tính của một bản ghénh

Phần II - Các chỉ dẫn và trả lời các bài tập

Chương 4, 333; Chương 5, 445; Chương 6, 499;

Chương 7,521; Chương 8, 555; Chương 9, 593

Trang 12

Phan |

GIAO TRINH

Trang 13

Chương 4

Day va chuoi anh xa

Trong suốt chương 4, K chỉ R hay C, £ chi mgt K -kgvđc hữu hạn chiều mà chuẩn được ký hiệu bởi || | Trong lần đọc thứ nhất, có thể tự giới hạn ở E = JR hay C

4.1 Day anh xa

Viéc khảo sát các dãy ánh xạ đã được bắt đầu trong Tập 3, 2.3.2

4.1.1 Các sự hội tụ

Để tiện lợi cho độc giả, chúng tôi nhắc lại ở đây việc khảo sát các đây ánh xạ đã

được tiến hành trong Tập 3, 2.3.2 Trong § 4.1.1 nay, X chỉ một tập không rỗng

®$ Định nghĩa 1 Cho một dãy ánh xạ (ƒ,: X —> E)neN -

1) Cho ƒ€ EX Ta nói (ƒ,);eq hội tụ đơn đến ƒ (trên 3) nếu và chỉ nếu với mọi x e X, đấy (ƒ;(x));en hội tụ đến f(x) trong E Ta cũng nói ƒ là giới hạn đơn cia (f, nen -

2) Ta nói (ƒ„)„en hội tụ đơn (trên X) nếu và chỉ nếu có ƒ E* sao

cho (f„)„ew- hội tụ đơn đến ƒ (trên X)

Ta có thể đùng ký hiệu /„ _—> ƒ để diễn tả /,)„e„ hội tụ đơn đến ƒ (trên 3)

Giả sử („: X — E)„ew là một dãy ánh xạ, Ÿ là một bộ phận không rồng của

“x fee’ Ta ndi Geen hội tụ đơn đến ƒ trên Y nếu và chỉ nếu

Gl nen boi ty don dén f, titc là:

Wx ef, fQ)

mm Với (ƒ,:X —» E)zew cho trước, đôi khi người ta gọi tập các x thuộc X mà Œ„(>));en hội tụ là tập (hay: miễn) hội tụ đơn cla (fy nen +

Trang 14

4 Chuong4 Day va chudi anh xa

@ = = Dinhnghia2 «© Cho mot day 4nh xa (f,:X > E)nen-

1) Cho feE* Tandi (/„)„en hội tụ đều đến ƒ (trên X) nếu và chỉ

nếu:

Ve>0,3NeÑ,VneN,VxeX, (>N =|p@)—ƒG)|<£)

Ta cũng nói ƒ là giới hạn đều cia (f,),en-

2) Ta nói (/)„e„ hội tụ đều (trên 3) nếu và chỉ nếu có £sE* sao cho (ren hội tụ đều đến ƒ (trên X)

Ta có thể dùng ký hiệu fr“ để diễn tả (,)„eq hội tụ đều đến ƒ (trên Ä)

Nhận xét ; Ta dé dang chimg minh rang:

Giá sử (ý, : X —> E)„ew là một dãy ánh xạ, Y là một bộ phận không rỗng của

X.ƒeEY, Ta nói (,)„eq hội tụ đểu đến ƒ trên Y nếu và chỉ nếu

Ufa ly)„en hội tụ đều đến ƒ, tức là:

Ve>0.3NeN,VneN,VxeY, (n>N SI|f2()¬ ƒG@)1|<£)

Rõ ràng rằng nếu Z C Y C Xvà nếu (/,)„ hội tụ đều đến ƒ trên Y thì (/;)„

o | Mệnh để 1 Nếu (ƒ,)„en hội tụ đều đến ƒ thì (/„);en hội tụ đơn

đến ƒ

®€ | Mệnhđể2 - Giả sử (ƒ„:X —> E);en là một dãy ánh xa và feeX

DE (f, nen hOi tu déu dén f trên X, diéu kiện cần và đủ là:

cóN; eÑ sao cho với mọi nø > MỊ, ƒ„ — ƒ bị chặn

Trang 15

4.4 Day anh xa

@ ) Hequa Giá sử (/,:X—>E)„en là mot day ánh xạ va fe EX,

Nếu (ƒ„)„en hội tụ đến ƒ trên X và nếu với mọi ø thuộc N,f, bi chặn

Nhắc lại (xem Tập 3, 2 I 4, Mệnh để 3) rằng tập BQX,E) các ánh xạ bị chặn từ X vào

E là một K -kẹv và ánh xạ l]-|L,: BX,É) ->ÏR xác định bởi || ƒ lL,= Sup IL FOO Il xeX

là một chuẩn trên B(XE)

'Ta có tức khác Mệnh dé sau:

4 | Mệnh để 3 Giả sử (ƒ„)„en là một dãy phân tử của BOGE), fe BOSE)

Để (ƒ,)„eq hội tụ đều đến ƒ trên X, điểu kiện cần và đủ là:

Ifa -F lke 0 mo

Định lý sau nằm ngoài chương trình

@ | Địnhtý (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ đều)

Cho dãy ánh xạ (ƒ;: X — E)zeN - Để (/,);en hội tụ đều (trên 3), điều kiện cần và đủ là: Ve>0,1NeN,V(p,g)< Ñ2,vx EX,

p2Nn

({r: N ZI2~ #4()IE 2) Chứng mình:

12 Giả sử „)„e hội tụ đều đến ánh xạ ƒ thuộc £*, và cho £> 0 Có NeNÑ để:

VneN,VxeX, (new =lw-/œ1<$)

Với g)eN? màp> Ñ và g3 N, ta cố:

wxexX, J/G)- ,69|<|#©-f@l+l#e@-663]< E45 =e 2) Ngược lại, giả sử điều kiện Cauchy được thoả mãn:

«Trước hết, hãy chứng minh (ƒ„)„ hội tụ đơn Cho xe X Theo giả thiết,

dãy (/„:+))„ là một đấy Cauchy trong E Vì E là một IK -kgvức hữu hạn chiều nên

nó đầy ( cem Tập 3, 1.4.2, Định lý 2) do đó (/,(+))„ hội tụ trong E đến một phần

Trang 16

Chương 4 Dãy và chuỗi ánh xa

Vậy, với p eÑ vàp>N, có:

A fiR.oR f= x +h

ley 2) 06,110+R — 9= 14x

f fyi R, OR, feo 42) a

ø faiRy oR flxyesinds +422? - 4nz

Trang 17

4A Dãy ánh xạ 7 mot K -kgvde, g: E —> F là một ánh xạ Giả sử f, oy và g liên tục đều trên E Chứng mình: g frog f

b) Kết quả trên còn đúng không khi thay giả thiết liên tuc déu bởi liên tục?

9 414 a) Giả sử X, Y là hai tp hợp không rổng, (ƒ„:X > Onen + (Bn 2¥ > Omen I hai đây ánh xạ, ƒ :X + C, @;Y —>C là hai ánh xạ

Ký hiệu f@e:Xx¥-—> C cing tuongiycho f, Og, Gidsit f, Ms, (xử) Ss FORO) neo

fp Seog vasa gi chan Chứng mình: ý, @ g„ —SC >/ @g

b) Kết quả trên còn đúng không khi bỏ giả thiết f va ø bị chặn?

Giásữ: - VneN,VxeX, /z(@)elGŒI)

Chứng mình rằng (/„)„ là một đãy dừng

(oye VneNf WreR, g (X=

hội tụ đều đến |/| trên R

mình: (1) hội tụ đều đến cử: Ộ 3

€Ì trên |a;b] ƒ :[:b]—> Cà một ánh xạ liên tục

Giả sử: i Tra >/ ven lal

3A eR,,VneN.vxe[abl, |ƒ'2(x|<M

Ching minh: f, oy trên [a:b}

b) Hồi có thể mở rộng kết quả cho R thay vì {a;b| được không?

ộ 4.18 Cho NEN và dãy đa thức (,)„ew trong IR/[X] (rong đó R„[XỊ là R - kgv các đa thức bậc < M) Giả sử:

Trang 18

Chương 4 Day va chudi anh xa

là dấy xác định bối: VneNjVreR,, Sa(t)= zao/[3) "

Chứng mình: g,— e0 én Ry,

6 — 4441 Giảsữ keN,.[011->I thuộc lớp C°”trên [0/1] và sao cho:

} fOM=0

Véimdi neN’ kyhidu f, 1Gil> R x ake FO -

Chứng minh (fq), hoi ty đều đến 0 trén [O51

A Soy ta: p, tof trên |0;1]-

@ — 4.1/43” Cho/:[0+2o[—>fR liên tục và khả tích trên {0:+e[ Với mỗi neÑ, ký hiệu F,:Ry > R 1 doh xa xác định bởi:

wreR,, F,(0= {( [manh

ty

Chứng mình (F„)„ hội tụ đều đến Ö trên mọi tập con compäC cia Ry

Cho mội ví đụ vềƒ mà (E,)„ không hội tu déu teen

@ — 4/4.14° Choƒ:(0:l]—x R liên tục Khảo sát sự hội tự đơn và hội tạ déu cha diy (fy HOM Ronen > trong 6: Ve e(], fa) = (rena -

Trang 19

4.1 Day anh xa 4.1.2 Hội tụ đều và giới hạn

Trong § 4.1.2 này, X chỉ một tập con không rồng của một ÍK- kgvác hữu hạn chiều F; tổng quát hơn, X có thể là một tập con không rỗng của một không gian mêtric

(xem tập 3, 1.1.1, 2), Chú ý U Ký hiệu X là bao đóng của X trong F; nếu F =1,

® có thể chỉ bao đóng của X trong đường thẳng số mở rộng R

® | Địnhlý Choa eX, (fy: X 9 2nen 1a mot day anh xa

Nếu f véi moi n thudc N, f, ¢6 gidi han tai a 14 J,

ø (ƒ„)„ hội tụ đều trên X đến một ánh xạ ký hiệu là ƒ,

e dấy (1„)„ hội tụ trong E, thì: of có giới hạn tại Z,

Vậy („)„ là một dãy Cauchy trong E

2) Vì E hữu hạn chiều nên day (xem Tap 3, 1.4.2, Dinh ly 2) Vay Unda Oi

tụ trong E đến một phần tử ký hiệu là /

Bay giờ, hãy chứng, minh: fa) >t

Cho £>0 Vì(f„)„ hội tụ đều đến ƒ, có M, 6Ñ sao cho:

vxeX,vneN, ( 2M = [fl - FIs )

Vì fy 9,66 Ny €N sao cho: Vn eN, (ne Nạ =\ -8<Ÿ)- ne

Ky higu N'= Max(Ny.Na)s Vi fy lye có một lân cận a V của a trong F sao cho:

wxexov, |@Ẳ@)-iv]* $:

Khi đó, ta có:

Trang 20

40 Chuong4 Day và chuối ánh xạ

vxeXoV, Ï/@)~1|<|È@)~ f:CO|*|@u'G0~w|+ll -lJ<S x2 tộ=Ẳ:

Ava Nhận xét: Phân thứ bạ của kết luận của định lý có thể được diễn tả thành: có thể hoán vị lim và lim: 1im (im /„(x)) = lim (lìm ƒ„(x))

xa na Xd p00 ` NÓ xưa

Trong § 4,1,3 này, X chỉ một tập con không rỗng của một KỆ -kgvđc hữu hạn chiều F

€1 Địnhlÿ Cho zeX, (ƒ,:X — E);en là một dãy ánh xạ

Nếu [ với mỗi n e Ñ , ƒ„ liên tục tại a,

Vi fy lign tục tại 4, có một lận cận V của a trong F sao cho:

VxeXoV, livin Nols

Vậy với mọi x EXNV,

JƒG)~ f@|<|ƒG)~/©l+luG)~ fv(4)|+|#@ute)~ £(2)| <ẵt rộ =e

Nhận xét: Dùng phản đảo để, định lý trên cho phép, trong một số ví dụ, chứng

minh tính không-hội tụ đều

Chẳng bạn (hs :I0.D->R) hội tụ đơn trên {0:1] đến ƒ [0:1] -> W xác định

Trang 21

44 Dayanhxa 11

| Hậquả1 Cho day ánh xạ (ƒ„ : X —> E)neN -

Nến F Với mọi ø thuộc Ñ, ý, liên tục trên X,

® „)ncg hội tụ đều trên X đến một ánh xạ ký hiệu là fl

“Thường xảy ra: không có hội tụ đều trên X nhung lại có hội tụ đều trên những bộ

phan nào đó của X Từ đó có định nghĩa sau:

@ ` Đinhnghĩa Giả sử (ƒ,:X —> É)„¿N là một day anh xa va fe EX,

Ta nói (/,)„en hội tụ đều địa phương đến ƒ trên X nếu và chỉ nếu Œ„)zen hội tụ đều đến ƒ trên mọi tập con compäc của X

Nhắc lại (xem Tập 3, 1.3.2, Định lý 2) rằng do # hữu hạn chiều, các tập con

compäc của F là các tập đóng, bị chặn của £ và các tập con compac của X là các tập

con compäc của F nằm trong X Đặc biệt, với trường hợp XIà một khoảng 7 của R là trường hợp hay gập nhất trong thực hành, ta thấy rằng (ƒ„ :J — E);eq hội tụ đều

địa phương trên ? nếu và chỉ nếu với mọi (2, b) thuộc P mà a<b, (fnew hoi tu đều đến ƒ trên (a; 5]

® | Hệ quả2 7 là một khoảng của ïR, (fy 11 => E)„en là một dãy anh xa

e với mọi ø thuộc Ñ,ƒ, liên tục trên /,

Nếu Js (7„)„ hội tụ đều địa phương trên 7 đến ánh xạ

ký hiệu làƒ:! —> E, thì ƒ liên tục trên 7

Chứng mình:

"Theo Hệ quả 1, với mọi đoạn [4; b] nằm trong /, thu hẹp ƒÏ ta; p] tiên tục trên [4; ®]

Gi sir ching han / = Ja, + [, a eR (các trường hợp khác của khoảng được xét một cách tương tự) Với mọi xọ € Ï, có (a, b) € Rr sao cho: @<a<ag<b Vìf la;b]

iêa tục tại xọ và vì [Z; b] là một lân cận của xọ trong TR nên ƒ liên tục tạixg Vay tinh hội tụ đều địa phương cho phép chuyển được các tính chất địa phương

diê + tục như ở trên đây, thuộc lớp C` như về sau, 4.1.5, Hệ quả 1)

@ Mệnh để

Nếu X là một tập con compac cia F thi C(x, E) là một kgvc đóng của

B(X; E) đối với chuẩn || |_

Trang 22

-12 Chương4 Day và chuỗi ánh xạ

(BOC) Ill) dén mot phan wit f thude BOGE) Vì Vr - fl, 20; theo 4.1.1, M@nh mo

để 3, (f„)„en_ hội tụ đều đến ƒ trên X Đo đó, theo Định lý trên, ƒ liên tục trên X Vay f € COLE)

Bai tap

0 BAAG Giả sử (ƒ„:X > Ener là một day ánh xạ liên tục trên X, hội tụ đều tren X đến một ánh xạ ƒ :X —>.E.„ (u„)„ là một đãy trong Xhội tụ đến một phân tử Í trong, Xvà ơ,z:Ñ —>Ñ là hai hàm trích Chứng minh: /zm(z())~—> fŒ)- mm

4.147 Gia sit (fy: R > Rigen [A mot day ánh xạ hội tụ dêu trên Ñ đến

mot doh xa f:R OR

a) Chứng mình rồng nếu ƒ liên tục trên RR thì fof 2+ fof (có thể áp dung bài tap 4.1.16)

b) Chứng mình rằng néu f lien tye déu tren R thi fy © "dt,

©) Hi két qua cha b) còn đúng không khi thay giả thiết liên tục đều của ƒ bằng liên

tục của ƒ?

4) Tìm một ví dụ đây (ƒ„ :IR —> R);ep hội tụ đơn trên R đến một ánh xạ ƒ: R —

nhưng (ƒ„=ƒz);en không hội tụ đơn đến /› ƒ trên R

4418 Téng quát hóa Hệ quả 2

Giả sử E, F là những K -kgvđc hữu hạn chiêu, X e Ð Œ), Vy : X => Ê)„en là một dãy ánh xạ, /: X—» E là một ảnh xạ Chứng mình rằng nếu (ƒ,);en hội tụ đều địa phương đến ƒ trên X và các ƒ„ liên tục trên X thì ƒ liên tục trên X

4.1.19" Khảo sát sự hội tụ đơn và đều của (ƒ„)„ay trong đó: \

wneNWreR, f= oo? +) 2,

kal

Trang 23

44 Dayanhxa 13

dãy ánh xạ

Nế F với mọi ø thuộc Ñ, ƒ„ liên tục trên {đ;È],

:

® „)acạ hội tụ đều trên (2;b] đến một ánh xạ ký hiệu làƒ,

e ƒ liên tục trên [a;È],

thì: |*® su (2) hội tụ trong E,

neÑ

me Chứng mình:

Ta đã đạt được tính liên tục của ƒ (xem Hệ quả 1)

Với mọi ứ thuộc Ñ, ta có:

3) Có thể có đấy ánh xạ liên tục (ƒ, :|2;b]—> E);ew hội tụ đơn đến một

ánh xạ fi [a;b] —> E liên tục va day (f 2] không hội tụ đến [ f (xem bai

Trang 24

14 Ghuong4 Day va chuỗi ánh xạ

1)e Vớiƒe C(la:bì, K), ta ký hiệu |/|, = (is le

đến một phần tử ƒ thuộc C([a;b], K) nếu và chỉ nếu { L/,~ /|->0 tức là nếu và a:b] nD chỉ nếu |, - ƒ | ->0 ne

b 2 1/2 2) Véif € C(fa:b], K), ta ký hiệu |ƒÏ; = Lí (Aly ) hà

tình phương đến một phần tử ƒ thuộc C([a:Ð],©) nếu và chỉ nếu { lf - f° 30 ab nee

tức cũng có nghĩa là |, - ƒÏ, —>0 mo

® | Mệnh để

1) Với mọi ƒ thuộc C([4;b], K), ta có:

J|<ýp=z[l, W,<2~#L, — Wl<6-2l:: 2) Giả sử (/„)„en là một dãy phân tử của C((a,b], K) va:

Trang 25

4.1 Day ánh xạ

Nhận xét:

1) Sự hội tụ trung bình bình phương hay sự hội tụ trung bình không kéo theo

sự hội tụ đơn; ví dụ sau đây chứng tổ điều đó: a=0;b=l;/„:l0I1]>R thì AESAP Œf,);ew hội tụ trung bình bình phương và hội tụ trung bình đến 0, nhưng (ƒ„)»„eN

không hội tụ đơn đến Ô

2) Giá sử (ƒ„ :{a;b]— K)yew là một đấy ánh xạ liên tục và / C(a:], K

b Nếu (ƒ„)„eq hội tụ trung bình đến ƒ trên [z;b] thì { đạc [ , vì với mọi n thuộc so

b N: Ÿs- {1< [b,-nxU,-fi

3) Mệnh đề đảo của Nhận xét 2) là không đúng; ví dụ sau chứng tỏ điều đố:

a=0;b= 2Í [0:27] R ) ee nsinx neg

Bai tap

ệ 4.120 Chứng minh rằng dãy (/„:|0,1]—> R)„en xác định bởi

VneN,Wx e|01], falx)= ax" =) hội tụ đơn nhưng không đều đến 0 và [inca 30 me

Trang 26

16 Chương 4 Day va chuỗi ánh xạ

4.15 Hội tụ đều và lấy đạo hàm

Trong § 4.1.5 này, 7 chỉ một khoảng trong R, khong rồng và không thu về một điểm

® | Địnhlý Cho day ánh xạ (g„:/ —.E)peN , đ €Ì

e với mọi n thuộc Ñ, ø;„ liên tục trên ï, Nếu: 4® (g„)nen hội tụ đều trên mọi đoạn trong 1

đến một ánh xạ ký hiệu là ø, thì:

g, tren J sao cho h, (a) =0, thi (Ay nen hội tụ đều trên mọi đoạn trong 7 đến một ánh xạ ký hiệu là A,

ø h languyén ham của ø trên J sao cho h(a) =0

Chứng mình:

Theo 4.1.3, Hệ quả 2, ø liên tục trên /

Ký hiệu h: ¡ — E là nguyên ham của g trên / sao cho h(a) = 0, tite làh!>E ø

xo LF Giả sử 7 = [2/4 là một đoạn trong ï; cổ thể coi a e J Với mọi x thuộc J, ta cổ:

Điều đó chứng tỏ (J„)„eạ hội tụ đều trên mỗi đoạn trong Ï đến h

Ca Hệ quả1 Cho dãy ánh xạ fyi > Eynen

xạ ký hiệu là g,

thì: Je ƒ thuộc lớp CÌ trên /,

of'=s.

Trang 27

4.1 Day anhxg 17

Chứng mình:

Giá sử a là một điểm nào đó thuộc Ï (có ít nhất một); với øÑ, ký hiệu #n = Sa

Bay giờ có thể áp dụng định lý trên và suy r4: & liên tục trên /, (b„)„en hội tụ đều

trên mọi đoạn trong / đến một ánh xạ j và ⁄ là nguyên hàm của g trên / sao cho

hía) =0

Từ đồ, (f„)„ew hội tụ đều trên mọi đoạn trong / đến h + fla), Mavi fy _=>

nên ƒ = h + Ña) và vậy, ƒ thuộc lớp CÍ trên [,vàƒ'=h = "

Một phép quy nạp trực tiếp (trên k)} cho phép suy ra hệ quả sau:

@ | Hệquả2 Cho dấy ánh xạ Ơ,:1—> E)zen VÀ keN"

« với mỗi ø thuộc Ñ, ƒ„ thuộc lớp c* wen,

+ với mỗi ¡ thuộc {0, &— 1), (Z£?} „„w hội tụ đơn trên ƒ

Nếu: đến một ánh xạ ký hiệu là g;,

( (AY) oy hội tụ đều trên mọi đoạn trong / đến một ánh

xạ ký hiệu là ớy

thi: moi doan trong / đến đi,

« v6i m6ii thude {1, kf? = 9;

Nhận xét:

Trong các giả thiết của Hệ quả 2, có thé thay diéu kiện :

+ Với mỗi ¡ thuộc {0, k —11, { £0) hội tụ đơn trên 7 đến một ánh xạ ký

hiệu là ø,

bởi điều kiện:

* Œ,)aen hội tụ đơn trên ƒ đến một ánh xạ ký hiệu là ø

Trang 28

18 Chương4 Day va chudi anh xa

4.1.6 Sự hội tụ của một dãy ánh xạ và việc lấy tích phân trên một khoảng tuỳ ý

Trong § 4.1.6 này, 7 chỉ một khoảng trong Ï*, không rỗng và không thu về một điểm (tức là Fe)

Cho day anh xa (ƒ„ : ƒ —> K)z„en hội tụ đều trên 7 đến một ánh xạ (tiên tục) Ê ï — K

+ Có thể các ƒ„ khả tích trên / nhưng ƒ thì không (xem bài tập 4.1.23)

Đấy là nội dung của định lý sau:

{| Đinhlý1 (Định lý về hội tụ đơn điệu)

Cho một dãy ánh xạ (ƒ„:? —> R)zeN

®© Với mọi n thuộc Ñ, ý, liên tục từng khúc và khả tích trên 7,

®* „)„cq là dãy tăng, tức là Vn e Ñ, ƒ„ < /„.¡ (giả thiết đơn

Nếu điệu),

® ›)„en hội tụ đơn trên ƒ đến một ánh xạ ký hiệu là ƒ,

® ƒ liên tục từng khúc trên 7, thì ƒ khả tích trên / nếu và chỉ nếu dãy thực [ft }zen bị chặn trên

í

Ngoài ra, trong các điều kiện đó:

fr-sup [fe =tim Wo neN #ĩ mo J [rp -

Chứng minh:

"Theo đúng chương trình, kết quả này được thừa nhận:trong trường hợp tổng quát;

bạn đọc quan tâm tìm thấy một khảo sát đây đủ trong: erveˆ Pépin, Hội tụ đơn điệu và hội tự bị chặn, Revue de Mathématiques spétiales, năm thứ 107, N”2, tr

199-206

“Ta sẽ chứng minh kết quả trong giả thiết (#„)„eq hội tụ trên mọi đoạn trong / dén ƒ Bằng cách, nếu cần, thay fva f,(n EN) boi f — fo va vf, — fp ta c6 thé coi ƒ và moi f, déu > 0

Vì với mọi x thuộc 7, dãy thực (ƒ,(+));„ew tũng và hội tụ dén fix), 1a cé

F(a) S$ F(x).

Trang 29

414 Dãy ánh xạ 19

Vậy: VneN,0<ƒ,</,

1) Giả sử ƒ khả tích trên 7

Vì: VneNÑ, ø<ƒ,tacó:

vneN, [as [rw (f foaen bị chặn trên bởi fr

2) Đảo lại, giả sử f Fadnent di chan trên, Dãy thực ( j fone ting va bi Ht ứ chặn trên nên hội tụ đến biên trên, ở đây ký hiệu là M

Giả sử / là một đoạn trong 2 Vì (ƒ„)„e„ hội tụ đều trên 7 đến ƒnên (ƒ„);ew hội tự

trung bình trên / đến ƒ, vậy: Ỉ nf đc

T mo Af

Vì VneN, [aes asm suy ra: Jie j ¡ q

Vậy, với moi đoạn J trong 1, Ỉ {<M ,dod6f kha tich wen J I va j f SM ul

Vif kha tich trén /, theo 1), ta cồn có Ä < jy „ Tên cuốt cùng; ¡

{7= =S%p [ ñ, =tm [ứ,, ¡ neN *ĩ no Jy m

Nhận xét:

Khi đổi chiều, ta được kết quả sau:

* V6i moi ø thuộc Ñ, ƒ„ liên tục từng khúc và khả tích trên 7,

®- Ứn)neN là đấy giảm,

® ƒ liên tục từng khúc trên 7,

Nếu:

thì: khả tích trên / nếu và chỉ nếu dãy thực CÍ men bị chặn dưới ;

Ngoài ra trong các điều kiện đó:

=I | =i j

[2= [z~=im[2

VÍ DỤ:

Nếu g[0;+ts[ —> R liên tục từng khúc, > 0, khả tích trên [O;+o[ thi

[oetanaso bing cách áp dung đỉnh lý hội tụ đơn điệu cho neo

0 nếu / eJÖ,+e[

: ant af:

faite ety và pil nếu r=0

Trang 30

20 Chương4 Dãy và chuỗi ánh xạ

Cho dãy ánh xạ (ƒ„:ï —> K)„eq Nếu:

® Với mọi n thuộc Ñ, ƒ, liên tục từng khúc trên 7

Trước hết, với mọi ø e Ñ, ƒ„ khả tích trên 7 vì |ƒ„|< Ø

Vì mới mọi z thuộc !, (ƒ„()) hội tụ đến f_) và vì với mọi ø eÑ, |ƒ;|< ø , ta có:

Vxel, |/„Gœ)|< ø(z), và vậy ƒ khả tích trên /

Cho £> 0 Vì ø khả tích trên 7, có mot doan J, trong ï sao cho i , ø sẽ „ trong

te

đó [, ø là tổng của hai tích phân nếu 7- 7„ hợp bởi hai khoảng

Vì( " hội tụ đều trên J„ đến ƒ, (ƒ„)„en hội tụ trung bình trên 7„ đến ƒ, vậy:

Trang 31

Định lý về hội tụ đơn điệu cũng áp dụng được ở ví dụ này

2) Chứng minh rằng với mỗi a e ]0;+œ[ cố định:

dre) aie 1-a—] >

"

[I;+e[, khi mà n > EQ9, ta có ƒ„(x) = (: - z5) , A

«e ø= ƒ liên tục từng khúc, > 0, khá tích trên [l;+s[ (vì với x 2 2,

0<Ø@G)<e 2”) và với mọi „e NỶ vàx € [l; n+][: "

|2œ)|= ( - z3) <e"2RU) = ox),

do: Vi c]- l;+s[, Ind+?)<r

Định lý về hội tụ bị chặn có thể áp dụng được nên:

>2} - k m Lư kel a(x) x PT, “am Š an Ê

Cuối cùng, Í f= [Pe ‘dx = [ e^"dy= eM =

Trang 32

22 Chương 4 - Dãy và chuỗi ánh xạ

liên tục trên Ax7 thoả mãn giả thiết bị chặn, tức là có ø: / —› !R liên tục từng khúc,

2 0, khả tích trên ? sao cho:

V(x#)eAxf, |F@,Ð|< øữ)

Giả sử x 6 A, (x„)„eq là đấy trong A, hội tụ đến x Ky hiệu g = F(x,.) va véi moi

« Véi moi néN, g, lién tuc và khả tích trên 7,

* glien tục từng khúc, > 0, khả tích trên / va: WaeN, |@|<ø

“Theo định lý về hội tụ bị chặn (4.1.6, Định lý 2), ø khả tích trên 7 và la > fe :

là OO i tức là: j F(x,.t)dt > [roo

r Heo lf

Điều đó chứng tỏ rằng ƒ :xr> [reo liên tục trên A

¡

2) Giả sử A là một khoảng trong R, #: Ax/-—>K là một ánh xạ liên tục

trên Ax/, Giả sử thêm:

IF = tồn tại và liên tục trên Ax/,

Gia sk x € A VA (x;)„eg là một dãy trong Á — {z} hội tụ đến x Ký hiệu

be Sox Va hy =——(F(u.)—F(x,)) với mọi neN Khi đó:

X Xy “x

® với mọi neÑ, h„ liên tục trên /,

Trang 33

44 Day anhxa 23

Vậy ƒ có đạo hàm tại x và ƒ'(x) = le“ Cuối cùng theo định lí về hội tụ bị

chặn, đo = liên tục trên x7 và bị chặn (bai ự),ƒ' liên tục trên A "

Nhắc lại những định lý, ký hiệu, kết quả đã có trong tập 3, 2.5.2 2)

1) Tập €£Ìq, K) các ánh xạ liên tục và khả tích trên ? với giá trị trong I là một K - kgv và dnh xa Ny sf > ƒ |/| là một chuẩn trên K -kẹv đó H

Ta nói mot day (ƒ„)„cn những phần tử của €£Ì,K) hội tụ trung bình đến một phần tử ƒ thuộc €£`(L) nếu và chỉ nếu (ƒ,)„en hội tụ đến ƒ đối với chuẩn Nị.tức là:

jI»-129- ì me

2) Một phần tử ƒ của CA4Œ,K) gọi là bình phương khả tích trên / nếu và chỉ nếu |/ƒ khả tích trên /

Tập €£ˆ0,K) các ánh xạ liên tục, bình phương khả tích trên 7, giá trị trong I&, là

một KK - kg và ánh xạ GaP Ffla= fie là một tích vô hướng trên I : K - kgv

1/2

đó Ta ký hiệu Ny là chuẩn liên kết: M;(ƒ) -( (ur) -

Ta nói một đấy (ƒ,);eq những phẩn từ của €£2q,K) hội tụ trung bình bình phương đến một phần tử ƒ thuộc C£ 2Á; K) nếu và chỉ nếu (ƒ,)„en hội tụ đến ƒ đối với chuẩn Nạ, tức là:

[I›->9: "

Ta không thể "so sánh” các chuẩn Mạ, Nạ, Nạ„ chúng được xác định trong những

% - kgv khác nhau Tuy nhiên, ta có mệnh để sau:

® | Mệnh để

Cho một dãy ánh xạ (ƒ; : Í —> K)»eN -

« 7 bị chặn,

I ƒ liên tục va kha tich trén /,

tÌ [afr

3- GTTGT4

Trang 34

24 Chyong4 Dãy và chuỗi ánh xạ

Chứng mình:

1) Tính liên tục của ƒ trên 7 suy ra từ 4.1.3, Hệ quả 2

2) Vì (ƒ„)zen hội tụ đều trên 7 đến ƒ có N eÑ sao cho:

veel, |fy- fast,

ộ 41.23 Cho mot vi du khoang / vi diy (f,:/ > R)yen * sao cho:

+ Với mọi ø thuộc N*, f, kha tich trên 7,

® (z)»en» hội tụ đều trên / đến đhột ánh xạ ký hiệu là ƒ,

«_ Với mọi n thude N*, f, khả tích trên /,

0 4.4.26 Taky higu CB(R,C) là tập hợp các ánh xạ liên tục, bị chặn ti R vio C, Co(R,C) 1a tập hợp các ánh xạ liên tục từ Ñ vào C, có giới hạn Ö tại -z và +ø9, K(R.C) là tập các ánh,xạ liên tục từ R vào €, triệt tiêu ở bên ngoài một đoạn (đoạn này phụ thuộc từng ánh x4)

Ta trang bị cho đại số BŒ&,C) các ánh xa bị chặn từ JR vào C chuẩn |} „

4) Chứng minh:

Trang 35

44+ Day anhxa 25

1) CB(R,C) I mot dai s6 con cita B(R,C)

2) K(R,C) va Co(R,C) là những iđêan của đại số CB(R,C), tức là :

2) Co(R,C) déng trong BOR,C),

3) bao déng ciia K(R,C) trong B(R,C) la Co(R.C),

4) hình câu đơn vị đóng Íƒ e KŒR,CyJ/||„ <1} của KŒR,C) không compác

„

4.1.29 Cho £ }Ó;1] —> C liên tục từng khúc, khả tích trên ]0;1) Hay tim lim [ia +

Trang 36

26 Chương 4 Dãy và chuỗi ánh xạ

wf Oe xlde ~ rs CeR™ và hãy tính C,

4.4.32 Chof: 10:40 — R lien tue, giảm, khả tích trên ]0;1] và (2,)„en là một

Trang 37

;+>[ —» R liên tục từng khúc và (/, :+el—» R)„ew là một đây ánh

xạ liên tục từng khúc, hội tụ đơn trên]0;+so[ đến một ánh xạ ƒ: J0;+ø[ ~> R, Gi

+b) Tir d6 suy ra: te Inxdv = -y ya hing s6 Euler

41.37" Cong thitc Stirling cho ham 96 T

a) Chứng mình: — Vreftsi, Tires (2) ve {rang °

0 nếu + <-ý, trong đó ta ký hiệu ƒ(x.t) = ( néur> Vi

4.1.38- Công thức Gauss cho hàm sốT”

a) Chứng mình: — VxeM+e{ {i -] edt é ” ™

®) Từ đó suy ra công thức Gauss:

Trang 38

28 Chuong4 Day va chudi anh xa

nắn vxelØ+s|, U(r) = lim —————_ xeBrel, to) mm XẮX + 1).-(X + H)

Chứng minh:

Leet tim TY (142 bet

Wx em TÔ TA tefl (a) (sử dụng công thức Gauss, bài tap 4.1.38)

(xem bai tap 4.1.36)

Ộ — 41.41 Với neN,kýhiệu „:|0I]-> R Chứng mình rằng không có đấy con x resin ax nào trích từ (ƒ„)„en hội tụ đơn trên [0;1] đến 0 (66 thé xét [so % đối với một hàm trích Ø)

[rro=[see [t‹zele>l

Trang 39

4.2 Xấp xỉ hàm số một biến thực

4.2.1 Xấp xỉ bởi các hàm số bậc thang hay afin từng khúc và

liên tục

“Trong mục 4.2.1 này (z,b) chỉ một cặp số thực sao cho a < b

Nhắc lại hai định lý xấp xi đã thấy trong Tập 3, 2.3.3

Sd Định lý 1

Véi moi anh xa f [a:b] > E lien tục từng khúc, có một dãy (e„:{4¡b]—> E)„en những ánh xạ bậc thang trên [z;b] hội tụ đều đến ƒ trên [z;b]

ộ 4.2.1 Định lý Riemann - Lebesgue trén mot dean

Cho fla:h| > C liên tục từng khúc Chứng mình: ƒ /0)“&#———>0

$ 4.2.2 Định lý Riemann - Lebesgue trên một khoảng

Giả sử 7 là một khoảng trong Ñ ,ƒ:?—» C liên tục từng khúc và khả tích trên ï

" la,

(Sử dựng bài tập 4.2.1)

4.2.2 — Xấp xi bởi đa thức

a Định lý inh ly thi nhất của Weierstrass)

Với mọợi ánh xạ liên tuc flab] > K, có một dãy (Py lab] > K)nen nhiing da thức hội tụ đều đến ƒ trên [a;b]

G day, ta đồng nhất đa thức với ánh xạ đa thức

23

Trang 40

30 Chương 4 Dãy và chuỗi ánh xạ

vxe[0;1l, A./en=Š / lt }ea ~ xk

gọi là da thie Bernstein

Cho £>0 cố định Vì ƒ liên tục trên [0;1] nên theo Dinh ly Heine, ƒ liên tục đều trên [0:1]; vậy có rị > Ö sao cho:

úy) e[0IỂ, (on <n=\|fw- fos §:

Tiêu đề	Giáo trình Toán Tập 4
Tác giả	Jean-Marie Monier
Người hướng dẫn	Ngô Trà, Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập, Nguyễn Quý Thao, Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập, Phạm Phu, Biên tập lân đâu và tái bản, Trần Bích Vân, Chế bản
Trường học	Nhà Xuất Bản Giáo Dục
Chuyên ngành	Giải Tích
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2006
Thành phố	Việt Nam

Định dạng
Số trang	614
Dung lượng	11,34 MB