Giáo trình Toán tập 5 (Đại số 1) của Jean-Marie Monier

Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiên Bộ sách gồm 7 cuốn: Tập 1: Giải tích 1 Tập 2: Giải tích 2 Tập 3: Giải tích 3 Tập 4: Giải tích 4 Tập 5: Đại số 1 Tập 6: Đại số 2 Tập 7: Hình học Năm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5. Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6. Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.

emma NỔ 0o li cee tel i A

ĐẠI SO | (ido trinh va

600 bai tip co loi gia

Giáo trình Toán - Tập 5

ĐẠI SỐ 1

Cuốn sách này được xuất bản

trong khuôn khổ Chương trình

Đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại

Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ

phận Văn hóa và Hợp tác của

Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng

hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Vietnam, bénéficie du soutien du

Service Culturel et de Coopération

de TAmbassade de France en

République Socialiste du Vietnam.

Jean - Marie Monier

Cours de mathématiques - 5

ALGEBRE 1

Cours et 600 exercices corrigés

1* année MPSI PCSI PTSI

Jean-Marie Monier

Professeur en classe de Spéciales

au lycée la Martiniére-Monplaisir @ Lyon

@ DUNOD, Paris, 1996

Lời nói đầu

Bộ giáo trình Toán mới này, với nhiều bài tập có lời giải, được biên soạn

đành cho sinh viên giai đoạn l các trường đại học công nghệ quốc gia (năm thứ 1 và thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho các thí sinh dự thỉ tuyển giáo sư trung học phổ thông

Bố cục của bộ giáo trình như sau:

Tập: Giải tích Ì

Tập2: Giải tích 2

oi tích năm thứ 1 (xuất bản lần thứ 2, 6/1996)

Tập 3: Giải tích 3Ì Gin a Tạp4: Giải teat Giải tích năm thứ 2 (xuất bản lần thit 2, 6/1997) ậ ải tíc| pon ứ 3n Tần thứ 6 7

Tập 5: Đại số 1: Đại số năm thứ Í

Tập 6: Đại số 2: Đại số năm thứ 2

Tập 7: Hình học: Hình học năm thứ I và năm thứ 2

Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong rnỗi chương độc giả sẽ thấy nhiều bài tập có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám tập mới xuất bản

Nhiéu van dé & ranh gi:

đạng các bổ sung có giải

của chương trình được đề cập ở cuối chương, dưới Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lòng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, 5, phố Laromiguière,

75005 Paris

Jean-Marie Monier

Jean-Marie Monier

Muc luc tap 5

PHAN THU NHAT - GIAO TRINH

Chương 1 - Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

1.3.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

1.3.3 Thu hẹp và thác triển của ánh xa

4.2 Ước chung lớn nhất - Bội chung nhỏ nhất

Phép chia theo lũy thừa tang

5.3 Không điểm của đa thức

Mục lục

Chương 6 - Không gian vectơ

6.1 Cấu trúc không gian vectơ

6.2 Không gian vectơ con

8.2 Đổi cơ sở

8.2.1 Ma trận chuyển cơ sở

8.2.2 Déi co sở đối với mội vectơ

8.2.3 Đồi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính

8.2.4 Đổi cơ sở đố với một tự đồng cấu

9.1.2 Anh xa da tuyến tính thay phiên

9.2 Định thức của một họ m vectơ trong một cơ sở

của mội kẹv ø chiều

9.6.4 Dinh thie Vandermonde

9.7 Định hướng một không gian vectơ thực hữu hạn chiều

9.8 Hang vi ma tran con

Mục lục

Chương 10 - Không gian vectơ Euclide

(Nghiên cứu sơ bộ)

10.1 Tích vô hướng

10.1.1 Dai cuong `

10.1.2 Các bất đẳng thức và chuẩn Euclid

10.1.3 Tính trực giao

10.2 Không gian vectơ Euclide

10.2.1 Thủ tục trực giao hóa Schmidt

10.2.2 Phép chiếu trực giao, phép đối xứng trực giao

10.5 Hình học vectơ Euclide 3 chiều

10.5.1 Tự đồng cấu trực giao của E;

+Ẳ tu

Phần thứ nhất

GIÁO TRÌNH

Chương 1

Ngôn ngữ cua lý thuyết tập hợp

Mục đích chương này là trình bày một bảng từ vựng và các tính chất của lý thuyết tập hợp “ngây thơ”, có thể sử đụng được và được sử dụng trong mọi lĩnh vực của

Toán học, mà không che giấu một cách vô ích hiệu lực tổng quát của chúng, nhưng cũng không phát triển vô bổ

Chúng tôi cho rằng độc giả đã biết những tính chất sơ cấp của tập hợp các số tự nhiên tT = {0, 1, 2, }

1.1 Tập hợp

1.1.1 Một số yếu tố lôgic

Một khẳng định (hoặc: tính chất p có thể đúng (Ð) hoặc sai (S) (đúng hoặc

sai, chứ không phải đồng thời đúng và sai) Một bảng chân lý ghỉ lại hai khả

Phủ định của một khẳng định p

là một khẳng định được ký hiệu là D 3

không p (hoặc: Ìp) được xác định

Các phép liên kết lôgic và (hội), hoặc (tuyển), => (kéo theo), © (tương đương lôgic) được xác định bởi:

Chương Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

“và” có thể ký hiệu là: A; “hoặc” là: v.Cách ký hiệu ÿ có thể tiện lợi hơn

là: p và

Trong phép kéo theo p => g, p được gọi là giả thiết, z là kết luận

Phép kéo theo ¢ => p được gọi là đảo (hoặc: khẳng định đảo) của phép kéo

(p => q) © ((không 4) = (không p)): nguyên lý phản đảo

(không (p hoặc 4)) c> (không p) và (không 4))

(khong (p và 4) c (hông p) hoặc (không 4))

(không ( = 4)) c (p và (không 4))

(Œ và q) và r) © (p và (4 và r)): tính kết hợp của và

(œ hoặc đ) hoặc r) © (p hoặc (4 hoặc r)): tính kết hợp của hoặc

((p va q) hoặc r) © (( hoặc r) và (q hoặc r)): tính phân phối của hoặc đối với và

((p hoac g) và r) © ((p và r) hoặc (4 và r)): tính phân phối của và đối với hoặc

(œ =4) và (4= r)) => (p— r): tính bắc câu của phép kéo theo

“Theo quy ước, ta viết p = q = r thay cho: (p => q) va (q => r)

Ta hãy chứng minh định lý về sự phủ định của một phép kéo tfieo như một ví dụ:

11 Tập hợp

không |không 3 (khong (7 > g) ©=

Ta sẽ chỉ giới hạn trong khái niệm ngây thơ (trực quan) về tập hợp, mà không

đề cập đến khái niệm vẻ quan hệ “tập hợp hóa” Một tập hợp (hay tập) là một sự

tụ tập những đối tượng, chẳng hạn (0, I, 3}, {x e F¿ x > 2} Ký hiệu x € # có nghĩa: x thuộc (hoặc: là phần tử của) E; phủ định của nó được ký hiệu x £ Ff

Ký hiệu Ø chỉ tập hợp rồng, là tập hợp không có một phần tử nào

Một tập hợp có một phần tử x và chỉ một được gọi một dom từ và được ký

hiệu {x]

Lượng từ phổ cập V đọc là “với mọi” hoặc “với bất kỳ” hoặc

Lượng từ tôn tại 3 đọc là “tồn tại ít nhất một phần tử”, Ký hiệu 3! có nghĩa:

tồn tại một và chỉ một phần tử

Chữ tác động bởi một lượng từ là câm, có thể được thay thế bởi bất kỳ một

chữ nào (chưa mang một ý nghĩa nào):

(VxeE, PQ@)) © (Vy 6#, P(y))

re £, PW} 3 Gv € £, P &))

Phú định một câu lượng hóa

Ta có: ln (Vxef7,P(+))) @ (re E, khong P(x)

ˆ 1(không (xe E,P(x)) = (ve Eykhong P(x)

Chương! Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

Mọi câu lượng hóa bất đầu bởi 3x e Ø là sai Mọi câu lượng hóa bắt đầu bởi

Vx e Ø là đúng

Nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu lượng hóa Ching han: (Vx e H, 3y e N, x < y) là đúng, nhưng (3y e 11, Vz e \1,x < y)

là sai

Tuy nhiên, nếu các tập hợp E, E° cố định thì:

(VxeE,Vx' cE°,P(x,x')) ©(V+' 6E',Vxe E, PG&,x))

và (Œx e E, 3x! e E', Pặ&,x))) GY € EB 3x e E, PQx, x)))

1.13 Quan hé bao ham

@ Binh nghia Cho hai tap hop £, F, ta néi rang E bao ham trong F (hoac:

E Ja một bộ phận của F, hoặc E là một tập hợp con (hay tập con) cua F; hoặc: F bao ham 6), va ta ky higu E c F (hoac: F E), khi và chi khi: Vxe Exe F

Ta ký hiệu tập hợp cdc bo phan cia E 1a Y(E)

Ta ký hiệu E c # thay cho: EC Ƒ và E z F #

Ta ky hiệu E ơ F để chỉ phủ định của E c Ƒ, tức là: Ave Exe F

EGF (axe E,x¢F)

Vay: E#F & |hoic © lhoặc

+ AyB=(A-B)U(B-A), hiéu déi ximg cua A và B

'Ðể tránh sự lẫn lộn có thể xảy ra với một ý nghĩa khác của "-" (trong các nhóm Abel,

các không gian vectơ, ) ta có thể ký hiệu A \ Ø thay cho A - B

Céch ky higu A thay cho 6,(A) có thể tiện lợi, nếu không có nguy cơ lẫn lộn

a

Chuong! Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

'Ta sẽ thừa nhận rằng Định nghĩa trên có thể mở rộng ra trường hợp khi 4 va B không,

"trực tiếp" là những bộ phận của cùng một tập hợp E Chẳng hạn, nếu F, G là hai tập

hợp, ta thừa nhận rằng có thể dinh nghia F UG, F AG, F - G, F ¿ Œ tương tự như

trên đây

Hai tap hop F, G được gọi là rời nhau khi và chỉ khi F ¬ G = Ø

Độc giả có thể chứng mình, xem như bài tập, các tính chất sau đây: với mọi bộ phan

A,B,C của một tập hợp E:

«_ Dz(Ø) = E, [zŒ) = Ø, z0) = Á

+ At!Ø=Ø\UJAÁ=A (Ø là phần tử trung hòa đối với +)

Át2Á=A (mọi phần tử của 8ˆ) là lũy đẳng đối với c2)

AVE=E (E hap thu đối với +)

AUB=BUA (U ¢6 tinh giao hodn)

(AVB)UC=AUCBULO) (cé tinh két hgp)

AQA=A (moi phan tr cla BL) là lũy ding d6i vdi m)

AnoE=A (Ƒ là phần tử trung hòa đối với 4)

« AxB=B,A (Acé6 tinh giao hodn)

Ax@=A_ (@ laphén tir trung hoa déi vdi A)

A, A= (mọi phần tử của P(E) 1a đối xứng của chính nó đối với A}

A, B=(AUB)-(AMB)

11 Tập hợp

$ Định nghĩa 2 Cho # là một tập hợp, ? là một bộ phận cia P(E) Ta

nói ring © 1a một phân hoạch của £ khi và chỉ khi:

@MVAER A#@

Gi) VAE RVBER A#BD>ANB=O)

đi) Vxe E, 3A 6 72 xeA

VÍ DỤ:

1) Với mọi tập khác rỗng E, {£} và {{x}; x e E} là những phân hoạch của £ 2) Đối với mọi tập E và mọi bộ phận A của /: khác Ø và khác /⁄, {A „(4)] là một phân hoạch của /

3) (RL, {0}, Ry } la mot phan hoach cia Ik +

10 Chương! Ngôn ngữ của tý thuyết tập hợp

9 1.1.4 Cho E 1a mot tap hgp, 4, 8 e %8(), Giải trong ŸÄ¿) các phương trình sau: a)X UA=B

F=[xeE;, 3A czA.xe€A), G=lxeE;3B Bx eR)

a) Chứng mình rằng zA (tương ứng: Z) là một phân hoạch của # (tương ứng: Ở) b) Chứng minh: Œ = 0,7)

9 1.1.6 Cho £ là một tập hợp, 2 € N’, A,, ., A, a nhing bộ phận của E sao cho:

Ø=A,C 4iC^A C 4;=E

¬~ -

‘Ta ky ligu B, = A, -A,,

Chứng minh rằng {8,, .,B,) 14 mét phan hoach cia £

+ Phép kéo theo © là hiển nhiên

« Giả sử (x, y) = œ2 y9, tức là: {1x}, Íx,yH = (dah 0% Te

Nếu v #+”, thì {x) # {x'}, vậy 1x} = (x2 y} và {x, y] = (x], suy ra x =y” vax’ = y Những khi đó {{x}, bx, x1] = 11x71, (xỶ xÌ], suy ra {x} = ('}, x = +", mâu thuẫn

Vậy tà có x = x”, suy ra (x, y} = |x, y1 = lx, y], và vì vậy y = y- " Vậy ta có thể nói rằng cập (x, y) là cách cho x và y "trong thứ tự đó”

& Định nghĩa 2 Cho hai tập hợp £, F Ta gọi tập hợp các cặp (+, y) sao cho x e Z và y e Ƒ là tích Descarfes của E và F :

ExEF=lQ@,y);xe E và y e F)

Tập hợp # x E thường được ký hiệu EB

Trong thực hành, đáng lẽ viết V(x, y) e f2, ta có thể viết V+, y € E,

Từ định nghĩa dé đàng suy ra:

+l Mệnh để 2 Với mọi tập hợp E, F.G, H:

D ExE=Ø œ(Œ.= Ø hoặc P = Ø)

2) ExF=Fx l' Œ = Ø hoặc F = Ø hoặc E = F)

3) Ex PFYV(ExQ=Ex (FUG)

4) (Ex F) UG*«F)= EUG) «FF

5) (Ex FY A(Gx A =(E OG) xX OH)

Chudng1 = Ngon ngif cilia ly thuyét tap hợp

NHÂN XÉT:

Có thể ( x f) Ó (G xH) # (E k2 G) x Œ (2 H), chẳng hạn như trong ví dụ sau:

Chon € 7Ÿ), E,, , E„ là những tập hợp Với mọi xị thuộc &), ., x„ thuộc E„

ta ký hiệu (\, xu) = ( (ŒXụ, 32), x;), .; xu), gọi là một bộ-n, và ký hiệu là

TH: (hoặc E, x x E,) ; tích Đescartes của E¡, E„ là tập hợp các

isl

b6-n (x), ., x„) trong đó xị € E), ., x, e E„ Một bộ-3 được gọi là một bộ ba

Rõ ràng rằng với mọi (x,, , x,) và mọi (ị, y,) thuộc | ] E;,ta có:

isl (a, My) = Os Wn) CWE | (1, , 2}; = y)-

® Định nghĩa 3 Cho hai tap hop E, F

Mọi bộ ba (E, 77 Ƒ), trong d6 71a mot b6 phan cia E x F gọi là quan hệ

(hoặc: tương ứng) từ £ đến Ƒ Ta ký hiệu «Ry thay cho (x, y) ¢

£ được gọi là tập nguồn của

£ được gọi là tập đích của R

7 được gọi là đồ thị của &

Ta có thể biểu diễn một quan hệ bằng một biểu đồ (hình tên) trong đó mũi

tên đi từ x đến y khi và chỉ khi xKỳ Ví dụ:

R

Hai quan hệ ®, $1a bang nhau khi và chỉ khi:

& và Scó cùng một tập nguồn, ký hiệu là E

& và S có chung một tập đích, ký hiệu là #

42 Quanhé 13

@ Binh nghia 4 Cho £, F, Glaba tap hop, &# (tương ứng: 5) là một quan

hệ từ E đến Ƒ (tương ứng: từ dén G) Ta định nghĩa quan hệ hợp (hoặc: tích) của & và “, ký hiệu là S o R, từ # đến G hởi:

+| Mệnh để 3 (Tính kết hợp của phép hựp các quan hệ)

Cho £, Ƒ, G, H là những tập hợp, # (tương ứng: 5, tương ứng: 7) là một

quan hệ từ # đến Ƒ (tương ứng: /- đến Œ, tương ứng: Œ đến #ï) Thế thì (a có:

(To D0 R= To(So KR).

@ Dinh nghia 5 Cho £, Ƒ là hai tập hợp, #?là một quan hệ từ 7 đến / Ta

định nghĩa quan hệ ngược của , ký hiệu là # ”, từ # đến £, bởi:

Vane Ex Fk, WR ive xy)

Chẳng hạn quan hệ ngược của < trong 1Í là >

+| Mệnh để 4

1) Voi moi quan hệ KW: (R") = &

2) Cho EF, Œ là những tập hợp, #? (tương ứng: S) 1a một quan hệ từ /2

đến # (tương ứng: #° đến Œ) Tạ có:

(So@)'=w@*oS”

Ching wnnh:

1) DS dang

2) Voi moi (x, z) thuge Bx G:

2(So Rex SoRe [se re) yS2

oS [ ef, pl ezR os

NA

+$ Định nghĩa 6 Một quan hệ #? từ 72 đến Ƒ được gọi là mội quan hệ hai

ngôi khi và chỉ khi /

trong E

E Lúc đó ta nói ring ® 14 một quan hệ hai ngôi

Phân lớn các quan hệ được dùng ương Toán học là những quan hệ hai ngôi (< trong i,

tính chia hết trong 1 ( hoạc bao hầm trong S8), hoạc các ánh xa (xem 1.3 đưới đây)

+$ Định nghĩa 7 Cho /° là mội tập hợp, # là một quan hệ hai ngôi trong É,

A e 38Œ)) Quan hệ hai ngôi trong A, ký hiệu là #„, xác định bởi:

VỆ, v) € AY Ry ee vRy) được gọi là quan hệ sinh boi & trén (hoặc: trong) A.

1) Quan hệ < trong 1] Tà phản xạ, không đối xứng, phân dối xứng, bác cầu

2} Quan hệ L trong tập hợp các dường thẳng của mạt phẳng alïn I2uelide là đối xứng, nhưng không phản xạ, không phản đối xứng không bác cầu,

1.2.2 Quan hệ tương đương

+ Định nghĩa 1 Cho # là một quan hệ hai ngôi trong một tập hựp #

Ta nói rằng là một quan hệ tương dương khi và chỉ khi: £?7là phán xạ,

đối xứng và bắc cầu

¢ Định nghĩa 2 Cho #£ là một quan hệ hai ngôi trong một tập hợp /-

Với mọi x thuộc /2, lớp tương dương của + (modulo R) ka tập hợp, ký hiệu là cl,(2 (hoặc +, hoặc Y, hoạc +) được xác định bởi:

à E/&, là tập hợp các lớp tương đương

E[R= feldayex € Eh

vi DU:

1) Quan hé bàng nhau trong một tập lí lợp bất kỳ /2 là mot quan hệ tương đương Với mỗi + thuộc #, ta có cl-(+) = {+}, : ={(ala e]I

2) Trong một tập hợp #, quan hệ #? xác định hởi

hệ tương đương Với mọi + thuộc #2, ta có cl(x) = &

Ấy là một quan

Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

3) Với mọi ø thuộc '#”, quan hệ "là đồng dự với modulo ¡", được xác định bởi:

1) Giả sử £ là một quan hệ tương đương trong È

+ (Wx € E,cl,£x) # D), vix € cla)

© Gid sit (x,y) € EB? sao cho cl dn) Nel, G4

Vay tén tai z cl,/a) ¬ cláy) Khi đồ ta có x#€ z và y€*z, vì vay (do tính đối xứng và bác câu) xKỳ Suy ra clelx) C cl„(y) Thật vậy, giả sử ? e clz(x); ta có 2Rt va xRy, do đó y/t tức là e cla(y) Hơn nữa, vì x và y có những vai trò đối xứng nên: clz/+) = clxÁ1) + VI (Vx e E,x e clz(x)), nên hợp các phần tử của E/ là E

2) Ngược lại, giả sử 72là một phân hoạch của E và £ là quan hệ được xác định

trong E bởi:

Vệ, y) 6E”, [se =[s<rrS7)|

a) « Vì (Vx e E, 3P e #,x e P), nên ta có: Vx œ É, xKk, vậy R phan xa

« Với mọi (x, y) thuộc £?:

xRy© (srcedyS)s[srepEp]=»e 3 vậy # đối xứng

+ Giả sử (x, y, z) © B? sao cho xy va ye Tén tại P, Ở € /2sao cho: bế; và

ze

yee ViPAQ4@ va P 1a mot phan hoach, nên tá có P = Ó và tp «v ra

xR Nhu thé, bắc cầu.

1.2 Quanhé 17

by) œ) Giả sử x € E lồn tại P e ?? sao cho x e /, và khi đó ta có cl,(x) = P Thật vậy:

5 Với m

y thuộc P, Ụ : p „ VẬY XÂY,

«Với mợi y thuộc cl,4©), tổn tại @ e Z?sao cho ÿ : 5 ,Vvà@=P.(@WìP cứ,

1) Nếu £?1à một quan hệ tương đương trong E, thì với mọi (+, y) thuộc #”:

xây © cl(v) = cl{y) © + 6 clyÓy) © y € chr)

2) Mệnh để trên nêu bật song ánh (xem 1.3.2, Định nghĩa 1) giữa tập hợp các quan hệ tương đương trên # và tập hợp các phân hoạch của ?

0 1.2.3 Xet trong & quan hệ Ä?xúc định bởi

ree -

a) Kiểm chứng ràng #} là một quan hệ tương đương,

hộ Với mọi x thuộc #t, tính cl; (1)

9 1.2.4 Cho # là một quan hệ được xác định trong š„ ĐÔI:

(xÌ+2)0°* D sứ) +21G2 + 1), a) Kiểm chứng ràng #? là một quan hệ tương đương

Ba War ine 6 thins

vấn định số nhân tữ sĩta eI cv)

Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

1.2.3 Quan hệ thứ tự

1) Đại cương

+ Định nghĩa 1 Cho /7là một quan hệ hai ngôi trong một tập hợp /2

Ta nói rằng Ä' là một quan bệ thứ tự khi và chi khi: ® phan xa, phan đối xứng và bắc cầu

'Ta thường nói thứ tự thay cho: quan hệ thứ tự Một quan hệ thứ tự thường được ký

hiệu < (chẳng hạn, < thông thường trong + 1 hoạ *

Một tập hợp được sáp thứ tự (hay: được sáp) là một cạp (4, Ấ) trong đó Ja mot thứ tự trên #2

+ Định nghĩa 2 Cho Œ2, X) là một tập hợp được sắn thứ tự

D Hai phần tứ x, y của # được gọi là xo sánh dược (đối với <) khi và

rằng (nếu khác rồng), ~ không phải là một quan hệ thứ tự, vì nó không

Quan he ngược (xem 1.2.1, Dinh nghia 5) ca mot thet ues trong & là một thứ tự ký hiệu là > ; nói khác đi:

Vary elie eyo yu Nếu % là một thứ tự trên , thì vớt mỗi bộ phận A của /, quan hệ cảm sinh

bởi < trong A (xem 1.2.1, Dinh nghia 7) là một thứ tự, được gọi là thứ tự

cảm sinh bởi < trong A.

4.2 Quan hé

2) Các phần tử đặc biệt của một tập hợp được sắp thứ tự

@ Định nghĩa 1 Cho (7, <) là một tập hợp được sắp thứ tự

1) Cho A € XE), v € E Ta nói rằng + là một chặn trên (hoặc: cận trên)

(tương ứng: chặn dưới (hoặc: cận dưới) của A trong E khi và chỉ khi:

VaecA,d« x (tương ứng: Và 6 Á, x Sa)

2) Cho A € PF) Ta ndi rằng A bị chặn trên (tương ứng: bị chặn dưới) trong # khi và chỉ khi Á có ít nhất một chặn trên (tương ứng: chặn

dưới) trong E, tức là:

Sve E,Vae Ava <x (1wong ting: dy € E, Va € Ay x <a)

3) Cho A € P(E), a € E Ta néi rằng œ là một phần tử lớn nhất (tương

ứng: bé nhất) của A khi và chỉ khi:

tương ứng: +

4) Cho A € P(E), x © A Ta nói rằng + là một phần tử cực đại (tương ứng: cục tiểu) của A khi và chỉ khi:

Va € A, (x <a = x = a) (tuong ting: Va € A, (aX V4 =a)

“Ta có thể ký hiệu tập hợp các chặn trên (tương ứng: chặn dưới) của A trong £ là

Majz(A) (tương ứng: Min,(4)) Với (2, b) e EẺ, ta nói rằng b là một chặn trên của a

(hoặc ơ là một chặn dưới của b) khi và chỉ khi a =)

NHẬN XÉT:

1) Nếu a, / là những phần tử lớn nhất của A, thì ø < Ø GÀ ø e A và / là một phần tử lớn nhất của A), và tương tự Ø=é ø, suy ra # = Ø Như thế, một bộ phận A

của E có nhiều nhất một phần tử lớn nhất Nếu 4A có một phần tử lớn nhất (tương ứng:

bé nhất) thì nó được ký hiệu Max(4) (tương ứng: Min(4))

2) Một bộ phận A của Z có thể có hoặc không có phần tử lớn nhất Chẳng hạn,

trong (:„ <), _ cớ một phần tử lớn nhất (là 0), nhưng ”, không có phần tử lớn nhất

3) Một bộ phận A của £ có thể không có phần tử cực đại, hoặc có một, hoặc có nhiều Chẳng hạn:

Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

4) Nếu (E, <) được sắp thứ tự toàn phần, thì £ có nhiều nhất một phần tử cực đại,

đó cũng là phần tử lớn nhất của Z Thật vậy, nếu x là phần tử cực dai cia E, thi vi =

là thứ tự toàn phần trong E, nên ta có:

Va 6 A,{a < x hoặc x < 4)

và như vậy: Va e E, (a < x hoặc x = đ), tức là: Va e E,a 4x

'Vậy khái niệm phân tử cực đại chỉ có ích trong trường hợp < là thứ tự không toàn phần

® Định nghĩa 2 Cho (E, =) là một tập hợp được sắp thứ tự, A 8Œ)

1) Nếu tập hợp Majz(4) các chặn trên (hoặc: cận trên) của 4 trong E có

một phần tử bé nhất M, thì 1 được gọi là biên trên (hoặc: cận trên

đúng) của 4 (trong E) và được ký hiệu Sup;(4), hoặc Sup(4)

2) Nếu tập hợp Minz(4) các chặn dưới (hoặc: cận dưới) của A trong E có

một phân tử lớn nhất ơm, thì z được gọi là biên dưới (hoặc: cận dưới

đúng) của a (trong È) và được ký hiệu Inf;(4) hoặc Inf(4)

Nếu A gồm hai phần tử x y, hoặc một họ các phần tit (x), ¢ » thi ta sẽ ký hiệu

Supz(x, y), Infz(x, y), Sup x;, Inf x; thay cho Sup,(A), Inf,(A)

le ̀

NHẬN XÉT:

Cho (E, <) là một tập được sắp thứ tự, Á e 4E), M e E Muốn cho A/ là biên trên

(nếu tồn tại) của A trong E, cần và đủ là:

VaeA, a <M fie E, (WaeA,asa)= M s x)

VÍ DỤ:

1) E = 3, < thông thường, Á = 40; If

Ta có: » Majz(A) = [1; +œ|, vậy Sups(A) tổn tại và Supz(4) = 1

« Min,(A) = }-s; 0|, vậy Inf,(4) tổn tại và Inf,(A) = 0

Ta chú ý rằng, theo ví dụ trên, biên trên (tương ứng: biên đưới) của A trong È, nếu

tôn tại, có thể không thuộc A

2) E= Q, S thong thutng, A = {x € G57 <2)

Ta có: Majz(A4) = {x 6 Q„¡ xŸ >2) = [x © G5 27 > 2}, tap nly khong c6 phần tử bé

nhất (tức là: 2 # ); vậy A không có biên trên trong E

3) E = PF), trong đó Ƒ là một tập hợp, C là quan hệ bao hàm Với mọi (X, Y)

thuộc E2, ta có:

Supuø(X )=XÝ và Infy p(X Y=X OY

4) E = - {0; 1}, 118 tinh chia hét Với mợi (x, y) thuộc EÊ, ta có (xem 4.2.2,

1.2) Quan hé

NHAN XKT:

1) + Sup,(Ø) là phần tử bé nhất của # (nếu tôn tại)

« Inf,4Ø) là phần tữ lớn nhất của /¿ (nếu tồn tại)

2) Với mọi hộ phận khác rỗng A của #, nếu Inf,(A) và Supz(A) tổn tại, thì:

Inf,(4) < Supz(4)

quan hệ thứ tự xác định trong £ bởi 2 + 4

biểu đổ bên (theo quy ước không có

tinh phan xa va tinh bac cfu), A= {2, 3], S ¡Z

={2.41.C= 11.2

an A B,C, khdo sat sy tén tại và trị có thể có của tập hợp các chạn trên của

Tap hep cic phần tử cực đại, biên trên, và phần tử lớn nhất của chúng

© 1.2.8 a) Cho Œ, 5) là một tập hợp được sáp thứ tự A, # là hai bộ phận của

cho AB Chứng minh rang, néu A va # có các biên trên (cận trên đúng) trong, Supa) < Sup,()

Aco bién trên trong &

3 không có biến tren trong

A không có biê n trẻ n trong #

Ö có biên trẻ n trong £

» A và B có biên trên trong #2

Sup; (24) # Sup g; ().

a) Chứng minh 27 1a mOt the ty tren £ x £, gọi là tu rự tích của các thứ Lự trên #2 và trên 7

b) Lấy # = F = IR được trang bị thứ tự thông thường

œ) Với mọi cập (x, y) của RỂ, xác định tập hợp các chạn trên đối với # "của (x, v) trong, 1

B) Thứ tự 7?có là một thứ tự toàn phần trong 'FÊ không?

ÿ)_ Xác định tập hợp các phần tử cực đại của A = (Ux ¥) €

Œ=xvà ySy)

+) Chứng mình ràng £ là một thứ tự trên £ x # gor ka fut ae aie ciển (của các thứ tự trên È và

wen F)

b) Chứng minh ràng nếu “ của /2 và của /° là thứ tự toàn phần, ti Z là một thứ tự toàn phân

€) Lấy # = E = l, được trang bị thứ tự thông thường

Khi đó ta thường ký hiệu y = ffx} hon lax fy

ập hợp (hoặc miền) xác định của hàm ƒ, ký hiệu Def(/) là tập hợp các phần tử x của E sao cho tổn tại y € F théa man y = ffx)

Với mọi x thuộc E, nếu tồn tại phần tử y của F sao cho y = ffx), thi y được gọi là ảnh của x bởi ƒ (hay: qua j)

Với mọi y thuộc F, mot phan tử x của E sao cho y = /{4) (có thể không tồn

tại phần tử +, tồn tại một, tồn tại nhiều) được gọi là một tạo ảnh của y bởi

f (hay: qua f)

Như vậy, một quan hệ là một hàm khi và chỉ khi mỗi phần tử của tập nguồn có quan

hệ với nhiều nhất một phần tử của tập đích

® Định nghĩa 2 Một hàm ƒtừ £ đến F được gọi là một ánh xạ khí và chỉ

khi Def(f) = E Tap hợp các ánh xạ từ # vào # được ký hiệu là F*

Nói khác đi, một quan hệ 7c từ £ đến F là một ánh xạ khi và chỉ khi, voi moi x thud

E, t6n tai một và chỉ một phần tử y của # sao cho x£ y Ký hiệu #Ê sẽ được lý

Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

o| Mệnh để 2 Nếu ƒ: # —> F, g: FƑ => G là hai ánh xạ, thì ham hop

øs ƒ là một ánh xạ

Chứng mình:

Theo Ménh dé 1, ge f đã là một hàm Cho x e E Vì / là một ảnh xạ nên tôn tại y € Ƒ

sao cho y = f(x) Ngoai ra, vi g 1à một ánh xạ, nên tổn tại z € G sao cho z = g(y) Vay

theo dinh nghia cla øs ƒ ta có: z= (#s ƒ }G)

Với mọi ánh xạ ƒ: E >8: FOG, A: GOH, tac:

(ie pho f =holgof)

ánh xạ không giao boán, tức là c6 thé go f # fog Chang han,

:R->R và g:RE->E không giao hoán đối với s „vi: 8 Bì

vee ih KH hai (foghay= {02 =x? +1

và đạc biệt (go f)U) #(fe8) CD)

VÍ DỤ:

1) Véi tập hợp É bất kỳ, ta ký hiệu lú;: E—>E , gọi là ánh xạ đồng nhất (hoặc XX

phép đồng nhất) của E

2) Cho Z là một tập hợp, A € P(E); anh xa nhúng chính (ác từ Á vào # là ánh

xa, ký hiệu i„ „ (hoặc i„), xác định bởi:

ing ACE

xE>x

3) Cho E là một tập hợp, ƒ: £ —> E là một ánh xạ Ta ký hiệu ƒ' = Td, f! =f va với mọi ø thuộc Ñ- {0, 11.ƒ”= ƒ » ƒ "1, nếu không có nguy cơ bị lẫn với các phép

toán khác ( ” có thể chỉ 7 ,£' có thể chỉ đạo hàm cấp n cha f )

4) Cho £, F la hai tap hợp, ¿ e È Ánh xạ hàng a là ánh xạ thường được ký hiệu

cũng là ø, xác định bởi: a: E->E Xba

4.30 Ann xa 25

`5) Cho E là một tập hợp Với tap con A tùy ý của E, ta định nghĩa hàm đặc trưng

(hoac: hàm chỉ) của Á, ký hiệu x„ (hoặc: g,) nhu sau:

Yt E> {0,1}

1 néuxed

xR 0 néux ele (A)

6) Cho n € HN’, Ey, E, là những tập hợp Với mỗi í thuge (1, ., 2}, ta định

nghĩa ánh xạ chiếu chính tác thứ ¿, ký hiệu là p,, như sau:

Pt Ey, xX x FE, OE

(X15 es XQ) PG Chẳng hạn, với # = 2:

là hàm đặc trưng của A (xem Ví dụ 5), trong đó Á =Ũ (A)

Chứng minh các công thức sau đối với mọi bộ phận A, # của E:

ĐACB©®ø,S% 2A = BS O= Oe

3) ĐÃ =Øa 4) Đang =ØAØn

5) øy =lTØa 6) ØẠ;p = Øa T0a — ØA0p

?) 0A_g =ØẴØz)

8) Ø^pg = ØA +0p ~2040g = (0A —0g)” = |ÐA —Ø5| -

ô 43.2 Cho E, F là hai tập hợp, {118 tap hop các cập (X /) tạo thành bởi một bộ phận khác rng X của E và một ánh xạ ƒ từ X vào Ƒ Ta định nghĩa trong ¿ƒ một quan hệ, ký hiệu Z2 là:

xcx

WxeX, ƒ@&)=ƒ'Œœ)

a) Chứng minh rằng # là một quan hệ thứ tự trong ¿⁄

b) Các phần tử cực đại (tương ứng : cực tiểu) của ¿4 đối với R 1a gỉ

xjKcŒ,0e Ị

6 Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hop

bidudd nw “a fb là giao hoán (tức là: #e ƒ = g ), điều kiện cần và đủ là: 8 ( Sze dis

Viaasye YO) = f4) = 800 = BO’)

b) Cho hai ảnh xạ ø :É —>G, 6 = FG, Ching minh rang, dé ton tar fs £ > F sao cho

G

bos bidu dé fd Uh Tà giao hoãn (tức Ï

Wax € EL dy € F, gtx) = Aty)

à: re f =g ), cin vada la:

1.3.2 Đơn ánh, (toàn ánh, song ánh

® Định nghĩa 1 Một ánh xạ ƒ/:/—> Ƒ được gọi là ánh xạ:

« đơn ánh khi và chỉ kh: V(r.x)e £°,(fx) =7) >v= +)

« toan anh khi vichi khi: Vy € F, ave Fy = ft)

+ song ánh khi và chỉ khi: ƒ là toàn ánh và đơn ánh, tức là:

WyeU,dlreE, va)

Ta cũng nói đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh) thay cho ánh xạ

đơn ánh (tương ứng: ánh xạ toần ánh, tương ứng: ánh xa song ánh)

NHÂN XE

1) Một ánh xạƒ: 72 F Ta dom ánh khí và chỉ khi :

Vane BR, Ger > fix) ef’)

Nói khác di, f: & > F la don anh khi và chi khi moi phẩn tử của 7° có nhiều nhất một tạo ảnh bởi ƒ trong #:

2) Một ánh xạ /: # —> #' là toần ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của # có ít nhất

một tạo ảnh bởi 6trong #2

1⁄3 Anhxa 27

vi DU:

1) Néu A cE, ánh xạ nhúng chính tắc i„: A—y XOX E là một đơn ánh, cũng, được gọi đơn ánh chính tac tit A vao E

2) Cho E là một tập hợp, # là một quan hệ tương đương trong E Ánh xạ

s: E-xE/K là một toàn ánh, được gọi toàn ánh chính tác từ E lén E/R

xb cles)

@ Dinh nghia 2

1) Một song ánh bất kỳ từ £ vào £ gọi là một hoán vị của È

2) Đối hợp (hoặc: ánh xạ đối hợp) của E là một ánh xạ ƒ: E > E bat ky sao cho ƒs ƒ = ld;

e| Mệnh để 1 Hợp của hai đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh) là một đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, tương ứng: song ánh)

Chứng mình:

Cho hai ánh xạ ƒ: E — F,g:Ƒ — G

1) Giả sử ƒ và ø là đơn ánh

Với mọi (x, x) thuộc F? ta cé:

(go fy) = (ee Fx") Bf) = 86) Sf) =f >=

vậy gof ladon ánh

2) Giả sử ƒ và ø là toàn ánh

Cho z e G Vì ø là toàn ánh nên tổn tại y € Ƒ sao cho z = 8ÿ) Rồi, vì ƒ là toàn ánh

nên tổn tại z e E sao cho y = #1) Vậy ta 6 z = g(x) = (ge f(x), diéu nay ching

t6 go f là toàn ánh

` ƒvàglađonánh _ [go ƒ ladon énh

3) và ø là song ánh) => { Fvaglitoan anh — |go f latoin dh

=> (go f 18 song ánh)

«| Mệnh đề2 Choƒ: E —> F, g: Ƒ > G

1y Nếu øe/ là đơn ánh, thì ƒ là đơn ánh

2) Nếu øe ƒ là toàn ánh, thì ø là toàn ánh

ney

Chương 1 Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp

+| Mệnh để 3 Cho một ánh xạ/ƒ: Ƒ —> Ƒ Để quan hệ ngược của ƒ là một

ánh xạ, cần và đủ là: ƒ là song ánh Hơn nữa, nếu ƒ là song ánh thì ánh

xạ ngược ƒ ' của f Ja mot song anh

@|Ménh dé 4 Nếu ƒ:/ —> F vig: F > G là những song ánh, thì

gsf :E — G là song ánh và (ges/}!= ƒ 1a¿!

Ching minh: Do Ménh dé 1 va 1.2.1, Mệnh đề 4

NHẬN XÉT:

Từ nay, ta sẽ không sử dụng tới hạt hệ ngược của mou quan hệ, ngoại trừ trường

hợp khi quan hệ đó là một song ánh Vậy ký hiệu ƒ

giả thiết ƒ là song ánh Tuy nhiên, ta sẽ sử đụng ký hiệu ƒ "(A4 (nghịch ảnh của một

tap con A’ cua tap dich) đối với một ánh xạ ƒ bất kỳ, xem 1.3.5, Định nghĩa

+| Mệnh để 5 Chof: & > # là một ánh xạ Muốn cho ƒ là song ánh, điều

kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ g: ? => E sao cho:

Ve

(ete ƒsg=ldz Hơn nữa, với các giả thiết đó, ta có: ø = ƒ `"

2) Ngược lại, nếu tôn tại g: F > £ sao cho tý = i „ thì, theo Mệnh đề 2, vì

Id; là đơn ánh và Id; là toàn ánh, ta suy ra ƒ là đơn ánh và toàn ánh, do đó là song

ảnh Tương tự đối với g Cuối cùng:

#=g° ° ƒ”)=(g se ƒ' =1dg s ƒ =ƒ”,

«| Hệ quả Một ánh xạƒ: # —> £ 1a đối hợp khi và chỉ khi:

In là song ánh

flsf

1⁄3 Anhxa 29

Bai tap

ệ 4.3.5 Cho £, F là hai tập hợp, /: > #.ø: Ƒ — E là hai ánh xạ sao cho foxof la

song ánh Chứng minh ƒ và ạ đều là song ánh

4.3.6 Cho E,E, G là ba tập hợp, ƒ: E —> f2 gÈ — G là hãi ánh xạ Chứng mình:

a) Nếu ø© / là đơn ánh và ƒ là toàn án, thì ø la đơn ánh

by Néu ge f là toàn ánh và ¿ là đơn ánh thì / là toàn ánh

1.3.7 Cho hai tập hợp khác rỗng /, /, ƒ: É —> / Chứng mình (sử dụng bài tập L.3⁄4): a) ƒ là đơn ánh khi và clủ khi tổn tại một toàn ánh Ñ ; # —> É sao cho # s / = dụ

b) ƒ là toàn ánh khi và chỉ khi tổn tại một đơn dinh g: F + £ sao cho fog = Id,

4.3.8 Cho hai tập hợp khác rỗng E, ” Chứng minh rang hai tính chất sau đây là tương

dương

(} Tên tại một đơn ánh từ ÿ vào Z

đi) TỔn tại một toàn ánh từ / vào £,

1.3.9 Chof: Tot va g: Hil

4.3.10 Tích của hai quan hệ tương đương

Gia sit E, F là hai tập hợp, # (tương ứng: =) là một quan hệ tương đương trong E (tương ứng: #), 7 là một quan hệ xác định trong E x Ƒ bởi:

ay Tee t m yoy

a) Hãy kiểm chứng rang 7 la mot quan hé tuong đương trong £ x F

b) Nêu rõ một song ánh giữa L/R x F/S va (E x PY

4.3.11" Trong

P 1a định nghia một quan hệ #? bởi:

lasonganh

ƒRe© |3eE Ũ 8 ø°ƒ=goÐ

a) Chứng trình rằng R 1A mot quan hé tong dương trong Z

b) Có hay không ch sh (cdc ham hypebolic)? cosR sin?

e) Tìm một điều kiện cần và đủ đối véi (p, g) eR dé f: RO Rvag: ROR xe xE>x?+px+g là

tương dương