Giáo trình Toán tập 3 (Giải tích 3) của Jean-Marie Monier

Bộ giáo trình toán cao cấp của Jean Marie Monier với nhiều bài tập có lới giải được sử dụng là giáo trình chính thống trong nhiều trường đại học, cao đẳng đào tạo chuyên sâu về khoa học tự nhiênBộ sách gồm 7 cuốn:Tập 1: Giải tích 1Tập 2: Giải tích 2Tập 3: Giải tích 3Tập 4: Giải tích 4Tập 5: Đại số 1Tập 6: Đại số 2Tập 7: Hình họcNăm thứ nhất học Tập 1, 2 và 5.Năm thứ 2 học Tập 3, 4, và 6.Tập 7 Hình học bổ trợ kiến thức năm thứ 2.

Giáo trình Toán - Tập 3

GIẢI TÍCH 3

Cuốn sách này được xuất bản

trong khuôn khổ Chương trình

Đào tạo Kỹ sư Chất lượng cao tại

Việt Nam, với sự trợ giúp của Bộ

phận Văn hóa và Hợp tác của

Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng

hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Cours de mathématiques - 3

ANALYSE 3

Cet ouvrage, publié dans le cadre

du Programme de Formation dIngénieurs d’Excellence au Vietnam, bénéficie du soutien du Service Culturel et de Coopération

de VAmbassade de France en République Socialiste du Vietnam.

Giáo trình Toán

Tập 3

GIẢI TÍCH 3 Giáo trình và 500 bài tập có lời giải

Người dịch -

NGUYEN VAN THƯỜNG

(Tái bản lần thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Professeur en classe de Spéciales

au lycée la Martiniére-Monplaisir a Lyon

@ DUNOD, Paris, 1997

Bộ giáo trình Toán mới này, với nhiều bài tập

dành cho sinh viên giai đoạn I các trường đại học công nghệ quốc gia (năm

thứ 1 và thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I dai hoc khoa

học, và cho các thí sinh dự thì tuyển giáo sư trung học phổ thông

Bố cục của bộ giáo trình như sau :

Tập 1 : Giải tích 1 nh x 4

Tập 2: Giải tích 2 } Giải tích năm thứ 1

Tập 3 : Giải tích 3 } Giải tích năm thứ 2 Tập 4 : Giải tích 4

Tạp 5 : Dai sé 1 Đại số năm thứ Ì

Tập 6 : Giải tích 2 Đại số năm thứ 2

Tap 7 : Hình học Hình học năm thứ 1 và thứ 2

Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong, mỗi chương độc giả sẽ thấy

nhiêu bài tập có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám tập mới xuất bản

Nhiều vấn đề ở ranh giới của chương trình được để cập ở cuối chương, dưới

dạng các bổ sung có lời giải

Tác giả rất mong nhận được những lời phê bình và gợi ý của độc giả Xin vui lòng gửi các ý kiến đến Nhà xuất bản Dunod, 5, phố Laromiguiére,

Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Catherine

DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite

GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOURET, André

GRUZ, André LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, Rémy NICOLAI, Michel PERNOUD, Jean REY, René ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice SCHWARTZ va Gérard SIBERT

Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc Nhà xuất bản Dunod, Gisdle Maius va Michel Mounic, mà trình độ chuyên môn và tính kiên trì đã tạo điều kiện hoàn thành

VI Mục lục

Mục lục

Phần thứ nhất - Giáo trình

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn : 3 1.1.1 Chuẩn, khoảng cách liên kết 3

4.1.3 Bộ phận giới nội của một kgvức 14

4.6.2 Các bất đẳng thức và các chuẩn Euclide 402

1.8.4 Thủ tục trực giao hoá Schmidt 412

1.6.5 Phép chiếu trực giao lên một kgvc hữu hạn chiều 114

2.2.1 Đạo hàm tại một điểm

2.2.2 — Các tính chất đại số của các ánh xạ khả vi tại một điểm

2.2.3 Ánh xạ đạo hàm

22.4 Đạo hàm cấp cao

2.2.5 — Lớp của một ánh xạ

2.26 — Bổ xung: vì phân

2.2.7 Đạo hàm các hàm lấy giá trị ma trận

2.3 Tích phân trên một đoạn

Tích phân các ánh xạ bậc thang trên một đoạn

Dãy ánh xạ (sơ lược)

Xấp xÏ đều bằng những ánh xạ bậc thang hay

Tích phân phụ thuộc một tham biến

2.4 So sánh trong lân cận một điểm

2.4.4

2.4.2

2.43

Tính trội, ưu thể

Ham tương đương

Khai triển hữu hạn vectơ

2.5 Tích phân trên một khoảng bất kỳ

2.5.5 Tích phân phụ thuộc một tham số

Bổ sung

Chương 3 Chuỗi

3.† Chưỗi với số hạng thuộc một kgvức

3.1.1 Đại cương

3.1.2 Cấu trúc đại số của các chuỗi hội tụ

3.2 Chuỗi với các số hạng thuộc R„

3.2.1 Bổ đề cơ bản

3.2.2 Các định lý so sánh

3.2.3 Chuỗi Riemann

3.2.4 Chuỗi luỹ thừa

3.3 Chuỗi với số hạng thuộc một kgvđc

3.3.4 Điều kiện cần và đủ Cauchy

3.3.2 Sự hội tụ tuyệt đối

3.3.3 Các chuỗi thông dụng trong một đại số Banach

3.3.4 Dãy khả tổng thực hay phức

3.3.5 Chuỗi đan dấu

3.3.6 Thí dụ về việc sử dụng một khai triển tiệm cận

3.3.7 So sánh về một chuỗi với một tích phân

3.3.8 Khảo sát giá trị của tổng của một chuỗi

Giáo trình

4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian veotơ định chuẩn 3

Chương 1

Không gian vectơ định chuẩn

Trong chương 1 nay, I chi fÈ hoặc É

"Trong Tap 1 chúng ta đã khảo sát sơ bộ van dé này (chương 3, 4.12)

Chúng ta sẽ viết tất không gian vectơ là kgv

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn

1.1.1 Chuẩn, khoảng cách liên kết

1) Định nghĩa chuẩn, các thí dụ

® Đinhnghĩa Mọi ánh xạN: E —> IR thỏa mãn:

@ WaeK, Vrek, N(Ax) = | AL NG)

đ) VxeE, (NG@)=0=x=0)

đi) v@,y)eE2, NG+y)<NG@) + NÓ)

gọi là một chuẩn trén IK-kgv E

Đôi khi người ta còn thêm điều kiện: iv) VxeE,N@) >0, điểu kiện này thực ra

là thừa (xem đưới đây)

Mọi cặp (E,Ñ), trong đó È là một TK-kgv và N 1A mot chuẩn trên E, là một

không gian vectơ định chuẩn (viết tất là kgvác)

Nhận xét:

Cho (E,N) là một E -kgv

1) Ap dung (i) cho trường hợp 2 = 0, ta suy ra N(O) = 0

2) Với mọi x thuộc E, nếu &p dung (iii) cho x ta sé suy rat

0 = N(O) = N(x + 0) S NQ@) + NGx) = NG) + 1-IlNG@) =2NGœ)

va do d6 N(x) 2 0

Như thế điều kién N(x) 2 0 trong định nghĩa là thừa "

Thường một chuẩn trên E được ký hiệu là ||.ÍÏ:Z -—x | JR,hoặclà Wl xe

Nếu như không có nguy cơ nhầm lấn thì ta ký hiệu E thay vì Œ,N)

Thí dụ:

1) Ba chuẩn thông dụng trên KẾ” (cũng được gọi là các chuẩn mẫu trên I£”)

Co né NỀ, Với mọi x = Gụả x,) thuộc I ", xét các số thực |x|h |>|; -|*j,, xác

định bởi:

kh k,“ (Sa P= Mex lái: kel

Chúng ta hãy kiểm chứng lại rằng các ánh xa IR Ì + IR b 1 +k: KB OR được định nghĩa như trên đúng là những chuẩn Các phép tính sau đây đúng cho mọi x= („ *,), y = (i y,) thuộc TC”, và mọi  thuộc KK

9 @ak=S Eal= Adal lal

fel

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vecta dinh chuẩn 5

đi) Bất đẳng thức Jx+›j; <|t[, +|yÏ; đã được chứng minh với K = E khi khảo sát tích vô hướng (xem Tập 5, 10.1.2, Định lý 2) Tuy nhiên ở đây chúng ta

Chuẩn | |, gọi là chugn Euclide thong thuimg trên R” néu = B , là chuẩn

Hermite thông thường trên C'néu K=C

i A =_ Max (Äx¿|)= |A| Max =l^

Các chuẩn ||, |-|[ trơng thí dụ 1) đểu là những trường hợp riêng của chuẩn |.|,,với p=l,p=2

'Với mọi x = (xị, , xu) thuộc IK”, ta c6: il, — Max |x;] (xem bai tap 1.1.8,

đ)), chính điều này lý giải cách ký hiệu Velo:

3) Cho X là một tập hợp không rống; tập hợp BOS KK) các ánh xạ bị chặn

từ X đến K là một -kgv (xem Tập 1 4.1.8, Mệnh để 3)

Ánh xạ J.|„ : BÓZK)———>,W fo Supls] xe là một chudn trén BOX; IK)

Thực vậy, với mọi f, # thuộc BỌC, T) và mọi  thuộc T&›

@ Í/1„ = Snp|2/@|=|llSep|/Gs] = 21 le xeX xeX

úp Jÿ[LL Oe ve EX È@J=0©/=0

đi ]ƒ +z|„ = Sup|/Œœ)+zG)| < Sup 4/œ|+|eœÙ

xeX xeX

€ Sup [fo)|+ Sup |e] =F tele - xeX xeX

Chon | |, rn BOG IK ) duge goi la chudn hoi tu déu vi 1 (xem Tập 4, 4.1.1),

một đấy (ƒ„) hội tạ đêu đến ƒ trên X khi và chỉ khi:

'Tôn tại N 6Ñ sao cho với mọi n >z Ñ,ƒ„ -f © BOK)

ụ -f, 29 no

4) Cho (a,b) € TR? thỏa mãn ø < b, và E = C({4; b, I£) là KK -kgv các ánh xạ

liên tục từ [ø; b] đến IK Chúng ta hãy xét các số thực Jl;fl; xác định với mọi ƒ

ihe fire Whe [(urF

Ta kiểm chứng rằng các ánh xạ || - | › ||- L;: Cda;1, K ) > RR xác định như trên

đây là những, chuẩn Với mọi ƒ, ø thuộc C({a;b], IK) va migi A thudc KK ta có:

M L

q0 |/l=0© {i =0œƒ/=0,

vìƒ liên tục (xem Tập 1, 6.2.5, Hệ quả 4)

Gi) [fre = [eas [0

- Ñ14: [8-hbh

1

4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn

+

sl [ve F =a

Gi) [F290 = i 20 f=0,

vì ƒ liên tục (xem Tập 1, 6.2.5, Hệ quả 4)

(iii) Bat đẳng thức |ƒ +zj, <||ƒ[; +|g], là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-

Schwarz đối với các tích phân:

ƒ i { (i P| [| (xem Tap 1, 6.2.5, Định lý)

5) Tổng quát, với cách ký hiệu như ở 4), với mọi p thuộc [1; +oo[, ánh xa:

|-Ï,: Czb,KЗ—> Ru

f t? ( ũ HP ỳ

là một chuẩn, gọi là chuẩn Hölder (xem bài tập 1.1.9)

Với mọi ƒ thuộc Cdø;b], E2), ta có |/|,———> SP ÈG| œem bài tập 1.1.9, PP? xea,b| 4),

chính điều này lý giải cho ký hiệu |/|L-

2) Khoảng cách liên kết với một chuẩn

$ Địnhnghĩa Cho(E,|.|) là một kgvác; ánh xạ đ: EP > IR xác

định bởi:

V@&y)e E2, dœy)= |x—3Ì được gọi là khoảng cách liên kết với I-|-

Nói riêng: vxe E, -4(0+) = |*|-

$ | Mệnh để1 ChoŒ,| |) là một kgvác và d là khoảng cách liên kết

với | + I- 'Ta có:

1) V&xy)e #!, đ@x) = đGy)

2) V@&xy)e E*, (dxy)=0 © xe y)

3) Vany.ze BE, d(xz) < dy) + 40,2)

4) Vayle E2, Vie IK, d(x, dy) = laldtx,y)

5) W(xy.z)e E*, d(x+z, y+z) = dy)

7

Chứng mình:

Daya = fy-x[=]He-y)] = be-9 = den)

2)4xy»=0 & [x-3|=0 œx-y=0 ©x=y

3) đœ,2)= [x—z|=lă~»+0œ-2ÏÌ< lrn + Jy-zÏ z4&»)+402) 4) d(dx, hy) = Yax—Ayl = [AG-y)] = Lal be-all = lA|4œy)

5) dœ+z, y+2) = x+z)~O@+?Ì|| = lz-= 4œ»

Nhận xét:

1) Cho tập hợp E; khoảng cách trên E là bất kỹ ánh xad: E> IR thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) trên đây Mọi cặp (E4), trong đó E là một tập hợp và đ là một khoảng cách trên E, được gọi là không gian mêtric

2) Nếu E là một IK -kgvde và 4: E2—>E là một ánh xạ thỏa man nam điều

kiện 1), 2), 3), 4), 5) trên đây, thì tồn tại một và chỉ một chuẩn || | trên E sao cho:

vœy)e E2, đ@¿) =|x ~3Ÿ|

(xem bài tập 1.1.2)

3) Ta có thể minh họa hình học các tính chất 3), 4), 5) như sau (đối với chuẩn

Euclide thông thường trên RẺ):

bất đẳng thức tam giác tính thuần nhất dương — tính bất biến qua phép tịnh tiến

4) Ménh dé2 (Bất đẳng thức tam giác ngược)

Cho (E ,|| |) là một kgvác và đ là khoảng cách liên kết với I-|-Ta

9 BỊ =l«—»+3| < |x—zJ+, từ 46 suy mê El-lb|< *->Ì-

Bằng cách hoán vị x và y ta được: |›]~|£|<ly-xÏ =l+z-3|-

Như vậy ta có:

k— > Madbl 1Bl b= | BIBHÌ

-4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn

2 4œ» = [z~v| =lx~2~œ~2|

>|lx-z|-lb-2|= |2 - 42)|-

3) Cách xây dựng chuẩn

a) Chuẩn cảm sinh trên một không gian vecto con

Cho (Z,,| - |) tà một kgvắc và đ là khoảng cách liên kết với | |

=_ Với mọi kgvc F của E, ánh xạ iow là một chuẩn trên F, gọi là

x 1? lh

chuẩn cảm sinh trên # bởi || || (cña E), cũng được ký hiệu là || |

e - Với mọi bộ phận X của £, anh xa XxX———> R_ duge goi là

(Gy) Re 4Œ)

khoảng cách cảm sinh trên X bởi 4, vẫn ký hiệu là d

Với mọi kgvc F của E, rõ ràng là khoảng cách cảm sinh trên F bởi đ cũng là khoảng

cách liên kết với chuẩn cảm sinh trên F bởï || |

b) Chuẩn trên một tích hữu hạn những K -kgvde

Ta nhớ lại rằng một đại số (hoặc TE:-đại số) là một IK-kgv Á được trang bị một luật

hợp thành trong, ở đây chỉ bằng ký hiệu hoặc bằng cách không viết ký hiệu nào cả, thỏa mãn các điều kiện:

Œ) , phân phối đối với +:

x(y+2)= xy+?

Gi) VAEK, Viqy)e A, (Aady = Ay) =2(Ay)

Nếu thêm nữa có tính giao hoán (tương ứng: kết hợp, tương ứng: có phần tử trung hòa), thì ta nói rằng A là một IE-đại số giao hoán (tương ứng: kết hợp, tương ứng: có don vi)

9

$ Đinhnghĩa Cho A 1a mot K -đại số, N là một chuẩn trên l-kgv A

1) Ta nói rằng ý tương thích với phép nhân trên A khi và chỉ khi:

3CeR,, Vớ,y) 6A?, NGy) < CNQ)NG)

2) Ta nói rằng N là một chuẩn đại số khi và chỉ khi:

V(6xy)=A?, NŒy) < NGÀNO)

Mọi cặp (A,N) trong đó A là một ÏỆ -đại số và N là một chuẩn đại số trên Á

gọi là một ïK-đại số định chuẩn

$ | Mệnh để Với mọi tập hợp không rỗng X, BÉ Bf) là một đại số định

chuẩn, trong đó luật thứ ba là phép nhân

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 11

1.4.3 Cho E là một K-kgv, N: E —> IR là một ánh xạ thỏa mãn:

)YxeE-(0Ì, NG)>0

2)N@)=0

3) Vixy) € BY, VÀ ef, NG@x+y) < [al NG) + NG)

Chứng minh rằng N là một chuẩn trên E

4.1.4 Cho £ là mộtlÉ-kgv,p elf”, Mị, N, là những chudn tren E , (đi đ,) €

1

Ven) ER, NG queen Xp) = ƒ Sx #0) ár

6 lke

Tim một điều kiện cần và đũ đối với (ff) 48 NM mot chudn tren RY,

41.6 ChoE,Flàhai IK-kgv,|| [p là mot chudn wen F,fe CIEF), NE) Ro x|/Gl|z

Tìm một điều kiện cần và đủ đối với ƒ để M là một chuẩn trên E,

4.47 Cho (n,p) € N? sa0chop$n,A= (4), €M,,(K), (Gon @) EE

Chon e N*,p 11; tool, = (vậy: i P

a) Chứng mình rang Via, b) € (R)%, abs ta? shoe P.4

Ký hiệu || ||„: EZ:*—> T là ánh xạ xác định bởi: Ip

2

VE anh) €K, finn, = » bal? fs

kel

và cũng tương tự đối với || kL

b)* Chứng minh rằng với mọi (x, y) thude (K"}' ta có:

©) Từ đó suy ra rằng || l, là một chuẩn trên ÏƑ.*, gọi là chuẩn Hölđer

d) Chứng minh rằng với mọi x thuộc IẾ”, ta có: Kl, _— kk[„ trong đó H.= Max bel VOLTS (Xp Ky)

9 1.1.9 Chudn Hélder trén C([a:b}, TK)

Cho (a, b)e R? sao cho a < b, E = Cia: bl, EE), p € ]; +oel, 4 = a P-

2) Ching minh: V(a, A) < (R.}', đổ <-LaP+—Øf (xem bai đập 1.1.8, a) p4

Ta đùng ký hiệu || I, 46 chi anh xa E> RR xd dinh bai:

1

vfeE, u,-([ bus

và cũng ký hiệu tương tự đối với || 1, :

b) Chứng minh rằng với mọi (, g) thuộc È Ê ta có:

[74st le

® J/+al,<Vl,+ld,

©) Từ đó suy ra rằng || L là một chuẩn trên E, gọi là chuẩn Hölder

dỳ' Chứng minh rằng với mọi ƒ thuộc E ta có:

ộ 4.1.10 Cho mot kgvde Œ, | |), (6, b) e Œ - (0 xE, ƒ: R——>, R Chứng re [+H

minh rằng ƒ lồi (nghĩa là:

VY) e 2, VA € [051], Adu + (1 Av) < Á/0) + (1-Ä\ÑY), xem Tập 1, 1.5.4, Định nghĩa), và ring: lim f = +00 Foo

4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn

1.1.2 Quả cầu, hình câu

Cho (| 4 > mot K-kgvde va dla khoảng cách liên kết

$ Đinhnghĩa Choz€E,r€ IRỶ ; ta định nghĩa các bộ phận sau đây +

của E, được gọi theo thứ tự là quả cầu mở, quả cầu đóng có tâm ø và

1) Nếu E # (0} thì với mọi 4, b thuộc E và mọi z, s thuộc R} „ta CÓ:

xem bai tap 1.1.11, 5)

Như thế một quả cầu mở (tương ứng: đóng, tương ứng: hình cầu) của E chỉ có một

"tam" và một "bán kính" duy nhất

2) Nếu (E,4) là một không gian mêtric (xem 1.1.1, Nhận xé0, thì ta định

nghĩa như trên các tập hợp B(4; r), B(4; r), S(4; r), nhưng có thể có B(4; r) = B(b;s) với a# b hay r#s

Ching han, d: N? > I nếu xzy làmộtkhoảng cách trên N, va với mọi (ø, ở)

Œ) jo néux=y

thuộc N? va mai (7,5) thudc ]1; +o0[? , ta c6: B(a; r) = B(b;s) = N

Ta có thể ky hiéu B,(a; r) thay vi B(a; r) để tránh nhầm lẫn, nếu như đang xét nhiều

kgvức

Thí dụ:

Trong ït? ta có thể minh họa hình học các quả cầu đóng có tâm Ø và bán kính 1 đối

với ba chuẩn thông dụng như sau:

13

(la sé gid thiet ring E > (0] d6i v6i 4) và 5)

0 4442 ChoE là một K-kẹv, N, va N; hai chudn wen 2a ¢ Eyre RY; gidsir

By, (a7) = By, (@:7) Ching minh ring N, = No

9 4.4.43 Chứng minh rằng trong mọi kgvde moi quê cầu mở (tương ứng: đóng) đều tôi

113 Bộ phận giới nội của một kgvde

Cho (E,[ [) 18 mot I-kevde va 4 là khoảng cách liên kết voil| |

$ Đinhnghĩa1 Một bộ phận A của E được gọi là giới nội khi và chỉ khi:

AM ER,, Vay) € AY, day) <M

4 | Mệnh để1 Mot bo phan A của E là giới nội khi và chỉ khi:

3CeR,,WxeA, ff sc

Ching minh:

1) Gid sir A giới noi; tan wi ME R,s2ocho: VG, y) € AY, d(xy) <M

Nếu Á = Ø thì tổn tại z € A, và với moi x thuge A ta có:

fl s [x-af + fo] s M+ fel - 2) Đảo lai, gid sit t6n tai C € IR, thỏa mẫn: Vx € A, Il < ¢

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 15

Nhận xét:

Một bộ phận A của E giới nội khi và chỉ khi tồn tại một quả cầu đóng (hoặc một quả cầu mở) chứa A

$ Đinhnghĩa2 ChomộttậphợpX,/ X—› E là một ánh xạ; ta nói

rằng ƒ bị chặn khi và chỉ khi (X) 18 một bộ phận giới nội cla E

Nhu thé f: X—> Ebj chin khi và chỉ khi t6n tai C € IR, théa man:

x eX J/fœ)| <€

$ Đinhnghĩa3 Chomột bộ phận giới nội không rỗng A của È

Đường kính của A, ký hiệu điam(4), được định nghĩa bởi:

diam(A)= Sup d(x,y) -

1) Cho A, 8 € fÐ () sao cho A C Ö Nếu ð giới nội thì A cũng giới

nội ; nếu hơn nữa Á # Ø thì :

isd

3) Suy từ 2) với chú ý rằng mọi đơn tử đều giới nội

1.1.4 Lân cận

Cho (£,] |) là một K-kgvdc và đ là khoảng cách liên kết với|| |

$ Định nghĩa1 Choae E,V %8); ta nói rằng V là một lân cận của ø (trong E) khi và chỉ khi tổn tại r € Rt sao cho B(a;r) c V

Ta ký hiệu tập hợp các lân cận của a (trong E) là V2(2) (hoặc Va))

+ Mệnh dé1 Choaec<E

(i) We V,fa), aeV

đi VV e Vj(a), VW e BCE), WcW = We 44)

ñ Gil) Vn EN", WV Vane Ye (1) vi; eV eta)

i=l Chứng mình:

1) Tinh chat (ii) trên đây chứng, tô rằng, với moi ho Wher những lân cận của

a,thi U V; là một lân cận của 4

ie

2) Giao cba một họ vô hạn những lân cận của 2 có thể không phải là một lân

cận của a, chẳng hạn như thí dụ sau đây trong tập TR thông thường: (Hf) 7 AL /neN’

+ Mệnh đề 2 Cho (ab) EỄ sao cho a # b; tổn tại Ý € V?(a ) và

We V?Œ) sao cho VfW = Ø

Ta nói rằng mọi kgvác đều là không gian tách

Chứng mình: Chỉ cân lấy V = B(asr), W =B(@r), trong đó r = jatar) + a

1.1 Các khéi niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn 1Ÿ

Phép chứng minh trên đây cũng chứng tô một cách tổng quát hơn rằng mọi không

gian mêtric đều là không gian tách (sau khi đã định nghĩa một cách thích hợp khái

niệm lân cận trong một không gian mêtric)

$ Đinhnghĩa2 (Lân cận của một điểm trong một bộ phận)

ChoA € P(E), ae A,V © P(A) Ta nói rằng V là một lân cận của

atrong A khi và chỉ khi tổn tại V,€ V22) sao cho V = V¡ f1 A

Tap hợp các lân cận của a trong A ký hiệu là V42)

Ta cũng nói rằng ( là một bộ phận (hay: tập) mở (của E)

Như thế Q là một bộ phận mở của Z khi và chỉ khi Q ]à lân cận (trong E) của mọi

điểm của nó

Moi qua cầu mở của E là một bộ phận mở của E,

Thực vậy, với mọi (a, r) thuộc E x Riva

mọi x thuộc B(2;r) ta có:

Bex; r- d(a.x)) C Bla; r).

Gi)_ Với mọi họ (Q,),„, những phần tử của Ó, ta có: Usie oe iel

(đi) Với mọi họ hữu hạn (Qi) er những phần tử của O , tacé: (2: €O

ieF

4.4 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn

Néu (%, ©) 1a mot không gian topo thì Ø được gọi là tôpô của % O ), và các phần

tử của @ được gọi là các tập mở của (X, OQ)

Nếu (E,} |) 18 mot K-kgvdc , khi ky higu khoảng cách liên kết với] | ad, thita

đã thấy (xem 1.1.1, 2), Mệnh để 1) rằng (E, 4) là một không gian mêtric; ký hiệu

tà tập hợp các tập mở của Ế (theo định nghĩa trên), thi (E, ©) la một không gian

tôpô

“Tên tại những không gian tôpô (X, © ) khong metric hóa được, tức là trên X không

tổn tại khoảng cách d nào sao cho © là tập hợp các tập mở của (XZ); chẳng hạn:

Chỉ cần chuyển sang các phần bù trọng mệnh đê tương tự đối với các tập mở (xem

1.1.5, Mệnh để 1) Chẳng hạn đối với (ii) lược đồ phép chứng minh như sau:

(Vie{1, n},f, đồng) @ (Vie[1, , n}, gŒ;)mở)

= lóc m > [Coe

i=l

Nhận xét:

1) Hợp của một họ vô hạn những tập đồng, của E có thể không phải là một

tập đóng của E Chẳng bạn, trong IR thong thường, với mọi x thuộc ]0;1J, don tir {x}

là một tập đóng, nhưng U {x} thi lai bang JO;1[, đây khong phải là một tap đồng

xe]J0IL

cha R.

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectd định chuẩn 21

2) Một bộ phận của E có thể vừa mở vừa đóng, chẳng hạn như Ø

3) Một bộ phận của E có thể không mở cũng không đóng, chẳng hạn như

10;1] trong EE thông thường

Thí dụ:

1) Mọi hình câu đều đóng, vì: S(zz) = B(z) n(B(4;0)

2) Mọi đơn từ đếu đóng, vì: (+] = ( ] BS”)

reRy

3) Mọi bộ phận hữu hạn đêu đóng, vì là hợp của một số hữu hạn đơn tử

$| Mệnhđể2 Cho n thuộc NỈ, (E¿,N¿)¡<¿<„là những lŠ-kgvớc, ‘Ke! 1<&k<

3) Bộ phận mở và bộ phận đóng của một bộ phận của một K -kgvắc

$ Đinhnghĩa ChoAc P Œ)

(i) Moi bé phận U cha A sao cho tổn tại một tập mở @ của E thỏa mãn U =QnA, được gọi là tập (hay: bộ phận) mở của A (hoặc: mở

tương đối của )

(ii) Mọi bộ phận G cia A sao cho tén tai mét tap déng F của E thỏa

mãn G =E n4, được gọi là tập (hay: bộ phận) đóng cia A (hoặc:

đóng tương đối của 4)

Người ta cũng nói rằng các Lập mở (tương đối: đóng) của Á_ là các vết trên 4 của các tập mở (tương ứng: đóng) của E

Với a € A và r € +, ta thường ký hiệu:

Bas r) = Bai) NA = be € AS dax) <r;

ta cũng định nghĩa tương tự cho Bu(4; r), S„(4; r)

Khi thay kgvức E bởi một bộ phận Á của E, thì các kết quả ở 1.1.5, 1) và 2) vẫn còn

đáng

Nhận xét:

Cân chú ý rằng một tập mở của Á có thể không phải là một tập mở của E

Ching han, trong I thông thường thì [0;1[ là một tập mở của [0;1] (d T0;1{=

T1; 100; 1D, nhưng (0; 1Í lại không phải là một tập mở của ÏÈ

1.1.6 So sánh các chuẩn

$ Đinh nghĩa Cho Ela mét K-kgv, N,N’ hai chuẩn trên E Ta nói

rằng N tương đương với N’, va ky hiệu N ~ N’, khi và chi khi:

Blo, ECR, Vee E, ONG) SN'@) SANGO)

$| Mệnh để1 Quan he "tong duong với" là một quan hệ tương

đương trong tập hợp các chuẩn trên E

Chứng mình:

1) Tính phản xạ: Hiển nhiên

2) Tính đối xứng:

Nếu N 2 N thì tổn tai (a, 8) € (RY sao cho:

WweE, aÑG) < NÓ@) < ÔNG),

từ đồ suyrà — WEEE, gue <N@) <4 vo, a

14.4 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 23

Nếu E # {0} thì hai chuẩn N, N ° trên E tương đương với nhau khí và chỉ khi ae x

và x bi chan khi x chay khắp Z - {0} Bang lập luận phần đảo ta suy ra rằng

x

nếu tồn tại một dãy (x,) „eạ những, phần tử của E - (0} sao cho Nz.) a! :

hoặc È CH)_— —>+eo , thì N và N' không tương NŒạ) "9

4 | Ménh dé2 Cho E là một iK-kgvđc, N, Á ' là hai chuẩn trên E Hai

tính chất sau đây tương đương với nhau:

@ 3aeR,, vreE, N@)<aNG@)

Œ Mọi đấy (x„)„ hội tụ đến 0 trong Œ, N) cing hội tụ đến 0 trong

Chứng mình:

@ > Gi):

Giả sử tên tại ø e R1 sao cho: VxeE, N@) < ø NÓ)

Cho (x„)„ là một đấy hội tụ đến 0 trong (E, N), tức là sao cho: N(x,) — 0 Vì: VneN, 0<NWŒ,)<eøNG,), nên ta suy ra N’ (x,) mw? tức là &x,)

hội tụ đến 0 trong (E, M)

(i) > @:

Ta chứng minh mệnh dé phản đảo, tức là: (không ()) => (khong (ii))

Giả thiết: lưeR) ,3xeE, NQ) > aNG)

Áp dụng giả thiết này cho ø = n, với mọi ø thuộc Ñ*, ta suy ra ring tén tai u, € E

sao cho:

Nu, ) > nN(u, )

Nói riêng: WneN ,u,+0

1 Với mọi œ thuộc Ñ ta ký hiệu x„= Uys

xnN@)

Một mặt: N(&,) = 1s, 0, vậy (x,)„hội tụ đến 0 trong (E, N) vn

Mặt khác thì: No) = No 5 he, nN (un)

do đó (x,),, khong hdi ty dén 0 trong (E, N’) a

Nhén xét:

Cho E là một IK-kgv, N, N' là hai chuẩn trên E, Ø (tương ứng: Z2" ) là tôpô của

Œ,M) (ương ứng: (E.N') @xem 1.1.5, 1), phần tổng quát hóa), Ta có:

N~N'œ O=0"

Thue vay:

1) Giả thiết N ~ N 5 t6n tai (a, A) € (RE: Ỷ sao cho:

Vie E, œNW@œ)<N '@)< BN)

ChoQe O,aeQ; téntair € R} sao cho B„(;r) C Q@ Điều này chứng tỏ

răng Ö là lân cận của mọi điểm thuộc (E, Ñ , do đó Ö e2", Quan hệ bao hàm này chứng tò Ø C @Ø'

Bằng cách hoán vai trò của © và ©’, ta thu được bao hàm thức ngược lại, và cuối cùng là ŒØ = Ớ',

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vecto dinh chuẩn 25

2) Ngược lại, giả thiết Ø = 0"

vay ByO; 1) e V,z„3(0)

Như thế tổn tại ø € R1 sao cho B„.(0; 2) C By: 1)

Với mọi x thuộc E - [Ú} ta có:

© 4/414 — Cho (a,b) e E2 tha ming <b, = Ca; 4B), |e Ebb?

những chuẩn trên E xác định bởi:

b) Chứng mính rằng || |, › | - |, | - Ís từng đôi một không tương đương

9 44.45 Cho Ela tập hợp các ánh xạ ƒ liên tục từ IE đến IE sao cho các ánh xạ ƒ và ƒ?

đều khả tích trên IE

2 GTTT3-GT3

26 Chương1 Không gian veciơ định chuẩn

Xét các ánh xạ | |, [-ÿ;: —> IR xác định bởi:

1

El= [jlzole — the (Cc [oP ay

a) Ching minh ring || |, va | |, 1 những chuẩn trên E

b) Chứng minh rằng tổn tại hai day (F) „e¡ » (8) yew hig phén tử thuộc E - (0) thỏa

Hãy so sánh với bài tập 1.1.14

ộ 4.4.46 Cho E=C([0; 1), RB); vi mdi ợ thuộc Eta ký hiệu N„:E => R

re? Pil

a) Xác định một điều kiện cần và đủ đối với ø để cho Nợ là một chuẩn

b) Xác định một điều kiện cần và đủ đối với ø để cho N„ và Ñ) là những chuẩn tương đương

e) Với (ø, y) e E?, hãy xác định một điều kiện cần và đủ đối với (ø, ) để cho Nẹ và

Ný là những chuẩn tương đương

0 4117 ChoE=C0; 1J,R), øe E thỏa mãn f @ #0 Taky hitu N, Ny: ER

Chứng mình rằng N, Mẹ là những chuẩn trên E, và chúng tương đương

Chứng mình rằng N, và Á ˆ là những chuẩn trên E, nhưng chúng không tương đương

0 4.149 Chop€lf, E=Œ(0:11.7), vàánhxạ vy, E> IR xéc dinh với moik thuộc {0, ,p} béi:

%O= dye) + Sop {Poo}

Kiểm chứng lại rằng vụ „ , v„ là những chuẩn tren £, va hay so sdnh chiing véi nhau

(ỡ đây vụ = | - |„)-

$ 1.1.20 Cho £ =CŒ0: 1,R).|.[: E> ,R I:|:E> „8

fe (pee fro Ệ Tu

1.1 Các khái niệm t6pé trong khéng gian vecto dinn chuan 27

(hãy chứng minh rằng £ L> Lại khả tích trên ]0;1))

ft

a) Chứng minh rằng ] | là một chuẩn trên E

b) | | và |- || có tương đương không?

4.1.21 Véimoiday L=(A,)jen thude 2%, ta cho liên kết ánh xạ Ä, : SOK) 0 dat

tương ứng mọi đa thức P = ax! véi N, (P)= Yel -

k=O k=0

a) Tìm điều kiện cần và di để M, là một chuẩn

by) ChOL= (Oy nen ECC! M= Gs) nen € (Cj tìm điều kiện cần và đủ đối với L.M dé, vaN,, la nhimg chudn tuong đương,

1.17 Miền trong, bao đóng, biên

Cho (E,|| |), một E-kgvác và đ là khoảng cách liên kết với || |

Các phần tử của Á được gọi là điểm trong của A

2) Bao đóng của A, ký hiệu là A, là giao của các bộ phận đóng của E

có chứa A:

E: tập đóng của E

F5A

Các phần tử của Á được gọi là điểm đính của A

3) Biên của A, ký hiệu là Ø (4), là bộ phận của E xác định bởi:

ô(A)= [z(Ã)= Ä - Â

Các phần tử của (4) được gọi là điểm biên của A.

| Mệnh để1 Với mọi bộ phận A của E:

@_ az(b= (4)

b) z(0=(b(4)Ÿ

(i) a) Ala tập mở lớn nhất của E (theo nghĩa bao hàm) bao hàm

trong A

b) A là tập đóng nhỏ nhất của E (theo nghĩa bao hàm) có chứa A

(ii) ø) A mởkhi và chỉ khi A = A

bỳ Suy ra từ a) bằng cách chuyển qua các phần bù

(iii) a) ©) Néw A mé thì OQ =A, WIG A cũng có mật trong

14.1 Các khái niệm tôpô trong khéng gian vecta dinh chuẩn 29

(iv) 8@)= Ä-Á= Ẩn [gQÄ) = ANG (A) Ie giao cha hai tập đóng

Gre Ao xeGÍ(Œ (Ay) Jeo Khong (av eVOd, VeCe(A))

© (WeVG), Vơ[(A))© (VVeVG), Vode)

Mệnh để 3 Với mọi bộ phận A, ở của E ta có:

Gi) AUB = AUB Gi) (ANB) =ANB

B A B - =_ăn

đi) * SA BCAUOB = ACAVB AUBc AUB BCAUB

© ÃU là một tập đóng của E chia AU B, và AB Tà tập đóng của

£ nhỏ nhất có chứa Av2Ö, vậy ÁL2 BC AUB

{iv} > = ANB Cc AUB

'Ta chứng minh các tính chất từ ( đến (iv) bằng cách chuyển qua các phần bù trong,

các tính chất tir (i) dén (iv); ching han:

tz((A¬#Y}= F(A) = GA =

= AVG (B= Ce(Ayulg(B)= Án Š)

Nhận xét:

Đao hàm thức ngược lại trong tính chất (Iv) (hoặc (iv) 06 thé sai, chẳng hạn như

trong thí dụ: E = !E thông thường, Á = RẺ.,B= R}, A¬B=Ö =Ø,

AnB=R_AR, = {9}

$ Đinhnghĩa2 Một bộ phận Á của E được gọi là trù mật trong E

khi và chỉ khi A =E

1.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 3Ÿ 4.425 Cho£ làmộtkgvdc, Á,B $ (E); giả thiết A ma va A, Ế trù mật trong

E Chứng minh ring A > B wi mat trong E

4.4.26 Hay cho moe thi dụ về các bộ phận đóng A, B cia I sao cho:

ANB =AMB và AUB= mlel u wlel

4.4.30 Cho E là -kgv các ánh xạ liên tục từ (0; +01 tới IR và Ƒ là bộ phận của E tạo nên bởi các ánh xạ liên tục đều từ {O; +e{ tới E

Ching minh ring Ê = Ø, với giả thiết là E được trang bị một chuẩn nào đó

4.431 Cho E là một kgvốc, Á và E là hai bộ phận của E sao cho AB =Ø

Á=(0„),ey €C% 5N 6Ñ, Vn 6Ñ, (@6„>N=,,=0)}

Xác định À, Ä và ô (4)

© 1⁄134' Bộ phận đồng dịa phương

Cho E Tà mộckgváe, A e %8 (E); chứng mính rằng hai tính chất sau đây tương đương:

Œ)_ Với mọi a thuộc A, tốn tại một lần cận V Grong E) của a sao cho Ví A là

một tập đóng trong Ÿ

(ii) Tén tai Q là một tập mở của É và một lập đóng F của E sao cho

A=8af

Nếu Á thỏa man (i) hoặc (ii) thì ta nói ring A là một bộ phận đồng địa phương của E

11.8 — Khoảng cách từ một điểm đến một bộ phận khác rỗng của một

kgvde

Cho (E,| |) là một 'É-kgvác và ở là khoảng cách liên kết với | |

$ Địnhnghia1 Chore E, A là một bộ phận khác rỗng của E;

khoảng cách từ x đến Á là số thực ký hiệu là d(x,4), xác định bởi:

d(x,A)= Inf d(x) aeA

"Tập hợp (d2; 4 € ÁJ là một tập hợp khác rỗng của ¡&, bị chặn dưới bởi 0, do đó

1) Giả sit dA) = 0 Cho V € 1⁄2); tổn tại r € Rr, sao cho Boy 7) c V, và

do dA) =O<r, nén tồn tại a e A sao cho d(x, a) <r Nhu thế tả có:

aeB(;r)CV, vàa 6Á, vì vậy VAA #Ø Điều này chứng tỏ rằng V V € Vw, VA #2, va

do dé (xem 1.1.7, Menh dé 2), x € A

2) Ngược lại, giả thiết xe à Cho & > 0; ta có: BỘ; 2) OA #@ (xem 1.1.7, Ménh dé 2)

4.1 Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ định chuẩn 33

Vay tôn tại ø € A sao cho d(x, A} < £ từ đó suy ra d(x,A) $ d(x,a) < 6

Nhu thé: Ve>0,0<đ(6+,Á)<e, vàdovậy d(x,A)=0

$ Định nghĩa2 Cho 4, 8 là hai bộ phận khác rỗng của E; khoảng

cách giữa A và 8 là số thực ký hiệu là đ(A,B), xác định bởi:

d(A,B) = Inf — d(a,b)

1) Ánh xạ (eŒ~lØIŸ -> ]§ có thể không phải là một khoảng cách

(A,B) 4(A,B}

(xem 1.1.1, 2), Nhận xét) trên tập hợp $ (2) - {@} Thực vậy, có thể xảy ra trường

hợp d(A,B) = 0 va A # B; chẳng bạn trong E thông thường với A = R_, 8= R¿

Hơn nữa còn có thể xảy ra trường hợp d(A,C) > d(A.B) + 4(8,C3; chang han trong F

0 4135 — ChoE là một kgvéc, A„B là hai bộ phận khác rổng của E, dy:

E > R , cing tuong ty d6i v6i đ; Chứng mình:

x ÐdG4)

dị“, © A=B

0 4.1.36 Cho £ là mộtkgvác, A, È là hai bộ phận khác rổng và giới nội của E Chứng,

mình:

diam(AUB) < điam(A) + diam(B) + 4(A,B)

& 4.4.37 Cho E là một kgvdc, A, 8 là hai bộ phận khác rỗng của E; C, Ð là hai bộ phận của E thỏa mãn:

Ching minh: ACD) = (A.B).