giáo trình xác suất thống kê kinhtế advanced mathematics and propability statistics

Phương pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp. Một công việc phả[r]

Chương 1

BIẾN CỐ & XÁC SUẤT

§1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Trong lý thuyết xác suất, ta thường thực hiện các công việc và phải tính

số cách thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc đó

Với các công việc đơn giản, ta có thể tính bằng phương pháp suy luận trực

tiếp Chẳng hạn như, lấy từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra một bi Bằng

suy luận ta thấy, có 10 cách lấy ra một bi có màu tùy ý, có 6 cách lấy ra một

bi xanh, có 4 cách lấy ra một bi đỏ Với các công việc phức tạp hơn, ta có thể tính bằng cách vẽ sơ đồ của công việc rồi đếm số kết quả, ta gọi cách

tính này là phương pháp vẽ sơ đồ Chẳng hạn như, tung đồng thời hai hột xí

ngầu Bằng phương pháp vẽ sơ đồ, ta thấy có 5 cách tung để tổng số nút xuất hiện của hai hột xí ngầu là 6 Phương pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng

các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp

1.1 Quy tắc cộng

Quy tắc Một công việc phải chia làm k trường hợp để thực hiện Nếu có

ni cách thực hiện theo trường hợp i (i = 1, 2, … , k) và không có bất kỳ cách thực hiện nào ở trường hợp này trùng với cách thực hiện của các trường hợp khác, thì công việc đó sẽ có số cách thực hiện là:

n = n1 + n2 + … + nk

Ví dụ1 Có ba hộp bi Hộp 1 có 3 bi, hộp 2 có 4 bi, hộp 3 có 5 bi Có bao

nhiêu cách lấy ngẫu nhiên một viên bi từ một trong ba hộp bi đó?

Giải

Việc lấy ngẫu nhiên một viên bi từ một trong ba hộp bi có thể chia làm ba trường hợp: Viên bi được lấy từ hộp 1, từ hộp 2, từ hộp 3 Nếu viên bi lấy từ hộp 1, bằng suy luận ta thấy có 3 cách lấy Tương tự, có 4 cách lấy từ hộp 2,

có 5 cách lấy từ hộp 3 Số cách lấy một viên bi từ một trong ba hộp bi đó là:

3 + 4 + 5 = 12

Ví dụ2 Tung đồng thời ba hột xí ngầu khác nhau Có bao nhiêu cách tung

để tổng số nút của ba hột xí ngầu là 6?

Giải

Chia làm bốn trường hợp: Hột xí ngầu thứ nhất xuất hiện mặt 1 nút, mặt

2 nút, mặt 3 nút và mặt 4 nút Nếu hột xí ngầu thứ nhất xuất hiện mặt 1 nút, bằng cách vẽ sơ đồ ta thấy có 4 cách tung Tương tự, các trường hợp còn lại lần lượt có 3 cách tung, 2 cách tung và 1 cách tung Số cách tung là:

4 + 3 + 2 + 1 = 10

1.2 Quy tắc nhân

Quy tắc Một công việc bao gồm k hành động liên tiếp Nếu có ni cách thực hiện theo hành động thứ i (i = 1, 2, … , k), thì công việc đó có số cách thực hiện là:

n = n1 n2 …  nk

Ví dụ1 Có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau trong mỗi công việc sau:

a) Tung một hột xí ngầu hai lần liên tiếp?

b) Tung một đồng xu ba lần liên tiếp?

c) Lấy lần lượt từng bi và không hoàn lại ra 4 bi từ một hộp có 10 bi?

Giải

a) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Tung lần 1 và tung lần 2 Mỗi lần tung có 6 cách Số cách tung là:

6  6 = 36 b) Bao gồm ba hành động liên tiếp: Tung lần 1, tung lần 2 và tung lần 3 Mỗi lần tung có 2 cách Số cách tung là:

2  2  2 = 8 c) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lấy một bi lần 1, lấy một bi lần 2, lấy một bi lần 3 và lấy một bi lần 4 Lấy một bi lần 1 có 10 cách, lần 2 có 9 cách, lần 3 có 8 cách, lần 4 có 7 cách Số cách lấy là:

10  9  8  7 = 5040

Ví dụ2 Có thể lập ngẫu nhiên được bao nhiêu số ngàn từ 10 chữ số thập

phân trong các trường hợp sau:

9  10  10  5 = 4500 b) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng ngàn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị Số cách lập số ngàn có các chữ số khác nhau là:

9  9  8  7 = 4536 c) Bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng đơn vị, hàng ngàn, hàng trăm và hàng chục Số cách lập số ngàn lẻ có các chữ số khác nhau là:

5  8  8  7 = 2240 d) Chia làm hai trường hợp: Chữ số hàng đơn vị là số 0, chữ số hàng đơn

vị là số khác 0

Với chữ số hàng đơn vị là số 0, việc lập có thể bao gồm bốn hành động liên tiếp: Lập chữ số hàng đơn vị, hàng ngàn, hàng trăm và hàng chục Số cách lập trong trường hợp này là:

n1 = 1  9  8  7 = 504 Tương tự, với chữ số hàng đơn vị là số khác 0, ta có số cách lập là:

Tập hợp A có n phần tử khác nhau Nếu ta lấy từng phần tử của tập hợp

A đem sắp xếp sao cho có thể xác định được vị trí của từng phần tử, thì sự

sắp xếp đó được gọi là sắp thứ tự Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp

A được gọi là một hoán vị của n phần tử của tập hợp A Số cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A là số hoán vị của n phần tử của tập hợp A Số hoán vị

của n phần tử khác nhau được ký hiệu là Pn

Định nghĩa Một cách sắp thứ tự của n phần tử khác nhau được gọi là

một hoán vị của n phần tử đó

Công thức tính số hoán vị Pn = n!

Ta cũng có thể tính số hoán vị của n phần tử khác nhau bằng quy tắc nhân Theo cách này, ta chia công việc sắp thứ tự của n phần tử khác nhau thành n hành động liên tiếp rồi sử dụng quy tắc nhân để tính số cách sắp thứ

tự của n phần tử đó

Ví dụ Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên, trong đó có X và Y, ngồi vào một bàn

học có 5 chỗ ngồi Có bao nhiêu cách xếp để:

a) Năm người ngồi tùy ý?

b) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X ngồi ở đầu bàn, sau đó xếp 4 người còn lại Có 2 cách xếp X ngồi ở đầu bàn Có 4! cách xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ ngồi còn lại Số cách xếp là:

2  4! = 48 c) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X, Y ngồi cạnh nhau, sau đó xếp cặp X, Y và 3 người còn lại Có 2! cách xếp X, Y ngồi cạnh nhau Có 4! cách xếp cặp X, Y và 3 người còn lại Số cách xếp là:

2!  4! = 48 d) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp X, Y ngồi ở hai đầu bàn, sau đó xếp 3 người còn lại Có 2! cách xếp X, Y ngồi ở hai đầu bàn Có 3! cách xếp

3 người còn lại Số cách xếp là:

2!  3! = 48

Tập hợp A có n phần tử, trong đó có m phần tử giống nhau Một hoán vị của n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị lặp Số hoán vị của n phần

tử của tập hợp A được ký hiệu là Pn(m)

Tập hợp B có n phần tử, trong đó có m1 phần tử giống nhau thuộc nhóm

1, m2 phần tử giống nhau thuộc nhóm 2, … , mk phần tử giống nhau thuộc nhóm k Một hoán vị của n phần tử của tập B được gọi là một hoán vị lặp

Số hoán vị của n phần tử của tập hợp B được ký hiệu là Pn(m1, m2, … , mk)

Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử, trong đó có một số phần tử giống

nhau, được gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đó

P (2, 2)4 4! 6

2!2!

 

1.4 Chỉnh hợp

Tập hợp A có n phần tử khác nhau Nếu ta lấy từ tập hợp A ra k phần tử khác nhau và có chú ý đến thứ tự của k phần tử đó, hay ta lấy lần lượt từng phần tử và không hoàn lại từ tập hợp đó ra k phần tử, thì k phần tử lấy ra được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là k

Ví dụ1 Một hộp có 12 viên phấn Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên và

không hoàn lại ra 3 viên phấn Có bao nhiêu cách lấy?

Giải

Một cách lấy ngẫu nhiên ra ba viên phấn từ hộp phấn theo kiểu lần lượt từng viên không hoàn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử Số cách lấy ngẫu nhiên ra 3 viên phấn theo kiểu đó là:

3 12

A = 1320

Ta cũng có thể tính số cách lấy ngẫu nhiên ra ba viên phấn theo kiểu lần lượt từng viên không hoàn lại bằng quy tắc nhân Theo cách này, việc lấy ngẫu nhiên ra 3 viên phấn bao gồm ba hành động liên tiếp: Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 trong 12 viên, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 trong 11 viên còn lại và lần thứ ba lấy ngẫu nhiên 1 trong 10 viên còn lại Số cách lấy ngẫu nhiên ra 3 viên phấn theo kiểu lần lượt từng viên không hoàn lại là:

12  11  10 = 1320

Ví dụ2 Một bàn học có 5 chỗ ngồi

a) Có bao nhiêu cách sắp ngẫu nhiên 3 sinh viên ngồi vào bàn đó?

b) Có bao nhiêu cách sắp ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn đó, mỗi lần sắp 5 sinh viên?

Giải

a) Một cách sắp ngẫu nhiên 3 sinh viên ngồi vào bàn có 5 chỗ ngồi được

coi là một cách chọn ra 3 phần tử (chỗ ngồi) khác nhau và có thứ tự từ 5

phần tử (chỗ ngồi), nên đĩ là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử Số cách sắp ngẫu nhiên 3 sinh viên ngồi vào bàn đĩ là:

3 5

A 60 b) Một cách sắp ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn đĩ, mỗi lần sắp 5

sinh viên, được coi là một cách chọn ra 5 phần tử (sinh viên) khác nhau và

cĩ thứ tự từ 10 phần tử (sinh viên), nên đĩ là một chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử Số cách sắp ngẫu nhiên 10 sinh viên ngồi vào bàn đĩ là:

5 10

A 30240

Ta cũng cĩ thể tính số cách sắp ngẫu nhiên 3 sinh viên và 10 sinh viên ngồi vào bàn đĩ bằng quy tắc nhân Theo đĩ, việc sắp ngẫu nhiên 3 (10) sinh viên bao gồm 3 (5) hành động liên tiếp

Tập hợp A cĩ n phần tử khác nhau Nếu ta lấy từ tập hợp A ra k phần tử

cĩ thể trùng nhau tùy ý và cĩ chú ý đến thứ tự của k phần tử đĩ, hay ta lấy lần lượt từng phần tử và cĩ hồn lại từ tập hợp đĩ ra k phần tử, thì k phần tử lấy ra được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập hợp A Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được kí hiệu là Akn

Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một

cách lấy ra k phần tử cĩ thể trùng nhau và cĩ thứ tự từ n phần tử đĩ

Cơng thức tính số chỉnh hợp lặp Akn nk

Ví dụ Có 8 hành khách, trong đó có M và N, lên một đoàn tàu lửa có

10 toa Tính số cách xếp 8 hành khách đĩ lên tàu trong các trường hợp sau: a) Lên các toa tùy ý

b) Lên 8 toa đầu

tử (toa tàu), nên đĩ là một chỉnh hợp lặp chập 8 của 10 phần tử Số cách xếp

8 hành khách lên tàu trong trường hợp này là:

10

10 A 10

d) Chia làm hai hành động liên tiếp: Xếp M, N lên toa đầu tiên, sau đó xếp 6 người còn lại lên 9 toa còn lại Số cách xếp trong trường hợp này là:

Ví dụ1 Một đội công nhân có 9 nam và 5 nữ

a) Có bao nhiêu cách lập ngẫu nhiên một tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ

từ đội công nhân đó?

b) Trong đội công nhân có vợ chồng anh Hạnh và chị Phúc có con nhỏ cần phải chăm sóc Có bao nhiêu cách lập ngẫu nhiên một tổ công tác như trên nhưng phải chiếu cố để ít nhất một người ở nhà chăm sóc con?

Giải

a) Chia làm hai hành động liên tiếp: Lập một tổ công tác gồm 4 nam từ 9 nam và lập một tổ công tác gồm 2 nữ từ 5 nữ Có C cách lập tổ công tác 49gồm 4 nam từ 9 nam Có C cách lập tổ công tác gồm 2 nữ từ 5 nữ Số cách 25lập ngẫu nhiên tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ là:

C C 1260 b) Sử dụng quy tắc trừ để tính số cách lập tổ công tác trong trường hợp này bằng cách lấy số cách lập tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ trừ đi số cách lập tổ công tác có cả anh Hạnh và chị Phúc

Số cách lập ngẫu nhiên một tổ công tác có cả anh Hạnh và chị Phúc là:

1 C C 224

Số cách lập ngẫu nhiên một tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ nhưng có chiếu cố để ít nhất một người ở nhà chăm sóc con là:

1260 – 224 = 1036

Ví dụ2 Một buổi khiêu vũ có 22 nam và 18 nữ tham dự

a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai người ra khiêu vũ?

b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một đôi nam nữ ra khiêu vũ?

c) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên ba đôi nam nữ ra khiêu vũ?

Giải

a) Đây là số tổ hợp chập 2 của 40 phần tử Số cách chọn là:

2 40

C 780 b) Chia làm hai hành động liên tiếp: Chọn một nam trong 22 nam và chọn một nữ từ 18 nữ Số cách chọn là:

22 18

C C 396 c) Chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn một nhóm gồm 3 nam trong

22 nam, chọn một nhóm gồm 3 nữ trong 18 nữ, hoán vị một trong hai nhóm

a) Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 10 người ngồi vào bàn đó?

b) Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 8 người ngồi vào bàn đó?

c) Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 12 người ngồi vào bàn đó, mỗi lần xếp 10 người?

1  9! = 362880 b) Bao gồm hai hành động liên tiếp: Xếp một người trong 8 người vào bàn, sau đó xếp 7 người còn lại Số cách xếp ngẫu nhiên 8 người ngồi vào bàn đó là:

1  7

9

A = 181440 c) Chia thành hai hành động liên tiếp: Chọn 10 người trong 12 người, sau

đó xếp 10 người đó vào bàn Có 10

12

C cách chọn 10 người từ 12 người Mỗi nhóm 10 người có 9! cách xếp vào bàn đó Số cách xếp ngẫu nhiên 12 người ngồi vào bàn đó là:

10 12

C  9! = 23950080

§2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2.1 Khái niệm phép thử và biến cố

là phép thử

Một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã

biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của nó, được gọi là phép thử ngẫu

nhiên Trong lý thuyết xác suất, ta chỉ xét các phép thử ngẫu nhiên nên để

đơn giản, từ đây ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử

 Biến cố

Một phép thử có thể có nhiều kết quả có thể xảy ra Mỗi kết quả có thể

xảy ra hay không xảy ra của phép thử được gọi là một biến cố của phép thử

đó Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của phép thử được gọi là các

biến cố sơ cấp Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó

Mỗi biến cố của một phép thử được trình bày dưới dạng một mệnh đề xác định kết quả của phép thử và người ta thường viết mệnh đề đó giữa hai dấu ngoặc kép

Một phép thử có nhiều biến cố Mỗi tập hợp các biến cố của phép thử sao cho luôn có ít nhất một biến cố của tập hợp đó xảy ra khi thực hiện phép thử,

được gọi là một hệ biến cố đầy đủ của phép thử đó Không gian mẫu của

phép thử là một hệ biến cố đầy đủ của phép thử đó

Ví dụ Tung một hột xí ngầu là một phép thử Các kết quả “Hột xí ngầu

xuất hiện mặt i nút” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), là các biến cố sơ cấp của phép thử

đó Không gian mẫu của phép thử tung một hột xí ngầu là tập hợp gồm 6 biến cố sơ cấp đó Các kết quả “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút lẻ”,

“Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút chẵn” là các biến cố và tập hợp gồm hai biến cố đó là một hệ biến cố đầy đủ của phép thử tung một hột xí ngầu

Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra Tùy theo hai

đặc trưng này, người ta phân loại biến cố, xét quan hệ giữa các biến cố và xác định các phép toán đối với các biến cố

2.2 Phân loại biến cố

Định nghĩa Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hay không xảy

ra khi thực hiện phép thử

Mỗi biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng một chữ in hoa nằm ở đầu bảng chữ cái như A, B, C, … hay có kèm theo chỉ số như A1, A2, … ,

B1, B2, … Để đơn giản, từ đây biến cố ngẫu nhiên được gọi tắt là biến cố

Ví dụ Các biến cố “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6),

“Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút lẻ”, “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút chẵn”, “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút màu đỏ”, … là các biến cố ngẫu nhiên của phép thử tung một hột xí ngầu Ta có thể ký hiệu các biến cố

đó như sau:

A : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút lẻ”

B : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút lẻ”

C : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút màu đỏ”

Ai : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút” (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

2.3 Quan hệ giữa các biến cố

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu A xảy ra

thì B xảy ra và A không xảy ra thì B không xảy ra

Hai biến cố A và B tương đương được kí hiệu là A = B và đọc là: “A tương đương B” hay cũng có thể đọc là: “A bằng B”

Nhận xét Hai biến cố tương đương là hai biến cố có khả năng xảy ra và

không xảy ra giống nhau Do đó, khi gặp hai biến cố A và B mà ta suy luận:

“A nghĩa là B”, thì ta có:

A = B

Ví dụ Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra ba bi

Đặt A : “Ba bi lấy ra không có bi xanh”, B : “Ba bi lấy ra là 3 bi đỏ” Khi đó ta có:

A = B

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B

không xảy ra và A không xảy ra thì B xảy ra

Hai biến cố A và B đối lập thì B được ký hiệu là A và đọc là: “Biến cố đối lập của A” Do A cũng là một biến cố nên nó cũng có biến cố đối lập Biến cố đối lập của A được ký hiệu là A Ta có A = A

Nhận xét Hai biến cố đối lập là hai biến cố có khả năng xảy ra và không

xảy ra trái ngược nhau Do đó để lập A , ta phủ định mệnh đề của A rồi tìm mệnh đề tương đương với mệnh đề phủ định đó (nếu cần)

Ví dụ1 Một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia Đặt A : “Xạ thủ đó bắn

trúng” Khi đó A : “Xạ thủ đó bắn không trúng” hay A : “Xạ thủ đó bắn trật”

Ví dụ2 Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra ba bi Đặt

A : “Ba bi lấy ra có nhiều nhất 2 bi xanh”, B : “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh” Khi đó, biến cố đối lập của A và B là:

A : “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”

B : “Ba bi lấy ra là 3 bi đỏ”

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì

B không xảy ra hay B xảy ra thì A không xảy ra

Hai biến cố của một phép thử có quan hệ xung khắc khi chúng không thể xảy ra đồng thời khi thực hiện phép thử Dễ thấy hai biến cố đối lập thì xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đối lập

Quan hệ xung khắc có thể mở rộng cho hệ có nhiều hơn hai biến cố Hệ biến cố A1, A2, … , An của một phép thử được gọi là hệ biến cố xung khắc từng đôi (hay gọi tắt là hệ biến cố xung khắc) nếu không có bất kỳ hai biến

cố nào trong hệ xảy ra đồng thời khi thực hiện phép thử

Hệ biến cố A1, A2, … , An vừa là hệ biến cố đầy đủ, vừa là hệ biến cố xung khắc từng đôi của một phép thử được gọi là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi của phép thử đó

Nhận xét Để tìm hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi của một phép

thử, ta có thể suy luận hoặc vẽ sơ đồ để tìm các kết quả có thể xảy ra của phép thử sao cho không thừa không thiếu Hệ kết quả đó là hệ biến cố đầy

đủ và xung khắc từng đôi của phép thử

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba

bi Đặt Ai : “Ba bi lấy ra có i bi xanh” (i = 0 ,1 ,2 ,3) Ta thấy bốn biến cố

A0 , A1 , A2 , A3 là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi của phép thử lấy 3 bi

2.4 Các phép toán đối với các biến cố

Định nghĩa Tổng của hai biến cố là một biến cố, xảy ra khi có ít nhất

một trong hai biến cố đó xảy ra

Tổng của hai biến cố A và B được ký hiệu là A + B hay A  B và đọc là:

“A cộng B” hay “A hay B” Các đặc trưng xảy ra (ký hiệu là 1) và không xảy ra (ký hiệu là 0) của A + B phụ thuộc vào A và B được tóm tắt trong bảng sau:

Nhận xét Với biến cố A, để nó xảy ra ta phải xét nhiều trường hợp khác

nhau, thì biến cố đó được biểu diễn dưới dạng tổng của các biền cố Khi đó, nếu ta suy luận: “A nghĩa là A1 hay A2 hay … hay An”, thì ta có:

A = A1 + A2 + … + An

Ví dụ Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra ba bi

a) Gọi A : “Ba bi lấy ra có màu giống nhau”

Đặt A1 : “Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”, A2 : “Ba bi lấy ra là 3 bi đỏ”

Khi đó ta có:

A = A1 + A2

b) Gọi B : “Ba bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”

Đặt Bi : “Ba bi lấy ra có i bi xanh” (i = 1, 2, 3)

Khi đó ta có:

B = B1 + B2 + B3

 Phép nhân biến cố

Định nghĩa Tích của hai biến cố là một biến cố, xảy ra khi cả hai biến cố

đó đồng thời xảy ra

Tích của hai biến cố A và B được ký hiệu là AB hay AB hay A  B và đọc là: “A nhân B” hay “A và B” Các đặc trưng xảy ra và không xảy ra của

AB phụ thuộc vào A và B được tóm tắt trong bảng sau:

Ta có thể mở rộng phép nhân hai biến cố cho n biến cố như sau: Tích của

n biến cố là một biến cố, xảy ra khi n biến cố đó đồng thời xảy ra Tích của n biến cố A1, A2, … , An được ký hiệu là A1  A2  …  An hay A1A2 … An

hay A1 A2 …  An

Định lí Nếu A1, A2, … , An là các biến cố thì:

1 A1A2   An A1A2  An

2 A1A2  An A1A2  An

Nhận xét Với biến cố A, có khả năng xảy ra phụ thuộc vào nhiều biến

cố khác, thì biến cố đó được biểu diễn dưới dạng tích của các biến cố Khi

đó, nếu ta suy luận: “A nghĩa là A1 và A2 và … và An”, thì ta có:

A = A1  A2  …  An

Ví dụ1 Có hai hộp bi Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Hộp 2 có 7 bi xanh

và 3 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bi Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i là

Ví dụ3 Có hai hộp bi Hộp 1 có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng Hộp 2 có

3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng Lấy từ mỗi hộp ra một bi Đặt Ai : “Bi lấy từ hộp i là bi xanh” , Bi : “Bi lấy từ hộp i là bi đỏ” , Ci : “Bi lấy từ hộp i là bi vàng” (i = 1, 2)

a) Gọi A : “ Hai bi lấy ra chỉ có bi của hộp 1 là bi xanh ”, ta có:

§3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra Khi gặp một biến cố của một phép thử, câu hỏi được đặt ra là biến cố đó có xảy ra không?

Biến cố chắc chắn thì dĩ nhiên phải xảy ra, biến cố không thể thì đương

nhiên không xảy ra dù ta thực hiện phép thử của biến cố đó bao nhiêu lần Biến cố ngẫu nhiên thì có thể xảy và cũng có thể không xảy ra trong những lần thử khác nhau Khi thực hiện phép thử của một biến cố ngẫu nhiên nhiều lần trong những điều kiện như nhau, ta thấy đặc trưng xảy ra hay không xảy

ra của biến cố có tuân theo những quy luật xác định Để thể hiện quy luật xảy ra của một biến cố, người ta gán cho biến cố một số hợp lý để thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó Người ta gọi số đó là xác suất của biến cố và

đó là đặc trưng định lượng của biến cố Như vậy, xác suất của một biến cố là

một số thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó Tính xác suất của một biến

cố là tính khả năng xảy ra, hay tỷ lệ xảy ra trong số lần thử, của biến cố

3.1 Định nghĩa xác suất

Một phép thử được gọi phép thử đồng khả năng (hay đối xứng) nếu phép thử đó cho ra các biến cố có khả năng xảy ra giống nhau trong những lần thử khác nhau Một phép thử được gọi là hữu hạn nếu số biến số sơ cấp của phép thử đó hữu hạn Chẳng hạn như: Tung một đồng xu, rút hai lá bài , … là các phép thử đồng khả năng và hữu hạn Một biến cố sơ cấp được gọi là thuận lợi cho một biến cố nếu biến cố sơ cấp xảy ra thì biến cố đó xảy ra

Xét A là một biến cố của một phép thử đồng khả năng và hữu hạn

Định nghĩa Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là một số được xác

định như sau:

mP(A)

n

 Trong đó:

 n là số biến cố sơ cấp của phép thử

 m là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Theo định nghĩa trên thì: 0  P(A)  1, P() = 0, P() = 1 Ngoài ra, nếu

A và B là hai biến cố tương đương thì P(A) = P(B)

Nhận xét Để tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta có thể

thực hiện theo các bước sau:

1 Xác định và đặt tên cho biến cố cần tính xác suất

2 Xác định phép thử của biến cố và tính số biến cố sơ cấp của phép thử

3 Tính số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất

4 Dùng công thức xác định xác suất trong định nghĩa để tính xác suất Khi tính số biến cố sơ cấp của phép thử và số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất, ta có thể sử dụng các phương pháp: Suy luận trực tiếp, vẽ sơ đồ, sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp

Ví dụ1 Tính xác suất để:

a) Đồng xu xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu

b) Hai đồng xu xuất hiện hai mặt sấp khi tung đồng thời hai đồng xu c) Hột xí ngầu xuất hiện mặt 1 nút khi tung một hột xí ngầu

d) Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút chẵn khi tung một hột xí ngầu e) Tổng số nút của hai hột xí ngầu là 6 khi tung đồng thời hai hột xí ngầu f) Tổng số nút của hai hột xí ngầu là 1 khi tung đồng thời hai hột xí ngầu g) Tổng số nút của ba hột xí ngầu là 6 khi tung đồng thời ba hột xí ngầu

P(B) 1 0, 25

4

  c) Gọi C : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt 1 nút”, ta có:

P(C) 1 0,1667

6

  d) Gọi D : “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có số nút chẵn”, ta có:

P(D) 3 0,5

6

  e) Gọi E : “Tổng số nút của hai hột xí ngầu là 6”, ta có:

5

36

  f) Gọi F : “Tổng số nút của hai hột xí ngầu là 1”, ta có:

P(F) 0 0

36

  g) Gọi G : “Tổng số nút của ba hột xí ngầu là 6”, ta có:

c) Ba bi lấy ra có nhiều nhất 1 bi xanh

Giải

a) Gọi A : “ Ba bi lấy ra là 3 bi xanh”, ta có:

3 6 3 10

   b) Gọi B : “Ba bi lấy ra có 1 bi xanh”, ta có:

1 2

6 4 3 10

b) Ba bi lấy ra có màu khác nhau

c) Ba bi lấy ra có màu giống nhau

c) X và Y không ngồi cạnh nhau

d) X và Y ngồi ở hai đầu bàn

e) X ngồi cách Y một người

Giải

a) Gọi A : “X ngồi ở đầu bàn”, ta có:

A

b) Gọi B : “Bảng số xe có hai chữ số trùng nhau”

Để tìm số kết quả thuận lợi cho B, ta chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn cặp chữ số trùng nhau, chọn hai chữ số khác nhau và không để ý tới thứ tự trong 9 chữ số còn lại, hoán vị bốn chữ số vừa chọn Ta có:

2

9 4 4 10

c) Gọi C : “Bảng số xe có hai cặp chữ số trùng nhau”

Để tìm số kết quả thuận lợi cho C, ta chia thành ba hành động liên tiếp: Chọn cặp chữ số trùng nhau thứ nhất, chọn cặp chữ số trùng nhau thứ hai trong chín chữ số còn lại, hoán vị bốn chữ số vừa chọn Ta có:

4 4 10

4 10

Định nghĩa Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tần suất của biến

cố A khi số lần thử của phép thử tăng dần lên

Để tính xác suất của biến cố A theo định nghĩa thống kê, tùy theo biến cố cần tính xác suất, ta có thể chọn số lần thử của phép thử đủ lớn và đồng nhất xác suất của biến cố A với tần suất của biến cố A

Ví dụ1 Qua theo dõi 10000 ca sinh tại một bệnh viện thì thấy có 5123 ca

sinh bé trai Tính xác suất để có một ca sinh bé trai tại bệnh viện đó

Giải

Gọi A : “Có một ca sinh bé trai tại bệnh viện” Tần số của phép thử là

10000 có thể coi là đủ lớn đối với số ca sinh trong bệnh viện nên:

5123

10000

Ví dụ2 Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm của một lô hàng thì thấy có 12

phế phẩm Tính xác suất để có một phế phẩm trong lô hàng đó

Giải

Gọi A : “Có một phế phẩm trong lô hàng đó” Tần số của phép thử là 200

có thể coi là đủ lớn đối với số sản phẩm của lô hàng nên:

12

200

Nhận xét Trong trường hợp phép thử dẫn đến biến cố A là phép thử

đồng khả năng và hữu hạn, người ta thấy xác suất của biến cố A theo định nghĩa thống kê và xác suất của biến cố A theo định nghĩa cổ điển bằng nhau Như vậy, định nghĩa thống kê của xác suất là sự mở rộng thực sự của định nghĩa cổ điển của xác suất

3.2 Xác suất có điều kiện

Khi tính xác suất của biến cố A bằng định nghĩa cổ điển, ta phải tính số kết quả sơ cấp của phép thử và số kết sơ cấp quả thuận lợi cho A Trong thực

tế, ta có thể phải tính xác suất của biến cố A trong điều kiện đã biết biến cố

B nào đó đã xảy ra Khi tính xác suất trong trường hợp này, số kết quả của phép thử và số kết quả thuận lợi cho A có thể thay đổi Xác suất của biến cố

A được tính với điều kiện B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện

Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã

xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B

Công thức tính Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy

ra, ký hiệu là P(A/B), được tính như sau:

P(AB)P(A/B)

P(B)



Trong đó P(AB) là xác suất để A và B đồng thời xảy ra và P(B) là xác suất để B xảy ra

Ví dụ1 Ba sinh viên X, Y, Z thi môn xác suất và có hai sinh viên thi đậu

Tính xác suất để sinh viên X thi đậu, biết rằng sinh viên Y đã thi đậu

Ví dụ2 Tung đồng thời hai hột xí ngầu Tính xác suất để tổng số nút xuất

hiện của hai hột xí ngầu không nhỏ hơn 10 nút, biết rằng có ít nhất một hột

xí ngầu xuất hiện mặt 5 nút

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu A xảy ra hay

không xảy ra không làm thay đổi xác suất của B, hay ngược lại

Định lý A và B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B)

Ví dụ1 Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ