My site: www.chuyenquangtrung.com.vn... My site: www.chuyenquangtrung.com.vn.[r]
Trang 1S GD & T BÌNH PH C KÌ THI CH N H C SINH GI I VÒNG T NH L P 12
Môn: Toán
Th i gian: 180 phút (không k th i gian phát ) Bài thi th nh t: 02/12/2008
Bài 1 (5 i m)
a) Gi i ph ng trình sau: − − + = + −
b) Cho hàm s = − +
− có th (C) Tìm trên m i nhánh c a th (C) các i m M, N
sao cho dài o n MN là nh nh t
Bài 2 (5 i m)
a) Tìm m i nghi m nguyên c a ph ng trình: + + + = + +
b) Gi i h ph ng trình: + =
+ = −
Bài 3 (5 i m)
Cho tam giác ABC Trên tia i c a tia BA, CA l y các i m E, F (khác B và C) theo th t
G i M là giao i m c a BF và CE
Ch ng minh r ng: + ≥
ng th c x y ra khi nào?
Bài 4 (5 i m)
a) Cho a, b, c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
+ +
+ + + ng th c x y ra khi nào?
b) t = + + + v i n là s nguyên d ng
Xét dãy s = − trong ó n là s nguyên d ng
Tính gi i h n c a dãy s =
H t
Trên ây là thi HSG vòng t nh l p 12 n m h c 2008-2009 ngày thi th nh t
H ng d n + áp án s c c p nh t trong th i gian s m nh t
Ph m V n Quý CQT
CHÍNH TH C
Trang 2S GD & T BÌNH PH C KÌ THI CH N H C SINH GI I VÒNG T NH L P 12
Môn: Toán
Th i gian: 180 phút (không k th i gian phát ) Bài thi th hai: 03/12/2008
Bài 1 (5 i m)
a) Cho hàm s : = − + + +
Tìm t t c các giá tr c a a hàm s có c c ti u
b) Tìm giá tr nh nh t c a m b t ph ng trình sau úng v i m i x
Bài 2 (5 i m)
a) Ch ng minh b t ng th c: + + + ≥ + + + , v i a> 0,b> 0,c> 0 b) Gi i ph ng trình: + − = + − + −
Bài 3 (5 i m)
a) Cho dãy s th c a a a1; ; ; ;2 3 a n c xác nh b i 1
2
2008
a
= + + + + = ∀ >
Tính a2008
b) Tìm t t c các hàm f R: →R th a ph ng trình: f x( )2 − f y( ) (2 = +x y f x) ( )[ − f y( ) ,] ∀x y R, ∈
Bài 4 (5 i m)
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ng chéo BD’ = d G i d d d1, ,2 3 l n l t là kho ng cách t A, A’, D n ng th ng BD’
a) Ch ng minh r ng d d d1, ,2 3 là dài ba c nh c a m t tam giác nào ó
b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , ,1 2 3
H t
Trên ây là thi HSG vòng t nh l p 12 n m h c 2008-2009 ngày thi th hai
H ng d n + áp án s c c p nh t trong th i gian s m nh t
Ph m V n Quý CQT
CHÍNH TH C
Trang 3H NG D N ÁP ÁN THI H C SINH GI I MÔN TOÁN L P 12
T NH BÌNH PH C N M H C 2008-2009
Ngày thi th nh t
Bài 1 (5 i m)
a) Gi i ph ng trình sau: − − + = + −
Gi i
+) PT ⇔ + + + + + − + − = + −
+) V i u = v ta có + − = + − − + =
=
− +
⇔ − + − = ⇔ =
− −
=
KL: Ph ng trình có t p nghi m là T = − + − −
b) Cho hàm s = − +
− có th (C) Tìm trên m i nhánh c a th (C) các i m
M, N sao cho dài o n MN là nh nh t
Bài 2 (5 i m)
a) Tìm m i nghi m nguyên c a ph ng trình: + + + = + +
Gi i
Vì x, y là các s nguyên nên PT
Vì Vì x, y là các s nguyên nên PT ch cho ta hai nghi m là (2; 1) và (0; 1)
Trang 4b) Gi i h ph ng trình: + =
Cách 1:
= − + =
+ =
= −
V y h có hai nghi m là − và −
Cách 2:
Ta có h
= −
= + − =
= −
V y h có hai nghi m là − và −
Bài 3 (5 i m)
Cho tam giác ABC Trên tia i c a tia BA, CA l y các i m E, F (khác B và C) theo th
t G i M là giao i m c a BF và CE
Ch ng minh r ng: + ≥
ng th c x y ra khi nào?
Gi i
Bài này có nhi u cách làm là s d ng nh lí Menelauyt, di n tích, d ng ng ph , tam giác
ng d ng
Sau ây là cách gi i s d ng nh lí Menelauyt
Trang 5+) Áp d ng nh lí Menelauyt trong tam giác ABF v i cát tuy n EMC ta có: =
+) Áp d ng nh lí Menelauyt trong tam giác AEC v i cát tuy n BMF ta có: =
+) Nhân v v i v hai ng th c trên ta có:
+) Áp d ng b t ng th c Cô Si ta có: + ≥ = , ( PCM)
ng th c x y ra khi AM là ng trung tuy n c a BC
Bài 4 (5 i m)
a) Cho a, b, c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
+ +
+ + + ng th c x y ra khi nào?
Gi i
+) Ta có = + − = − ≥ − = −
T ng t ta có ≥ −
+ và + ≥ −
+) C ng v v i v các b t ng th c trên ta có + + ≥ + +
+) D u b ng x y ra khi a = b = c = 1
b) t = + + + v i n là s nguyên d ng
Xét dãy s = − trong ó n là s nguyên d ng
Tính gi i h n c a dãy s =
Gi i
− + +
+) Do ó = − + =
Ph m V n Quý CQT
My site: www.chuyenquangtrung.com.vn
Trang 6H NG D N ÁP ÁN THI H C SINH GI I MÔN TOÁN L P 12
T NH BÌNH PH C N M H C 2008-2009
Ngày thi th hai
Bài 1 (5 i m)
a) Cho hàm s : = − + + + Tìm t t c các giá tr c a a hàm s có c c ti u
Gi i
+) TX : D = R
+) Ta có = − +
+ ; = ( + )
+) N u a = 0 Hàm s có d ng y = –2x + 1 không có c c tr
+) N u ≠ Hàm s có c c ti u t i x0 ⇔h =
> có nghi m x0
⇔h + =
> có nghi m x0
⇔h
>
>
có nghi m x0 >
+) KL: V i > thì hàm s có c c ti u
b) Tìm giá tr nh nh t c a m b t ph ng trình sau úng v i m i x
Gi i
+) t = + , i u ki n = −
Ta có BPT tr thành + ≥ + + ⇔ ≥ + +
+
+) Xét hàm s = + +
+ v i ∈ ta có
+ +
= > ∀ ∈ +
Do ó hàm s ng bi n trên ≤ ≤( ) ∀ ∈
+) YCBT ⇔ ≥ = ( )⇔ ≥ +
+
Bài 2 (5 i m)
a) Ch ng minh b t ng th c: + + + ≥ + + + , v i a> 0,b> 0,c> 0
Gi i
Ta có = + + + + + + = + + + + + + + + −
Trang 7= + + + + + + + + − ≥ + + −
ng th c x y ra khi a = b = c = 1
b) Gi i ph ng trình: + − = + − + −
Gi i
Cách 1 ( t n ph )
+) K: ∈ −[ ]
+) t t = − , i u ki n ≥ , = −
Ta có PT ⇔ + − = + − − − + − + − +
PT tr thành + − = + − − + + +
⇔ − + + + + − + =
PT có ∆ = −( + ) , do ó PT có hai nghi m là = + và = − +
T ó ta có = ho c = −
+) KL: PT có hai nghi m là = , = −
Cách 2: (Phân tích thành nhân t )
+) K: ∈ −[ ]
+) Ta có PT ⇔ + − − − − − − =
= −
− − + =
cách phân tích thành nhân t
Bài 3 (5 i m)
a) Cho dãy s th c a a a1 ; ; ; ; 2 3 a n c xác nh b i 1
2
2008
=
a
Tính a2008
Gi i
1 + + + 2 n−1 = − ( 1) n−1
1+ + +2 n−1+ n = 1+ + +2 n−1 + n = −( 1) n−1+ n
Trang 8Vây ta có ph ng trình 2 2
1
1
−
+
n
n
1
2
n
a
+) Thay n = 2008 ta có 2008 2.2008 2
2008.2009 2009
a
b) Tìm t t c các hàm f R: →R th a ph ng trình: f x( )2 − f y( ) (2 = +x y f x) ( )[ − f y( ) ,] ∀x y R, ∈
Gi i
+) Cho y = 0 ta có − = [ − ]⇔ = + [ − ], (1)
+) Cho x = 0 ta có − = [ − ]⇔ = − [ − ], (2)
T (1) và (2) ta có − = − − − , (3)
+) M t khác ta có − = + [ − ]= − − + , (4)
T (3) và (4) ta có − = − , (*)
+) T (*) cho y = 1 ta có − = − ⇔ = − −
Do ó = +
Bài 4 (5 i m)
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ng chéo BD’ = d G i d d d1, ,2 3 l n l t là kho ng cách t A, A’, D !n ng th ng BD’
a) Ch ng minh r"ng d d d1, ,2 3 là dài ba c#nh c a m t tam giác nào ó
b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , , 1 2 3
Gi i
a) Ch ng minh r ng d d d1, ,2 3 là dài ba c nh c a m t tam giác nào ó
+) G i H, K, L l n l t là hình chi u c a A, A’, D trên BD ta có = = =
+) Ch n i m B’’ sao cho B là trung i m c a BB’, v HN//DL, ( ∈ ) ta có HN⊥BD’ +) M t khác BD’//DB’’ và BD’ = DB’’ HN⊥DB’’ DB’’⊥(AHN) DB’’⊥AN
+) Xét tam giác AHN ta có = = = = = , ( pcm)
b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , ,1 2 3
+) G i S là di n tích tam giác AHN ta có = − − − , v i = + +
+) Ta có BH // DB’’ BH // (ADB’’) = =
Ph m V n Quý CQT
My site: www.chuyenquangtrung.com.vn