giáo trình xác suất thống kê kinhtế advanced mathematics and propability statistics

Thủ kho lần lượt thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào mở không được thì bỏ ra) cho đến khi mở được cửa kho thì thôi không mở nữa. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có một số phế phẩm.[r]

Chương 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên của phép thử

 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

Thực hiện một phép thử để quan sát một dấu hiệu nào đó và giả sử quan sát đó có nhiều kết quả có thể xảy ra Nếu ta dùng một ký hiệu để biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của quan sát đối với phép thử thì người ta gọi ký hiệu đó là một đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa Một đại lượng ngẫu nhiên của một phép thử là một ký

hiệu có thể biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của quan sát một dấu hiệu nào đó đối với phép thử

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ in hoa nằm ở cuối bảng chữ cái như X, Y, , X1 , X2 , Các kết quả có thể xảy ra của đại lượng ngẫu nhiên là các số thực gọi là các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên Khi ta gán cho đại lượng ngẫu nhiên một

số thực hay một khoảng số thực nào đó thì ta được một biến cố của phép thử có xác suất hoàn toàn xác định

 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Căn cứ vào những giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận, người

ta chia đại lượng ngẫu nhiên ra làm hai loại là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa Một đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá

trị có thể nhận của nó ta có thể đếm được Một đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể nhận của nó ta không thể đếm được

Với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể nhận của nó Ngược lại, ta không thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên liên tục mà chỉ có thể xác định được các khoảng số thực biểu diễn các kết quả có thể xảy ra của nó

Ví dụ

a) Tung một hột xí ngầu để quan sát số nút xuất hiện của nó Nếu gọi

X là số nút xuất hiện của hột xí ngầu thì X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 Khi đó X = 1 , X = 7 , X  1,

X > 2 , 1  X < 4, là các biến cố của đại lượng ngẫu nhiên X

b) Khảo sát vể thu nhập hàng tháng của công nhân trong các khu công nghiệp Nếu gọi Y (triệu đồng) là thu nhập hàng tháng của công nhân trong các khu công nghiệp thì Y là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có thể nhận các giá trị trong khoảng (1 , 3)

1.2 Bảng phân phối xác suất

Một đại lượng ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu ta xác định được các giá trị có thể nhận của nó và tính được các xác suất tương ứng với các giá trị đó Một quy tắc có thể biểu diễn được mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận với các xác suất tương ứng của một đại lượng

ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

đó Luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được

thể hiện dưới dạng một bảng gọi là bảng phân phối xác suất

Định nghĩa Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ1 Hãy tìm luật phân phối xác suất của số đồng xu sấp khi tung

42P(X = 1) = 0,50

41P(X = 2) = 0,25

4





 Nên luật phân phối xác suất của X là:

P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

= 0,188 + 0,452 + 0,336 = 0,976

Ta cũng có thể tính xác suất trên như sau:

Ví dụ3 Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Kiểm tra

ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi lấy được một sản phẩm tốt thì dừng lại Hãy lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm được kiểm tra

10 9 8  Nên bảng phân phối xác suất của X là:

3 4

Đặt B1 : “Bi lấy từ hộp 1 bỏ qua hộp 2 là bi xanh” và B2 : “Bi lấy từ hộp 1 bỏ qua hộp 2 là bi đỏ”

Sử dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(Y = 0) = P(B1)P(Y = 0 / B1) + P(B2)P(Y = 0 / B2)

Định nghĩa Hàm f(x), có miền xác định là , được gọi là hàm mật độ

xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

Định lý Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất là f(x) thì với mọi số thực a, b ta có:

1.4 Hàm phân phối xác suất

 Khái niệm hàm phân phối xác suất

Định nghĩa Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký

hiệu là FX(x) hay F(x), là hàm số được xác định như sau:

FX(x) = x f t dt 

 ;  x 

 Tính chất của hàm phân phối xác suất

Định lý 1 Giả sử F(x) là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên X Khi đó ta có:

1 0  F(x)  1 ;  xR

2 F(+ ) = 1 , F(– ) = 0

3 F(x) là một hàm không giảm, nghĩa là nếu x1 < x2 thì F(x1)  F(x2)

Hệ quả 1 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất

P(a  X  b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a < X < b)

Định lý 2 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất là f(x) và hàm phân phân phối xác suất là F(x) thì:

F’(x) = f(x)

Ví dụ1 Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra

3 bi và gọi X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b) Hãy tìm hàm phân phối xác suất của X

x  0  F(x) = 0

0 < x  1  F(x) = P(X = 0) = 0,0333

1 < x  2  F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,3333

2 < x  3  F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8333

3 < x  F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 Nên hàm phân phối xác xuất của X là:

neáu x neáu x

§2 HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1 Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

 Khái niệm hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

Thông thường, một đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo một phép thử nào đó Nhưng trong một số trường hợp, ta còn có thể xác định được một đại lượng ngẫu nhiên theo một hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên đã xác định khác Một đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo các đại lượng ngẫu nhiên đã xác định khác bằng một quy tắc nào đó được gọi là một hàm của đại lượng ngẫu nhiên Một đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo một đại lượng ngẫu nhiên đã xác định khác được gọi là hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định theo đại lượng

ngẫu nhiên X bằng quy tắc hàm f thì Y được gọi là một hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Y = f(X)

Ví dụ Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên đã xác định Khi đó đại

lượng ngẫu nhiên Y = f(X) = X2

– 2X + 3 là một hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X

 Bảng phân phối xác suất của Y = f(X)

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X x1 x2 xn

PX p1 p2 pn

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y có thể nhận các giá trị y1 = f(x1),

y2 = f(x2) , … , yn = f(xn) và các xác suất tương ứng được tính theo quy tắc:

Đại lượng ngẫu nhiên Y có thể xác định được các giá trị có thể nhận

và các xác suất tương ứng nên lập được bảng phân phối xác suất của nó

Ví dụ1 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như

sau:

X - 1 0 1 2

PX 0,1 0,2 0,3 0,4 Hãy lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên sau:

Y = 2X – 3 - 5 - 3 - 1 1 Và:

b) Z =  X 

Ta có:

X - 1 0 1 2

Z =  X  1 0 1 2 Và:

Giải tương tự, ta có bảng phân phối xác suất của U như sau:

U 2 3 6

PU 0,3 0,6 0,1

Ví dụ2 Một xạ thủ được phát 6 viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày đi

thi bắn Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ đó là 80% và xạ thủ đó sẽ ngưng bắn kiểm tra nếu bắn trúng mục tiêu 3 viên liên tiếp a) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn xạ thủ đó đã bắn b) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số viên đạn còn lại

Ta có:

X 3 4 5 6

Y = 6 – X 3 2 1 0 Và:

P(Y = 0) = P(X = 6) = 0,2832 P(Y = 1) = P(X = 5) = 0,1024

2.2 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa Hai đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độc lập nếu đại

lượng ngẫu nhiên này nhận bất kỳ một giá trị nào cũng không làm thay đổi xác suất để đại lượng ngẫu nhiên kia nhận một giá trị tùy ý

Ví dụ Gọi X là số đồng xu sấp khi tung 2 đồng xu thì X là đại lượng

ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 Gọi Y là số bi xanh trong 3 bi lấy ra từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ thì Y là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3

Ta thấy dù X có nhận giá trị nào thì:

Như vậy X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập

 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Z được xác định theo hai đại lượng

ngẫu nhiên độc lập X và Y bằng quy tắc hàm f thì Z được gọi là một hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là Z = f(X, Y)

Ví dụ Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập đã xác định

Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Z = f(X, Y) = X2

– 2XY + 3Y là một hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y

 Bảng phân phối xác suất của Z = f(X, Y)

Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau:

Ví dụ1 Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân

phối xác suất như sau:

PZ 0,06 0,17 0,33 0,29 0,15 b) U = XY

Đại lượng ngẫu nhiên U có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

Đại lượng ngẫu nhiên V có thể nhận các giá trị trong bảng sau:

Ví dụ2 Hai cầu thủ bóng rổ có khả năng ném trúng rổ lần lượt là 70%

và 80% Giả sử mỗi cầu thủ ném 2 quả vào rồ

a) Hãy tìm luật phân phối xác suất của số quả ném trúng rổ của cả hai cầu thủ

b) Tính xác suất để số quả ném trúng rổ của hai cầu thủ đó bằng nhau

Giải

a) Gọi X là số quả ném trúng rổ của cả hai cầu thủ, X1 là số quả ném trúng rổ của cầu thủ thứ nhất và X2 là số quả ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai thì X, X1, X2 là các đại lượng ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện:

X = X1 + X2

Ta thấy X1 là đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2

Ngoài ra theo công thức Bernoulli ta có:

P(X1 = 0) = C 0,7 (1 0,7)02 0  2 0 = 0,09 P(X1 = 1) = C 0,7 (1 0,7)12 1  2 1 = 0,42 P(X1 = 2) = C 0,7 (1 0,7)22 2  2 2 = 0,49 Nên bảng phân phối xác suất của X1 là:

X1 0 1 2

1

PX 0,09 0,42 0,49 Tương tự, ta có bảng phân phối xác suất của X2 là:

P(X1 = X2) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) + P(X1 = 1)P(X2 = 1)

+ P(X1 = 2)P(X2 = 2) = 0,09×0,04 + 0,42×0,32 + 0,49×0,64 = 0,4516

§3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

3.1 Kỳ vọng

 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau:

X x1 x2 xn

PX p1 p2 pn

Định nghĩa Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là M(X)

hay E(X), là một số được xác định như sau:

M(X) = 0×0,25 + 1×0,5 + 2×0,25 = 1

 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x)

Định nghĩa Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là một số được xác

lượng ngẫu nhiên của quan sát rồi tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

đó

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3

bi Hãy tìm số bi xanh trung bình trong 3 bi lấy ra

Nên:

M(Z) = M(2X – 3Y + 4) = 2M(X) – 3M(Y) + 4

= 20,3 – 31 + 4 = 1,6

3.2 Phương sai

 Định nghĩa và cách tính phương sai

Định nghĩa Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là D(X)

hay Var(X), là một số không âm được xác định như sau:

D(X) = M{[X – M(X)]2} Trong thực tế, để tính phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X ta có thể tính theo công thức sau:

D(X) = M(X2) – M2(X) Trong đó M2(X) là bình phương của kỳ vọng của X và M(X2) được tính theo một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp1 X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là:

Ví dụ1 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác

suất như sau:

X 0 1 2

PX 0,25 0,5 0,25 Khi đó kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là M(X) = 1

Ta có:

M(X2) = 02×0,25 + 12×0,5 + 22×0,25 = 1,5 Nên phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là:

 Ý nghĩa của phương sai

Theo định nghĩa thì phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên là một

số biểu thị độ sai lệch trung bình giữa các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên

đó có thể nhận so với kỳ vọng của nó Phương sai lớn thì độ sai lệch lớn, khi đó mức độ tập trung các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ

vọng nhỏ Như vậy, một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai lớn thì có ít

giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó Ngược lại,

phương sai nhỏ thì mức độ tập trung các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên

gần với kỳ vọng lớn, nghĩa là một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai

nhỏ thì có nhiều giá trị của đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng của nó

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong thực tế Trong công nghiệp, chỉ số phương sai của một sản phẩm biểu thị độ chính xác của sản phẩm đó Một sản phẩm có chỉ số phương sai nhỏ thì độ chính xác của sản phẩm đó cao và ngược lại Trong trồng trọt, phương sai

là chỉ số cho biết mức độ ổn định của năng suất cây trồng Trong chăn nuôi, phương sai là số nêu lên mức độ đồng đều của đàn gia súc Như vậy, phương sai là một số biểu thị độ chính xác, mức độ đồng đều, tính

ổn định, của một quan sát đối với một phép thử nào đó Điều đó có

nghĩa là trong ứng dụng thì phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên là

một số biểu thị độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, của đại lượng ngẫu nhiên đó

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3

bi Hãy tìm số biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra

Do X là số bi xanh trong 3 bi lấy ra nên số biểu thị độ ổn định của số

bi xanh trong 3 bi lấy ra là D(X)

 Tính chất của phương sai

Định lý Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên và C là một hằng số

Khi đó ta có:

1 D(C) = 0

2 D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

3 D(CX) = C2D(X)

Ví dụ Cho X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác

suất như sau:

Nên:

D(Z) = D(2X – 3Y + 4) = 4D(X) + 9D(Y) = 40,61 + 90,6 = 7,84

 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là

(X), là một số không âm được xác định như sau:

(X) D(X)

 

Độ lệch chuẩn của một đại lượng ngẫu nhiên cũng là một số biểu thị

độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, của đại lượng ngẫu nhiên Nhưng khác với phương sai không có đơn vị đo, độ lệch chuẩn của một đại lượng ngẫu nhiên là một số có đơn vị đo Do đó, khi cần tính độ chính xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, của một đại lượng ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó thì người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên đó

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3

bi Hãy tìm số bi xanh biểu thị độ ổn định của số bi xanh trong 3 bi lấy ra

Định nghĩa Mod của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Mod(X), là

giá trị có thể xảy ra chắc chắn nhất trong các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận khi thực hiện phép thử

Để tính Mod(X), ta xét theo một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp1 X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Mod(X) trong trường hợp này là các giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất của nó

Trường hợp2 X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Mod(X) trong trường hợp này là các giá trị làm hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3

bi Hãy tìm số bi xanh có thể xảy ra chắc chắn nhất trong 3 bi lấy ra

Nên số bi xanh chắc chắn nhất có thể xảy ra trong 3 bi lấy ra là:

Mod(X) = 2

§4 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT

4.1 Phân phối Poisson

 Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0,1,2,

và tồn tại số thực dương  sao cho P(X = k)

5 0,08422!e

M(X) = D(X) = 5

5 – 1  Mod(X)  5  Mod(X) = 4 hay Mod(X) = 5

 Ứng dụng của phân phối Poisson

Thực hiện một phép thử nhiều lần để quan sát biến cố A và giả sử số lần biến cố A xảy ra trung bình trong các lần thử là 

Định lý Nếu X là số lần biến cố A xảy ra trong tổng số lần thực hiện

phép thử và số lần biến cố A xảy ra trung bình trong các lần thực hiện phép thử là  thì X ()

Ví dụ Một cuốn sách có 200 trang, trong đó có 400 lỗi chính tả Kiểm

tra lỗi chính tả trên một trang sách bất kỳ Tính xác suất để trên trang sách đó:

a) Có 2 lỗi chính tả

b) Có tối đa 2 lỗi chính tả

c) Có tối thiểu 2 lỗi chính tả

Giải

Gọi X là số lỗi chính tả trên trang sách được kiểm tra Do số lỗi chính

tả trung bình trên trang sách được kiểm tra là:

 400 2200

 

Nên có thể nói rằng X có phân phối Poisson theo tham số 2, nghĩa là:

X (2) a) Xác suất để trên trang sách đó có 2 lỗi chính tả là:

P(X = 2)

2 2

 Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, , n

và tồn tại số thực p(0,1) sao cho P(X = k) = C p (1 p)k k n  n k (k = 0,1, ,n), được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số

Ví dụ Cho X  B(3 ; 0,7)

 Quy tắc tính gần đúng của phân phối nhị thức

Quy tắc1 Nếu X  B(n ; p), trong đó n khá lớn và np =  khá nhỏ, thì

có thể coi X có phân phối Poisson với tham số  Khi đó ta có công thức tính gần đúng sau:

P(X = k) 

!

k

e k

b) Do Y  B(100 ; 0,6), trong đó n = 100 khá lớn và np = 60 không nhỏ, nên ta sử dụng công thức tính gần đúng để tính xác suất như sau:

72 100 0,6 50 100 0,6P(50 Y 72)

100 0,6 0,4 100 0,6 0,4(2,45) ( 2,04) (2,45) (2,04) 0,9722

 Ứng dụng của phân phối nhị thức

Thực hiện một phép thử n lần để quan sát biến cố A và giả sử trong mỗi lần thực hiện phép thử ta đều có P(A) = p

Định lý Nếu X là số lần biến cố A xảy ra trong n lần thực hiện phép

thử và trong mỗi lần thử ta đều có P(A) = p thì X  B(n ; p)

Ví dụ1 Một cầu thủ bóng rổ có khả năng ném trúng rổ trong mỗi lần

P(X = 3) = C 0,8 0,235 3 2 0,2048 b) Gọi Y là số quả ném trúng rổ khi cầu thủ đó ném 10 quả thì:

Y  B(10 ; 0,8) Xác suất để cầu thủ đó ném trúng được ít nhất 8 quả là: