Trên đây là 4 bước biến đổi cơ bản, tùy thuộc vào bài toán mà bạn phối hợp chúng với nhau để đưa về kết quả như mong muốn.. Bây giờ xét một ví dụ mẫu sau để xem ta thực hiện các bước bi[r]
Trang 1“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương
5
Bài học 4: [Chuyên đề tổ hợp & nhị thức NewTon]
SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ TÍNH TỔNG CỦA MỘT CHUỖI SỐ
Công thức nhị thức Newton
(𝑎 + 𝑏)𝑛= ∑ 𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘
𝑛
𝑘=0
= 𝐶𝑛0𝑎𝑛+ 𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑎1𝑏𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛 Thay 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑥 ta được
𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑥𝑛= (1 + 𝑥)𝑛 (1)
Biến đổi 1 (thay thế): Thay 𝑥 = 1 vào (1) ta được tổng
𝑆1= 𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1+ 𝐶𝑛 = 2𝑛
Biến đổi 2 (đạo hàm): Đạo hàm 2 vế của (1) ta được
𝐶𝑛1+ 2𝐶𝑛2𝑥 … + (𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−2+ 𝑛𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛−1= 𝑛(1 + 𝑥)𝑛−1 (2) Lập lại biến đổi 1 cho (2) ta được tổng
𝑆2= 𝐶𝑛1+ 2𝐶𝑛2… + (𝑛 − 1)𝐶𝑛𝑛−1+ 𝑛𝐶𝑛𝑛= 𝑛2𝑛−1
Biến đổi 3 (nhân thêm): Nhân cả hai vế của (1) một lượng 𝑥 ta được
𝐶𝑛0𝑥 + 𝐶𝑛1𝑥2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛+ 𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛+1= 𝑥(1 + 𝑥)𝑛 (3) Lập lại bước biến đổi 2 cho (3) ta được
𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (𝑛 + 1)𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛 = (1 + 𝑥)𝑛+ 𝑛𝑥(1 + 𝑥)𝑛−1 (3′)
Lập lại bước biến đổi 2 cho (3′) ta được tổng
𝑆3= 𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛1+ ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛−1+ (𝑛 + 1)𝐶𝑛 = 2𝑛+ 𝑛2𝑛−1= (2 + 𝑛)2𝑛−1
Biến đổi 4 (lấy tích phân): Tích phân 2 vế cận từ 0 tới 1 cho (1) ta được tổng
𝑆4= 𝐶𝑛0∫ 𝑑𝑥
1 0 + 𝐶𝑛1∫ 𝑥𝑑𝑥 1 0 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1∫ 𝑥𝑛−1𝑑𝑥
1 0
+ 𝐶𝑛𝑛∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥
1 0
= ∫ (1 + 𝑥)𝑛𝑑𝑥 1
0
⇔ 𝑆4= 𝐶𝑛0+1
2𝐶𝑛
1+ ⋯ +1
𝑛𝐶𝑛
𝑛 + 1𝐶𝑛
𝑛+1− 1
𝑛 + 1 Trên đây là 4 bước biến đổi cơ bản, tùy thuộc vào bài toán mà bạn phối hợp chúng với nhau để đưa về kết quả như mong muốn Bây giờ xét một ví dụ mẫu sau để xem ta thực hiện các bước biến đổi nào nhé
Ví dụ: Tính tổng chuỗi sau
𝑆 = 𝐶20121 +2
3𝐶2012
4𝐶2012
3 + ⋯ +2011
2012𝐶2012
2013𝐶2012
2012
Giải Từ (1) ứng với 𝑛 = 2012 ta có
Chào mừng các bạn đến với blog “bạn cũng làm được như tôi” Các bạn thử tưởng tượng rằng kết
quả của 𝑎1+ 𝑎2+ ⋯ + 𝑎𝑛 là bao nhiêu không? Và bạn làm cách nào để tính tổng của nó? Đừng nói với tôi là bạn dùng máy tính bám kết quả từng hệ số một rồi cộng lại nhé, vậy thì bạn sẽ mất nguyên
1 ngày, có khi cả tháng trời Thay vào đó tại sao ta không tìm một quy luật của các số hạng bằng cách
sử dụng công thức nhị thức NewTon nhỉ? Nào ta bắt đầu với việc nhắc lại công thức và một số biến đổi tùy hứng sau
Trang 2“Bạn cũng làm được như tôi” Nguyễn Chí Phương
6
𝐶20120 + 𝐶20121 𝑥 + ⋯ + 𝐶2012𝑛−1𝑥2011+ 𝐶20122012𝑥2012= (1 + 𝑥)2012 (4) Thực hiện phép biến đổi 2 cho (4) ta có
𝐶20121 + 2𝐶20122 𝑥 + 3𝐶20123 𝑥2… + 2011𝐶20122011𝑥2010+ 2012𝐶20122012𝑥2011= 2012(1 + 𝑥)2011 (4′) Thực hiện phép biến đổi 3 cho (4′) ta có
𝐶20121 𝑥 + 2𝐶20122 𝑥2+ 3𝐶20123 𝑥3… + 2011𝐶20122011𝑥2011+ 2012𝐶20122012𝑥2012= 2012𝑥(1 + 𝑥)2011 (4′′) Thực hiện phép biến đổi 4 cho (4′′) ta được tổng cần tìm
𝑆 = 𝐶20121 +2
3𝐶2012
4𝐶2012
3 + ⋯ +2011
2012𝐶2012
2013𝐶2012
2012=2011 2
2012+ 1
Như vậy bài toán trên thực hiện phối hợp theo 3 bước lần lượt theo thứ tự là 2,3,4 để đưa về kết quả như mong muốn
Và bạn lưu ý là bài toán xuất phát ban đầu của mình là cho 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑥 nếu bây giờ mình đổi lại là cho
𝑎 = 1, 𝑏 = −𝑥 thì ta sẽ có một loạt bài toán tính tổng mới dựa trên đẳng thức (1′) sau
𝐶𝑛0− 𝐶𝑛1𝑥 + ⋯ + (−1)𝑛−1𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (−1)𝑛𝐶𝑛𝑛𝑥𝑛= (1 − 𝑥)𝑛 (1′)
Từ đây ta cũng sẽ có một biến đổi mới
Biến đổi 5 (cộng đa thức): Cộng (1) và (1′) ta được
2𝐶𝑛0+ 2𝐶𝑛2𝑥2+ 2𝐶𝑛4𝑥4+ ⋯ + (1 + (−1)𝑛−1)𝐶𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1+ (1 + (−1)𝑛)𝐶𝑛𝑥𝑛 = (1 + 𝑥)𝑛+ (1 − 𝑥)𝑛 Tương tự ta cũng có biến đổi 5’ (trừ đa thức) Sau đó bằng cách thực hiện các biến đổi 1,2,3,4 ta có được những tổng mới bạn nhớ là để có thể lựa chọn được các bước sao cho phù hợp với kết quả đòi hỏi bạn phải có khả năng quan sát và đánh giá tốt bài toán Hy vọng những ví dụ sau sẽ giúp cho bạn làm quen với loại toán này
Tính tổng của các chuỗi sau
(𝑎) 𝑆1=𝐶2012
0
𝐶20121
𝐶20122
𝐶20122012
2013 (𝑏) 𝑆2= 12𝐶20121 + 22𝐶20122 + 32𝐶20123 + ⋯ + 20122𝐶20122012
(𝑐) 𝑆3 = 𝐶200 𝐶1211+ 𝐶201 𝐶1210+ ⋯ + 𝐶2010𝐶121 + 𝐶2011𝐶120
(𝑑) 𝑆4 = 2𝐶200 + 5𝐶201 + 8𝐶202 + ⋯ + 62𝐶2020
(𝑒) Cho khai triển đa thức (1 + 3𝑥)20 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥3+ ⋯ + 𝑎20𝑥20 Tính tổng,
𝑆5= 𝑎1+ 2𝑎2+ ⋯ + 19𝑎19+ 20𝑎20 (𝑓) 𝑆6= 2 22𝐶20122 𝑥 + 4 24𝐶20124 𝑥3+ 6 26𝐶20124 𝑥5+ ⋯ + 2012 22012𝐶20122012𝑥2011
Chúc các bạn có được một kết quả tốt và nhớ là “Bạn cũng làm được như tôi”.