Sau đó vẽ biểu diễn hai điểm M và M 0 lên mặt phẳng tọa độ, và xác định chiều quay từ M đến M 0 là cùng hay ngược chiều kim đồng hồ.. Nếu cùng chiều thì ta khẳng định góc quay lượng giác[r]
Trang 1TÀI LIỆU ÔN TẬP
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Một số công thức về vectơ
Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B) Ta có −→AB = (x B − x A ; y B − y A)
Độ dài đoạn AB là AB = |−→AB| = p
(x B − x A)2+ (y B − y A)2
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là
(x − a)2+ (y − b)2 = R2
Ví dụ: Phương trình đường tròn tâm I(−3; 2), bán kính R = 4 là:
(x + 3)2+ (y − 2)2 = 16 Ngược lại, từ phương trình đường tròn cho trước, ta dễ dàng tìm ra tâm và bán kính của nó
Ví dụ: Đường tròn (C): (x − 2)2+ (y +√5)2 = 3 có tâm I(2; −√5), bán kính
R =
√
3
1.2 Một chút về phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến
−
→
n∆ = (A; B) là A(x − x0) + B(y − y0) = 0
Ngược lại, từ phương trình tổng quát của đường thẳng ax + by + c = 0, ta có
ngay một vectơ pháp tuyến của nó là −→n = (a; b).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (x0; y0) và có vectơ chỉ phương −→u = (a; b) là
(
x = x0+ at
y = y0+ bt (t ∈ R)
Trang 2Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B) là
x − x A
x B − x A =
y − y A
y B − y A
Ví dụ: Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) là
x − 1
3 − 1 =
y − 2
4 − 2 ⇔
x − 1
y − 2
2 ⇔ x − y + 1 = 0
Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 (a2+ b2 6= 0)
Đường thẳng d0 song song với d có phương trình dạng: ax + by + d = 0 (d 6= c) Đường thẳng ∆ ⊥ d có phương trình dạng: −bx+ay+e = 0 hoặc bx−ay+f = 0.
1.3 Phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng, cho M (x; y) và −→u = (u1; u2) Gọi M0(x0; y0) là ảnh của M qua T− →u Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là
(
x0 = x + u1
y0 = x + u2
Chú ý : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Các ví dụ:
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M (−1; 2) và vectơ−→u = (3; −4) Xác định ảnh của M qua phép tịnh tiến T− →u
Giải:
Gọi M1(x1; y1) là ảnh của M qua phép tịnh tiến T− →u Ta có
(
x1 = −1 + 3 = 2
y1 = 2 + (−4) = −2
Trang 3Vậy M1(2; −2).
Ví dụ 2: Xác định ảnh của đường thẳng d : 2x + 3y − 4 = 0 qua phép tịnh tiến
T− →u với −→u = (3; −4).
Bài này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau:
Cách 1: Lấy điểm M (−1; 2) ∈ d Theo ví dụ 1, ta có ảnh của M qua T− →u là
M1(2; −2)
Phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d0//d nên d0 có dạng:
2x + 3y + c = 0 Vì M1 ∈ d0 nên toạ độ của M1 thoả mãn phương trình d0 Do
đó ta có: 2.2 + 3.(−2) + c = 0 ⇔ c = 2.
Vậy phương trình d0 là 2x + 3y + 2 = 0.
Cách 2: Lấy thêm một điểm N (2; 0) ∈ d Ta tìm ảnh của N qua phép tịnh tiến
T− →u
Giả sử N0(x0, y0) = T− →u (N ) Ta có:
(
x0 = 2 + 3 = 5
y0 = 0 − 4 = −4 hay N
0
(5; −4)
Đường thẳng ảnh d0 của d là đường thẳng đi qua hai điểm M1(2; −2) và
N0(5; −4) Do đó phương trình d0 là
x − 2
5 − 2 =
y − (−2)
x − 2
y + 2
−2 ⇔ 2x + 3y + 2 = 0
Cách 3 Gọi M (x; y) ∈ d Và gọi M0(x0; y0) = T− →u (M ) Ta có
(
x0 = x + 3
y0 = y − 4 ⇒
(
x = x0− 3
y = y0 + 4
Vì M (x; y) ∈ d nên toạ độ của nó phải thoả mãn phương trình d Do đó ta có: 2x + 3y − 4 = 0 ⇔ 2(x0 − 3) + 3(y0 + 4) − 4 = 0 ⇔ 2x0 + 3y0 + 2 = 0 (∗)
(*) là phương trình đường thẳng, và toạ độ (x0; y0) của điểm M0 thoả mãn phương
trình (*) nên ta có phương trình đường thẳng d0 cần tìm là 2x + 3y + 2 = 0.
Trang 41.4 Phép quay
Định nghĩa:
Điểm M0 được gọi là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay ϕ nếu
(
OM0 = OM (OM0, OM ) = ϕ
Đặc biệt: M0 = Q (O,±90◦ ) ⇔
(
OM0 = OM (OM0, OM ) = ±90◦
Chú ý: Để chứng minh M0 là ảnh của M qua phép quay Q (O,±90◦ ) thì ta trước
hết chứng minh OM0 = OM , OM0 ⊥ OM nhờ vào tọa độ Sau đó vẽ biểu diễn hai điểm M và M0 lên mặt phẳng tọa độ, và xác định chiều quay từ M đến
M0 là cùng hay ngược chiều kim đồng hồ Nếu cùng chiều thì ta khẳng định góc quay lượng giác bằng −90◦ Ngược lại thì ta có góc quay lượng giác bằng 90◦
Ta cần nhớ hai công thức tổng quát sau:
Nếu M0(x0; y0) = Q (O,90◦ )(M ) ⇒
(
x0 = −y
0(−y, x)
Nếu M0(x0; y0) = Q (O,−90◦ )(M ) ⇒
(
x0 = y
0(y, −x)
Ví dụ: Xác định ảnh của điểm M (−2; 1) quay phép quay Q (O,90◦ )
Giải :
Ta dựa vào công thức trên khẳng định:
Gọi M0 là ảnh của M quay phép quay Q (O,90◦ ) Ta có M0(−1, −2).
Thật vậy, ta có: −−→OM = (−2; 1) ⇒ OM = |−−→OM| = p
(−2)2+ 12 =
√ 5
−−→
OM0 = (−1; −2) ⇒ OM0 = |−−→OM0| = p
(−1)2+ (−2)2 =
√ 5
Do đó: OM0 = OM
Ta lại có −−→OM0.−−→OM = (−2)(−1) + 1.(−2) = 0 Suy ra OM ⊥ OM0
Trang 5Biểu diễn lên hệ trục Oxy ta có:
−2
1
M
M0 −2
−1
x
y
O
Từ M đến M0 ngược chiều kim đồng hồ nên góc quay lượng giác (OM ; OM0) =
90◦
Ví dụ 2 Chứng minh rằng điểm M (−2; 1) thuộc đường thẳng ∆ : x−3y+5 = 0.
Hãy xác định ảnh của đường thẳng ∆ qua phép quay Q (O;90◦ )
Giải:
Thay x = −2, y = 1 vào phương trình đường thẳng ∆, ta có −2 − 3.1 + 5 = 0 Toạ độ M thoả mãn phương trình đường thẳng d nên M ∈ d.
Gọi ∆0 là ảnh của ∆ qua Q (O;90◦ ) Ta có ∆0 ⊥ ∆ nên phương trình ∆0 có dạng:
3x + y + c = 0.
Theo ví dụ trước, M (−2; 1) −−−−→ M Q(O,90◦) 0(−1; −2)
Vì M ∈ ∆ nên M0 ∈ ∆0 Do đó
3.(−1) + (−2) + c = 0 ⇔ c = 5
Vậy phương trình đường thẳng ∆0 là: 3x + y + 5 = 0.
1.5 Phép vị tự
Biểu thức tọa độ của phép vị tự: Cho điểm M (x; y) Gọi M0(x0; y0) là ảnh của
M qua phép vị tâm O, tỉ số k.
Ta có −−→OM0 = k.−−→OM Mà −−→OM0 = (x0; y0), −−→OM = (x; y) ⇒ k.−−→OM = (kx, ky)
Trang 6Do đó, ta có biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm O, tỉ số k là
(
x0 = k.x
y0 = k.y
Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng
với nó, biến một đường tròn (I, R) thành một đường tròn (I0, R0) với I0 là ảnh
của I qua V (O,k) và R0 = |k|R.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; −1), B(−2; 5), C(4; −3).
a) Xác định tọa độ ảnh của A, B, C qua V (O;2) , V (O;1
2 )
b) Viết phương trình đường thẳng d0 là ảnh của d đi qua 2 điểm A, B qua V (O;2)
c) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn tâm A, bán kính BC qua
V (O,1
2 )
Giải:
a) Gọi A0(x A0; y A0) = V (O;2) (A) Ta có −→OA0 = 2−→OA nên suy ra
(
x A0 = 2.x A = 2.1 = 2
y A0 = 2.y A = 2.(−1) = −2 Vậy A0(2; −2)
Tương tự:
V (O;2) : B(−2; 5) 7−→ B0(−4; 10)
C(4; 3) 7−→ C0(8; 6)
V (O;1
2 ): A(1; −1) 7−→ A00(1
2; −
1
2)
B(−2; 5) 7−→ B00(−1; 5
2)
C(4; 3) 7−→ C00(2; 3
2) b) Ta có thể giải bằng nhiều cách
Trang 7Cách 1: d0 là đường thẳng đi qua hai điểm A0, B0 Đường thẳng d0 qua A0(2; −2)
và có vectơ chỉ phương là −−→A0B0 = (−4−2; 10−(−2)) = (−6, 12) nên có phương
x = 2 − 6t
y = −2 + 12t (t ∈ R) hoặc khử t từ phương trình tham số để đưa về dạng tổng quát là
x − 2
y + 2
12 ⇔ 2x + y − 2 = 0
Cách 2: Phương trình đường thẳng d: x − 2
−2 − 1 =
y + 2
10 + 2 ⇔ 6x + 3y − 2 = 0
Gọi M (x; y) ∈ d Và gọi M0(x0; y0) = V (O;2) (M ) Ta có
−−→
OM0 = 2−−→OM ⇔
(
x0 = 2x
y0 = 2y ⇔
(
x = 12x0
y = 12y0
M ∈ d ⇒ 6(12x0) + 3(12y0) − 3 = 0 ⇔ 6x0 + 3y0− 6 = 0
Vậy phương trình ảnh d0 là: 6x + 3y − 6 = 0 ⇔ 2x + y − 2 = 0.
c) Ta có
V (O;1
2 ): A(1; −1) 7−→ A00(1
2; −
1
2)
B(−2; 5) 7−→ B00(−1;5
2)
C(4; 3) 7−→ C00(2; 3
2)
R = BC = p
(4 + 2)2+ (3 − 5)2 =
√
40 = 2
√ 5
Do đó bán kính của đường tròn ảnh là R0 = |k|.R = 1
2.2
√
5 =
√ 5
Vậy phương trình đường tròn ảnh là:
x − 1
2
2
+
y + 1
2
2
= (
√ 5)2 ⇔
x − 1
2
2
+
y + 1
2
2
= 5
Trang 82 Phép dời hình và phép đồng dạng
Bài tập 1 Gọi f là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
tịnh tiến theo vectơ −→u = (−2; 1) và phép quay tâm O, góc quay ϕ = −90◦ Gọi
g là phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến T− →u
và phép vị tự tâm O, tỉ số k = 3.
a) Xác định ảnh của điểm M (−3; 2) qua phép dời hình f và phép đồng dạng g b) Xác định ảnh của đường thẳng d : x + 2y − 1 = 0 qua f và g.
c) Xác định ảnh của đường tròn (C) : (x + 3)2+ (y − 2)2 = 4 qua f và g.
Hướng dẫn giải
a) Để xác định ảnh của M qua phép dời hình f , ta xác định ảnh M1 của M qua phép tịnh tiến T− →u , sau đó xác định ảnh M2 của M1 qua phép quay Q (O;−90◦ )
Trước hết ta xác định ảnh của điểm M (−3; 2) qua T− →u
Gọi M1(x1; y1) là ảnh của M qua T− →u Ta có
(
x1 = −3 − 2 = −5
y1 = 2 + 1 = 3 ⇒ M1(−5; 3)
Ta xác định ảnh M2 của M1 qua phép quay Q (O;−90◦ )
Ta có M2(3; 5) Các bước kiểm chứng lại (chứng minh OM1 = OM2, OM1 ⊥
OM2, (OM1, OM2) = −90◦) được tiến hành tương tự như các ví dụ trước
Vậy f (M ) = M2(3; 5)
Tương tự, M (−3; 2) −→ M T−→u 1(−5; 3) −V−−(O;3)→ M0(−15; 9)
hay g(M ) = M0(15; 9)