Nêu định nghĩa tính khả vi tại một điểm của ánh xạ từ một mặt chính quy vào một mặt chính quy và chứng minh định nghĩa không phụ thuộc vào tham số hóa3. Nêu định nghĩa ánh xạ khả vi và v[r]
Trang 1ĐỀ THI HÌNH VI PHÂN - NĂM 2011
Đề số 2
I Cho đường tham số c : R −→ R3, với tham số hóa c(t) = (3 cos t, 4t, 3 sin t)
1 Với k và τ là hàm độ cong và hàm độ xoắn của c, hãy tính k2+ τ2 tại điểm bất kỳ
2 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của c tạo với trục Oy một góc không đổi Hãy xác định góc đó
3 Có hay không tiếp tuyến của c song song với một trục tọa độ, tiếp tuyến của c song song với một mặt phẳng tọa độ Nếu có, hãy viết phương trình của một tiếp tuyến như thế
II Cho đường tham số α : (0, π) −→ R2, với tham số hóa α(t) = (sin t, cos t + ln tan(2t))
1 Hãy tìm các điểm kỳ dị của α
2 Chứng minh rằng tại các điểm chính quy, khoảng cách từ tiếp điểm đến giao điểm của tiếp tuyến với trục y luôn bằng 1
III Cho một tham số hóa của mặt chính quy S
X(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sin v, u); u ∈ R, 0 < v < 2π
1 Chứng tỏ các đường tọa độ của S là đường chính khúc
2 Tính độ cong trung bình và độ cong Gauss của mặt S tại điểm bất kỳ
3 Tìm một mặt phẳng chứa một pháp vectơ của mặt sao cho lát cắt chuẩn tắc (normal section) xác định bởi mặt phẳng này là một đường tròn (bỏ đi một điểm)
IV 1 Nêu định nghĩa tính khả vi tại một điểm của ánh xạ từ một mặt chính quy vào một
mặt chính quy và chứng minh định nghĩa không phụ thuộc vào tham số hóa
2 Nêu định nghĩa ánh xạ khả vi và vi phôi từ một mặt chính quy vào một mặt chính quy và cho ví dụ ánh xạ khả vi không vi phôi và một ví dụ về vi phôi (khác ánh xạ đồng nhất)
Hết
1