Do T đẳng cấu với Q hoặc Zp nên trường con thực sự của T qua phép đẳng cấu cũng là trường con thực sự của Q hoặc Zp vậy T không có trường con thực sự nào.. Vậy T là trường cực tiểu theo[r]
Trang 1Bài 2.3: Giải phương trình:
Thế vào , ta được:
Thế vào , ta được:
=> 2|27 (Vô lý) Vậy pt vô nghiệm
Thế vào , ta được:
Thế vào , ta được:
Bài 2.7: Cho R là một vành tùy ý
con của có chứa
Giải:
vì có phần tử đơn vị
(hiển nhiên)
Cần c/m
Ta có:
Suy ra là vành con của có chứa (đpcm)
hoán của R
Trang 2Giải:
C/m là một vành con của R: c/m tương tự câu a
Cụ thể:
vì có phần tử đơn vị
(hiển nhiên)
Cần c/m
Ta có:
Ta suy ra là một vành con của R
Vậy là vành con giao hoán của R
Gọi A là một ma trận thuộc
với mọi thuộc
với mọi
là ma trận đường chéo
Thay
Bài 2.11
a) Ta có: IJ vì IJ
Đặt
và
Trang 3Với ta có:
Vậy IJ là một ideal của X
=
=
Trong đó các hi có dạng tích kili Từ đẳng thức trên suy ra IJ là tập con của mnZ, hơn nữa với mọi số nguyên có dạng mnl, chọn q = 1, ki = 1, li = l ta được mnl thuộc IJ Vậy IJ = mnZ Bài 2.15:
a) Cm : I = Ann(a)={ x thuộc R : ax = 0 } là 1 ideal của R
Với x = 0 thì a0 = 0 => 0 thuộc I
Lấy u và v thuộc I thì au = av = 0
Ta có a( u - v) = au - av = 0 => u - v thuộc I
Với r thuộc R ta có a(ru) = a(ur) = (au)r = 0 => ur và ru thuộc I ( do I giao hoán)
=> I là ideal của R
b) Tìm Ann(4) trong vành Z
Ta có 4x = 0 ( mod 32)
<=> x = 0 ( mod 8 )
=> x= 8 , x = _ 16 , x= 24 , hoặc x = 0 _
Bài 2.19 :
Cm I = { x thuộc R : f(x)= x} là vành con của R
Vì f(0) = 0 => I khác rỗng
Lấy a thuộc I => f(a) = a
và b thuộc I => f(b) =b
Ta có f( a - b ) = f (a) + f(-b) = a - b
f (ab) = f(a)f(b)= ab
Vậy I là vành con của R
Bài 2.23:
a) CM:Q( ) là trường con của C
+ Q( ) khác rỗng vì 0 thuộc Q( )
Trang 4+ C chứa Q( )
+ Với mọi x,y thuộc Q( ), ta có x=a+b và y=c+d
Ta có: x-y = (a-c)+ (b-d) => x-y thuộc Q( (vì a-c thuộc Q và b-d thuộc Q)
với y=c+d khác 0, ta cm: c-d khác 0
Giả sử c-d = 0 => c=0 và d=0 =>c+d =0(trái giả thiết)
=> c-d khác 0
Ö xy-1 thuộc Q( )
Vậy Q( ) là trường con của C
CM : Q(i) là trường con của C
+ Q(i) khác rỗng vì 0 thuộc Q(i)
+ C chứa Q(i)
+ Với mọi x,y thuộc Q(i), ta có x=a+bi và y=c+di
Ta có: x-y=(a-c)+i(b-d) thuộc Q(i) vì a-c thuộc Q và b-d thuộc Q
với y=c+di khác 0, ta cm: c-di khác 0
giả sử: c-di = 0 => c=0 và d=0 => c+di =0 ( trái với giả thiết)
=> c-di khác 0
thuộc Q
Vậy Q(i) là trường con của C
b) CM: Q(i) và Q( ) không đẳng cấu với nhau
Giả sử Q(i) và Q( ) đẳng cấu với nhau => tồn tại một đẳng cấu f: Q(i) Æ Q( )
Đặt f(i) = a ( a thuộc Q( ) )
Ta có: f(i*i) = f(i) * f(i) = a2
f(i*i) = f(-1) = -f(1) = -1
=>a2= -1=> a=i, hoặc a = -i => a không thuộc Q( )
=> không tồn tại f: Q(i) Æ Q( )
=> Q(i) Q( )
c) TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q( )
Ta có: Q là trường con của Q( )
Ta cm: Nếu K là trường con của Q( ) thì K=Q hoặc K= Q( )
Ta có 1 thuộc K nên với mọi n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần)
=> n thuộc K => -n thuộc K và n-1 thuộc K
Trang 5Với mọi số hữu tỉ thuộc Q có dạng rs-1 ( với r thuộc Z và s thuộc N*), ta có r thuộc K và s-1 thuộc
K
=>rs-1 thuộc K
=> K chứa Q
Xét không thuộc K: giả sử K Q
=> tồn tại 1 phần tử x=a+b thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q
=> thuộc K(trái giả thiết)
=>K = Q
Xét thuộc K:
Với mọi x thuộc Q( ) có dạng: x=a+b
Ta có: => x thuộc K
Vậy K chứa Q( ), mà Q( ) chứa K => K= Q( )
Vậy Q( ) có 2 trường con là Q và Q( )
TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q(i)
Ta có: Q là trường con của Q(i)
Ta cm: Nếu K là trường con của Q(i) thì K=Q hoặc K= Q(i)
Xét i không thuộc K: giả sử K Q
=> tồn tại 1 phần tử x=a+bi thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q
=> i thuộc K(trái giả thiết)
=>K = Q
Xét i thuộc K:
Ta có 1 thuộc K nên với mọi n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần)
=> n thuộc K => -n thuộc K và n-1 thuộc K Với mọi x thuộc Q(i) có dạng: x=a+bi
Ta có: => x thuộc K
Vậy K chứa Q(i), mà Q(i) chứa K => K= Q(i)
Vậy Q(i) có 2 trường con là Q và Q(i)
d) CM: A={a+b +c |a,b,c thuộc Q} là trường con của C
+ A khác rỗng vì 0 thuộc A
+ C chứa A
+Với mọi x,y thuộc A có dạng x= a+b +c và y=d+e +f
Ta có: x+y= (a+d)+(b+e) +(c+f) thuộc A vì (a+d) thuộc Q,(b+e) thuộc Q,(c+f) thuộc Q
Ta có:-x= -a+(-b) +(-c) thuộc A vì –a thuộc Q, -b thuộc Q, -c thuộc Q
Ta có: xy=ad+ae + af + bd + be + 2bf + cd + 2ce + 2 cf
= (ad+2bf+2ce) + (ae+bd+2cf)+ (af+be+cd) thuộc A
Trang 6vì (ad+2bf+2ce) thuộc Q, (ae+bd+2cf) thuộc Q, (af+be+cd) thuộc Q
Ta cần cm: tồn tại x-1 = i+j +k thuộc A với x khác 0
Ö tìm i,j,k thuộc Q sao cho xx-1=1
Ö (a+b +c )( i+j +k )=1
Ö ai+aj +ak +bi +bj +2bk+ ci+2cj+2 ck=1
Ö (ai+2bk+2cj-1) + (aj+bi+2ck)+ (ak+bj+ci)=0
Ta cần cm: hệ (*) có nghiệm i,k,l
Ö a3+4c3+2b3-6abc 0
Đặt r = a, 3 2b = s, 3 4c = t Khi đó nếu a3+4c3+2b3-6abc = 0 thì r3 + s3 + t3 = 3rst nên r = s = t hoặc r + r + t = 0, do giả thiết x = r + s + t khác 0 nên r = s = t, mà r thuộc Q, 3 2không thuộc Q, nên r = s = t = 0, hay x = 0 mâu thuẫn
Vậy a3+4c3+2b3-6abc 0 do đó phần tử nghịch đảo của x cũng thuộc A A là trường con của R Bài 2.27:
(a)=>(b)
Ta có: {0} là ideal của R
Ta cm: nếu I là một ideal của R và I {0} thì I=R
Vì R là một trường nên mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch
Ö trong I tồn tại ít nhất một phần tử khả nghịch
Ö I=R
(b)=>(c)
Gọi f là đồng cấu vành từ R vào một vành bất kì
Ta có: Ker f là ideal của R
Ö Ker f = {0} hay Ker f = R
+Với Ker f = {0} => f là đơn cấu
+Với Ker f = R => với mọi r thuộc R, f(r)=0 => f là đồng cấu 0
Vậy mọi đồng cấu vành từ R vào 1 vành bất kì hoặc là đồng cấu 0 hoặc là đơn cấu
(c)=>(a)
Ta chỉ cần cm thêm tính chất mọi phần tử trong R đều có phần tử khả nghịch => R là trường
Ta chứng minh một kết quả quan trọng mọi ideal I của R đều là Ker của một đồng cấu vành nào
đó từ R
Xét ánh xạ f: RÆ R/I
Với f(x)=x+I, với mọi x thuộc R
+CM: f là đồng cấu vành
f(x+y) = x + y + I = (x+I)+ (y+I) = f(x)+f(y)
f(xy) = xy+I = (x+I)(y+I) = f(x)f(y)
+ Ker (f) = I Thật vậy f(x) = I khi và chỉ khi x + I = I khi và chỉ khi x thuộc I
Trở lại bài toán, giả sử x là phần tử khác 0 bất kì của R Xét I = <x> là ideal sinh bởi x cũng chính là xR
Trang 7Gọi f là đồng cấu vành sao cho Ker(f) = I dĩ nhiên Ker f khác { 0 } nên f không là đơn cấu, theo
giả thiết thì f là đồng cấu 0, tức là I = R, vậy tồn tại x’ thuộc R sao cho xx’ = 1, suy ra x khả
nghịch
Vậy R là một trường
Bài 2.31:
Xét trường F
Ta biết tùy theo char F bằng 0 hay khác 0 mà F có một trường con T đẳng cấu với Q hoặc Zp với
p nguyên tố
Ta cm là Q và Zp với p nguyên tố không có trường con thực sự nào
Q: gọi H là trường con của Q, suy ra 1 thuộc H, do đó m thuộc H với m thuộc Z, nên n-1 thuộc H
với n thuộc Z*, vậy mn-1 thuộc H, hay H bằng Q
Zp: gọi H là trường con của Zp, suy ra 1 thuộc H, nên _ n thuộc H với mọi n, do đó H bằng Z_ p
Do T đẳng cấu với Q hoặc Zpnên trường con thực sự của T qua phép đẳng cấu cũng là trường
con thực sự của Q hoặc Zpvậy T không có trường con thực sự nào
Vậy T là trường cực tiểu theo quan hệ bao hàm
Bài 2.35:
Gọi f là đồng cấu trường từ trường F vào trường F’ Khi đó f có thể là đồng cấu không, nên ta chỉ
xét trường hợp đồng cấu không tầm thường Khi đó tồn tại x thuộc F sao cho f(x) khác 0
Ta có f(1.x) = f(x).1=f(x).f(1), giản ước cho f(x) ta được f(1) = 1
Vậy f(0) = 0; f(1) = 1
a) Nếu F là Q: với m, n thuộc Z và n khác 0, ta có f(1) = 1, nên f(m) = m,
f(n) = n, nên f(mn-1) = mn-1 Vậy f chính là ánh xạ đồng nhất
b) Nếu F là Q( 2) thì để ý là giống như ánh xạ tuyến tính được xác định khi ta xác định f trên
một cơ sở của không gian vecto đó, ở đây ta nhận thấy có thể xem cơ sở của Q( 2) là 1 và 2
Đặt x = f( 2) khi đó x2 = f(2) = 2, nên x = 2 hoặc x = - 2
Nếu x = 2 thì cũng từ câu a, ta suy ra f(a) = a với mọi số hữu tỉ a,
nên f( a + b 2) = a + b 2
Vậy f là ánh xạ đồng nhất
Nếu x = - 2 thì f( a + b 2) = a - b 2 Kiểm tra được f là đồng cấu vành
c) Nếu F là Q(i): hoàn toàn tương tự câu b, ta có f(i) = i hoặc f(i) = -i do đó có 2 đồng cấu không
tầm thường là f(x) = x với mọi x, hoặc f(x) = x trong đó _ x là số phức liên hợp của x _
d) Nếu F là R: ta có theo câu a, f(x) = x, với mọi x thuộc Q
Với mọi số thực x > 0 thì f(x) = f2( x ), hơn nữa mọi đồng cấu trường không tầm thường đều là
đơn cấu nên f(x) >0
Xét x, y thuộc R sao cho x > y thì f(x) – f(y) = f(x – y) > 0
Suy ra f là hàm số tăng trên R
Khi này với mọi số thực x, xét dãy số hữu tỉ (an) và (bn) tiến tới x với an < x < bn
Khi đó f(an) < f(x) < f(bn) với mọi n, hay an < f(x) < bn (*) với mọi n, cho n tiến tới vô cùng, bdt
bên trái của (*) suy ra x ≤ f(x), bdt ở vế phải của (*) suy ra f(x) ≤ x
Vậy f(x) = x với mọi số thực x
Vậy f là ánh xạ đồng nhất
e) Nếu F là C sao cho f(x) = x với mọi x thuộc R
Lúc này hoàn toàn tương tự câu c, ta có hai đồng cấu là
f(x) = x với mọi x thuộc C
Trang 8hoặc f(x) = x với mọi x thuộc C _