[r]
Trang 1
BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG II
Nhóm 2
Bài 2.2)
Gọi e là phần tử đơn vị trái duy nhất của R , ta có ex = x với mọi x thuộc R Xét x thuộc R , ta chứng minh xe – x + e cũng là phần tử đơn vị trái của R Thật vậy , với mọi y thuộc R , ta có
( xe – x + e ) y = xey – xy + y = xy – xy + y = y
nên xe – x + e là phần tử đơn vị trái của R
Do tính duy nhất của e nên ta có xe – x + e = e hay xe = x với mọi x thuộc R Suy ra xe = ex = x với mọi x thuộc R nên R có phần tử đơn vị là e
Bài 2.6)
Từ giả thiết suy ra x4 = x2 với mọi x thuộc R Đặt t = x2 , ta có t2 = t
Ta thấy với y thuộc R thì
(yt – tyt )2 = ytyt – yttyt – tytyt + tyttyt = ytyt – ytyt –tytyt + tytyt = 0
nên (yt – tyt ) = (yt – tyt )3 = 0 hay yt = tyt
Tương tự ta cũng có ty = tyt Suy ra ty = yt hay x2y = yx2
Từ đó ta có
xy = (xy)3 = xyxyxy = x(yx)2y = xy(yx)2 = xy2xyx = y2xxyx = y2x2yx = y3x3 = yx với mọi x , y thuộc R
Vậy R là vành giao hoán
Bài 2.10)
Hiển nhiên I + J ⊂ R Xét ( x + y ) và (x’ + y’) ∈ I + J v à r ∈ R
Ta thấy ( x + y ) - (x’ + y’) = ( x - x’) + ( y – y’ ) ∈ I + J
r( x + y ) = rx + ry ∈ I + J
(x + y )r = xr + yr ∈ I + J
suy ra I + J cũng là ideal của R
Nếu R = Z , I = mZ , J = nZ thì theo kết quả bài 1.16b , ta có I + J = (m,n) Z
Bài 2.14)
a) Hiển nhiên aR ⊂ R
* Nếu a khả nghịch phải thì tồn tại b thuộc R sao cho ab = e Khi đó với mọi r thuộc R , ta có r = er = (ab)r = a(br) ∈ aR , suy ra R ⊂ aR Vậy R = aR
* Nếu aR = R thì tồn tại b sao cho ab = e hay a khả nghịch phải
Trang 2
b) Hiển nhiên aR ⊂ R
* Nếu a khả nghịch trái thì tồn tại b thuộc R sao cho ba = e Khi đó với mọi r thuộc R , ta có r = re = r(ba) = (rb)a ∈ Ra , suy ra R ⊂ Ra Vậy R = Ra
* Nếu Ra = R thì tồn tại b sao cho ba = e hay a khả nghịch trái
c) * Nếu a khả nghịch thì tồn tại b thuộc R sao cho ab = ba = e Khi đó theo câu a và b thì aR = Ra = R
* Nếu aR = Ra = R thì tồn tại b và c sao cho ab = ca = e Ta chứng minh b = c
Bài 2.18)
a) Giả sử X là vành có đơn vị e và có p phần tử với p nguyên tố Khi đó ( X,+)
là nhóm cyclic nên nó sinh bởi một phần tử bất kì khác 0 Ta thấy nếu e = 0 thì với mọi x thuộc X , x = xe = x0 = 0 nên nhóm (X , + ) chỉ có 1 phần tử , trái giả thiết , suy ra e khác 0 Vậy X = <e> = { 0 , e , 2e , , (p-1)e }
Khi đó ta thiết lập tương ứng f : p → X
k 6 ke
Hiển nhiên f là ánh xạ và là toàn ánh Hơn nữa f(k +h) = ( k + h )e = ke +
he = k e +he = f(k) + f(h) nên f là đồng cấu
Ngoài ra , ker f = {k ∈ p | ke = 0 } = {k ∈ p | k = 0 } = 0 nên f là đơn
b) Nếu m không nguyên tố thì m = nk ( 1 < n , k < m )
Giả sử (n,k) > 1, khi đó theo kết quả bài 1.35 th ì m là nhóm cyclic nhưng
Bài 2.22)
a) Giả sử n không nguyên tố , khi đó n = mk ( 1 < m , k < n)
Khi đó ne = ( mk)e = (me)(ke) = 0 , và do R là miền nguyên nên me = 0 hoặc
ke = 0 , trái giả thiết của n Vậy n nguyên tố
b) Xét x khác 0 , ta có nx = (ne)x = 0
Hơn nữa nếu kx = 0 thì 0 = kx = k(ex) = (ke)x và do R là miền nguyên nên ke = 0,
Trang 3Với mx , my∈ mR và r∈ R thì mx – my = m(x-y) ∈ mR , r(mx) =m(rx) ∈ mR,
Xét ánh xạ f : R → R
x 6 x
Hiển nhiên f là đồng cấu vành và là toàn cấu
*Nếu m#n thì mR = {0}
*Nếu m không chia hết cho n thì (m,n) = 1 do n nguyên tố Suy ra tồn tại u và v nguyên sao cho mu + nv = 1
ra a ∈ mR
Bài 2.26)
a)
*NếuR/I là miền nguyên thì R/I có nhiều hơn một phần tử (I khác R)
Lấy x,y là hai phần tử thuộc R sao cho xy ∈ I ,ta có : xy +I = (x+I) (y+I) = I
Mà R/I không có ước của không nên x∈I hoặc y∈I
Vậy I là ideal nguyên tố
* Nếu I là ideal nguyên tố và I khác R thì R/I có nhiều hơn một phần tử Lấy x+I , y+I ∈R/I Ta có (x+I)(y+I) =xy+I =yx+I =(y+I)(x+I) (R giao hoán)
Do đó R/I vành giao hoán có đơn vị là I
Với x+I , y+I ∈ R/I thoả (x+I)(y+I)=I ,suy ra xy+I = I hay xy∈I Vì I là ideal nguyên tố nên x+I=I hoặc y+I=I , suy ra x∈I hoặc y∈I.Vậy R/I không có ước của không nên R/I là miền nguyên
b)
* Giả sử R/I là trường , cho J là một ideal của R sao cho I⊂J (I khác J)
Xét x∈J \ I Suy ra x + I khác I Mà R/I là trường nên có y+I thoả (x+I)(y+I)=
xy + I = e + I hay e = xy + i Vì x ∈ J , i∈J ( i∈I) nên e thuộc J Suy ra J = R Vậy I là ideal tối đại
* Giả sử I là ideal tối đại và I khác R , suy ra R/I có nhiều hơn một phần tử
R là vành giao hoán có đơn vị nên R / I là vành giao hoán có đơn vị e+I
Lấy x +I ≠I (x∉I) Xét ideal J = I +xR Khi đó I ⊂ J và x ∈ J Vì I là ideal tối đại nên J = R và e ∈J
Ta có e=i + xy ( i∈I , y∈R ) hay e+I = (i+xy) +I = xy+I = (x+I)(y+I)
Do đó y+I là nghịch đảo của x+I (do R là vành giao hoán )
Vậy R/I là một trường
Trang 4
Bài 2.30)
Xét trường con A của ∵
Vì A là trường con của ∵ nên 1 thuộc A Suy ra ∀n>0, có n = 1+1+….+1 ∈A , -n∈A,và
n
1 ∈A
Lấy
q p ∈∵ (q≠0) Ta có
q
p
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
q
p 1
q
1 ∈A) Suy ra ∵⊂A (2) Vậy A = ∵
Bài 2.34)
a) Ta thấy với p nguyên tố thì (k , p) = 1 ⇔ ( k , pm ) = 1( m nguyên dương )
Ta sẽ tìm tất cá các k sao cho ( k , p) khác 1 với 1≤ k ≤ pm
Đặt k = tp ( 1 ≤ t ), ta có 1≤ tp ≤ pm ⇔ 1≤ t ≤ p m-1 , suy ra có tất cả
p m-1 giá trị k với 1≤ k ≤ pm sao cho ( k , p) khác 1
Vậy ϕ (pm) = pm – pm-1 = pm-1( p – 1)
k m m
p p
p 1 2
2
1
m
k
Suy ra ϕ (n) = n ( 1 – p1-1) ( 1 – p2-1)…(1 - pk-1 )