Bài toán vận dụng cao chuyên đề hình học không gian (Phần 1) – Toán 12

1. Thể tích khối hộp chữ nhật.. có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. có cạnh đáy bằng a.. Tổng quát : Cho hình ch[r]

CHƯƠNG 05

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

……… Chủ đề 1 Thể tích khối đa diện

❖ Thể tích khối chóp

❖ Thể tích khối lăng trụ

❖ Thể tích khối hộp chữ nhật

❖ Thể tích khối lập phương

❖ Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện hoặc khối chóp tam giác

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Mặt cầu – khối cầu

❖ Định nghĩa mặt cầu

❖ Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

❖ Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

❖ Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 5 Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

CHƯƠNG 05

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 1

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trước khi vào phần bài tập bạn đọc cần trang bị cho mình các kiến thức căn bản tối thiểu:

a a

Cho khối tứ diện SABC và A B C', ', ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA SB SC, , ta có:

Chúng ta sẽ cùng đi ngay vào các ví dụ minh họa để thấy rằng có những bài liên quan đến thể tích khối

đa diện rất khó, đòi hỏi khả năng vận dụng cao

B A

S

C

A'

B' C'

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của A B' ' và

BC Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi ( )H là khối đa diện

chứa đỉnh A H,( )' là khối đa diện còn lại Tính tỉ số ( )

A I = D D Suy ra thiết diện là KMIDN

( )

3 2

C'

C D

D'

A' B'

J

Lời giải

+ Gọi H là trung điểm AB

Do ABC đều và (SAB) (⊥ ABCD)SH ⊥(ABCD)

23

N M

H

C B

S

326

a

36

I =c SIH = −c S = S va SIH ke bu  SIH =

Xét tam giác SHI ta có sin 3 6 2

a

38

a

338

a

Lời giải

I A

B

J C

D M

N

S

H

Tổng quát: Cho hình chóp tam giác đều S ABC

có cạnh đáy bằng a Gọi ( )P là mặt phẳng đi

qua A và song song BC và vuông góc với (SBC),

góc giữa ( )P với mặt phẳng đáy là 

Thể tích khối chóp S ABC là:

3

cot24

( ) (P  SBC)=EFEF//BC( ) (P  SBC)=Ax với Ax/ /EF/ /BC

+ Gọi M là trung điểm BC SM, EF =N

60 Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng

(SBI) (, SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD

G

M A

B

C E

x

Gọi H trung điểm của BC I, là hình chiếu của H lên BC J, là trung điểm AB

3.2

B J

A

S

B' A'

C'

B

C D

A

D'



Lời giải

Gọi O và O' theo thứ tự là tâm của hai mặt đáy ABCD A B C D, ' ' ' '.

Hai mặt chéo (ACC A' ') và (BDD ' 'B ) có giao tuyến là OO ', có diện tích theo thứ tự S S1, 2

O

B' A'

Dựng mặt phẳng ( )P vuông góc với OO ' tại I, cắt các cạnh bên AA ',BB CC', ', DD ' theo thứ tự tại

E F G H (( )P ⊥ các cạnh bên)

Ta có: EG HF ⊥, OO' tại I EIH = là góc giữa hai mặt phẳng chéo (ACC A' ') và (BDD ' 'B )

- EFGH là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành

A'

C D

A

P

1) Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho

trước là mặt cầu tâm O và bán kính R Kí hiệu S O R( ; ).

Như vậy, khối cầu S O R( ; ) là tập hợp các điểm M sao cho OMR

2) Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

V = R

3) Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Để tìm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp bất kì ta cần phải tìm được điểm I cách đều tất cả các đỉnh

Bước 1: Dựng trục của đáy: là đường thẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy

a

b

B'

B A

D

C A'

Bước 2: Ta thường dựng trung trực của một cạnh bên nào đó cắt trục của đáy tại I, hoặc dựng

trục của một mặt bên nào đó cắt trục của đáy tại I Tâm mặt cầu chính là điểm I, ở bước 2 này phải tùy vào đề bài mà ta có cách xử lý cụ thể

Và ABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông

Gọi O=ACBH O, là tâm hình vuông

Dựng một đường thẳng d qua O vuông góc với

(ABCH), dựng mặt phẳng trung trực của SA qua

trung điểm J cắt d tại I I, là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Ta hoàn toàn có IJ⊥SAIJ / /ABI là trung điểm

 = tam giác SHC vuông tại H SH =a 6

Tam giác SHA vuông tại HSA=3a

K

I là tiếp điểm của ( )P và ( )S

Đường thẳng OM cắt ( )P tại N nên IN

Vuông góc với OI tại I

Suy ra IN tiếp xúc với ( )S

R



24

R



28

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P) thì:

• H là tâm của đường tròn giao tuyến (P) và (S)

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc SMH I( SH) Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính IH =r

Chọn B

Bài 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=a Cạnh bên SA=2a

và vuông góc mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

C B

D S

I

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC Gọi I là trung điểm 2SC,

suy ra IM/ /SA nên IM ⊥(ABC)

Do đó IM là trục của ABC ,

suy ra IA=IB=IC ( )1

Hơn nữa , tam giác SAC vuông tại A

có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA( )2

Gọi O= ACBD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO/ /SAIO⊥(ABCD)

Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra: IA=IB=IC=ID ( )1

Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS =IC=IA ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có: IS= 2

2

SC

R=IA=IB=IC=ID= =a Vậy diện tích mặt cầu 2 2

S

I

M A

B

C S

Bài 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB=a Cạnh bên SA=a 2, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:

Gọi M trung điểm AC, suy ra SM ⊥(ABC)SM ⊥ AC

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S

2,

AC= AB +BC =a suy ra tam giác SAC đều

Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra GS=GA=GC ( )1

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lại có SM ⊥(ABC) nên SM là trục của tam giác ABC

Mà G thuộc SM nên suy ra GA=GB=GC ( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 , suy ra GS=GA GB GC= = hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

Gọi O là tâm ABC, suy ra SO⊥(ABC) và 3.

Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

Gọi M là trung điểm SA, ta có SOA đồng dạng SMI nên

B C

S

M

I

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng (SOB), kẻ đường trung trực d của đoạn SB

3 3

Lời giải

Ta có SA⊥AD hay 0

90

SAD = Gọi E là trung điểm AD

O

C

D A

B

S

D E

B

A

C S

I

SEA=SMA=SFA= nên 5 điểm S A E M F, , , , cùng thuộc mặt

cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính 2

O

C

D A

B

S

I

Bài 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a.Đường thẳng SA vuông góc đáy (ABCD) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?

Lại có AH⊥SB Suy ra AH ⊥(SBC)AH ⊥HC nên tam giác AHC vuông tại H

và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH =OC ( )2

a



32

A

D S

H

Từ ( ) ( )1 , 2 suy r aba điểm B H K, , cùng nhìn xuống AC dưới một góc 0

Bài 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD=a Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy 1 góc bằng 0

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nhận giá trị nào sau đây?

I A

B

C S

C

A

D

B S

Trong tam giác vuông SHB, có 2 2 3

.2

H C

A

B S

K

Suy ra 3

2

a CM

a



36

a



33

Gọi M trung điểm AB, do tam giác

SAB vuông tại S nên MS=MA=MB

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

Từ giả thiết suy ra: SH ⊥(ABCD)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tamm giác ABC Từ G dựng tia Gx⊥(ABC) (như hình vẽ) Suy ra Gx là trục của tam giác ABC TRong mặt phẳng

(SA Gx, ), kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA

a

Chọn C

Bài 20: Cho tứ diện S ABC có các cạnh AS AB AC, , đôi một vuông góc và AS =a AB, = 2 ,a AC = 3 a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là:

O

G A

B

C S

Suy ra Mx là trục của ABC Trong mặt phẳng (SA Mx, ) kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Mx

tại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bán kính mặt cầu: 2 2 14

.2

a

Chọn D

Bài 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=AC=a Cạnh bên SA

vuông với đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với đáy (ABC) một góc 0

60 Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tỉ số V

Suy ra Ix là trục của ABC

Trong mặt phẳng (SA, Ix ,) kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J Khi đó, J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

B

C S

J

I A

B

C S

Bài 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 0

a

R=IA= IG +GA =

Chọn A

Bài 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC=a Mặt phẳng (SAB)

O C

A

B

D S

Gọi M trung điểm AB, suy ra SM ⊥AB và SM ⊥(ABC)

Do đó, SM là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SBM), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R=SI

Bài quy về hình nón tâm O ngoại tiếp

hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác

là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF

Như vậy, đường cao của tam giác SEF là SH=3OH =3 R

S

F D

Trong tam giác EOH (vuông tại H, 0

30 Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:

suy ra N là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC

Gọi I là trung điểm A C' ,

suy ra IN/ / 'A AIN ⊥(ABC)

Do đó IN là trục của ABC,

suy ra IA=IB=IC ( )1

Hơn nữa, tam giác A AC' vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'=IB'=IC' 2( )

Từ ( ) ( )1 , 2 , ta có IA'=IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC' với bán kính

Bài 26: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng (AB C' ')

tạo với mặt đáy góc 0

60 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:

B

A'

B'

C C'

Gọi G’là trọng tam tam giác đều A B C' ' ',

suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại

tiếp A B C' ' ' vì lăng trụ đứng

nên GG'⊥(A B C' ' ')

Do đó GG' là trục của tam giác A B C' ' '

Trong mặt phẳng (GC G' ' ,) kẻ trung

trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp GA B C' ' ' , bán kính R=GI

GP GG GPI GG C